新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點練習(xí)考點37 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) (含解析)

考點37拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)考向一拋物線的定義及標準方程1.滿足以下三個條件的點的軌跡叫作拋物線:(1)在平面內(nèi);(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等;

(3)定點不在定直線上.

2.拋物線的標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離1.【2020全國開學(xué)考試（理）】已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線上一點，SKIPIF1<0為坐標原點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．4 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依題意可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為拋物線上一點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.2.【2020四川成都七中開學(xué)考試】拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在拋物線上，且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是線段SKIPIF1<0長度的2倍，則線段SKIPIF1<0的長度為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】依題意，得F（1,0），拋物線的準線為x＝－1，線段AF的長等于點A到準線x＝－1的距離，因為點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是線段SKIPIF1<0長度的2倍，所以，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是點A到準線x＝－1的距離的2倍設(shè)A點橫坐標為SKIPIF1<0，是SKIPIF1<0＋3＝2（SKIPIF1<0＋1），解得：SKIPIF1<0＝1，所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2故選B考向二橢圓的幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸直線y=0直線x=0焦點FpF-F0F0離心率e=1準線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.【2019岳麓湖南師大附中期末】已知直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P為拋物線SKIPIF1<0上的任一點，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】拋物線SKIPIF1<0，其焦點坐標SKIPIF1<0，準線為SKIPIF1<0也就是直線SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離.如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0三點共線時等號成立，故選B.2.【2020江西上高二中月考】拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線上一點，且SKIPIF1<0不在直線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0周長的最小值為____．【答案】3+SKIPIF1<0【解析】求△MAF周長的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設(shè)點M在準線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|＝|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）＝2+1＝3，∵|AF|＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴△MAF周長的最小值為3+SKIPIF1<0，故答案為3+SKIPIF1<03.【2020江西南昌二中其他（理）】已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0是拋物線上一點，過點SKIPIF1<0向拋物線SKIPIF1<0的準線引垂線，垂足為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為等邊三角形，則SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【解析】拋物線SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0，準線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是拋物線上一點，則SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為等邊三角形，則有SKIPIF1<0，即有：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故答案為SKIPIF1<0．題組一（真題在線）1.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓SKIPIF1<0的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．82.【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=A．2 B．3 C．6 D．93.【2020年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)SKIPIF1<0為坐標原點，直線SKIPIF1<0與拋物線CSKIPIF1<0SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的焦點坐標為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04.【2020年高考北京】設(shè)拋物線的頂點為SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0，準線為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是拋物線上異于SKIPIF1<0的一點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的垂直平分線A．經(jīng)過點SKIPIF1<0 B．經(jīng)過點SKIPIF1<0C．平行于直線SKIPIF1<0 D．垂直于直線SKIPIF1<05.【2020年新高考全國Ⅰ卷】斜率為SKIPIF1<0的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則SKIPIF1<0=________．6.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．7.【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=SKIPIF1<0，D為直線y=SKIPIF1<0上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，SKIPIF1<0)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.8.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準線方程；（2）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．題組二1.【2020江蘇歌風(fēng)中學(xué)月考】若拋物線SKIPIF1<0上的點M到焦點的距離為10，則M點到y(tǒng)軸的距離是（）A．6 B．8 C．9 D．102.【2020全國其他】已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上一點SKIPIF1<0到焦點的距離為6，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為拋物線與圓SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.【2020四川成都七中開學(xué)考試】拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在拋物線上，且點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是線段SKIPIF1<0長度的2倍，則線段SKIPIF1<0的長度為（）A．1 B．2 C．3 D．44.【2020安徽開學(xué)考試（理）】已知雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線互相垂直，且焦距為SKIPIF1<0，則拋物線SKIPIF1<0的準線方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05.【2020山東淄博高三一?！恳阎獟佄锞€SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0到其準線及對稱軸的距離分別為3和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值可以是()A．2 B．6 C．4 D．86.【2020山東菏澤高三一?！恳阎本€SKIPIF1<0過拋物線SKIPIF1<0的焦點，且與該拋物線交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若線段SKIPIF1<0的長是16，SKIPIF1<0的中點到SKIPIF1<0軸的距離是6，SKIPIF1<0是坐標原點，則（）．A．拋物線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0 B．拋物線的準線方程是SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<07.【2020贛榆智賢中學(xué)高二月考】已知拋物線SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線與拋物線交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的長為10，設(shè)SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為______．8.【2020江蘇泰州中學(xué)高二開學(xué)考試】已知拋物線SKIPIF1<0的準線方程為SKIPIF1<0，在拋物線SKIPIF1<0上存在兩點SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，且SKIPIF1<0為坐標原點，則SKIPIF1<0的值為__________.9.【2020全國其他】已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點.（1）若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）設(shè)線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為坐標原點，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0外接圓的方程.10.【2020浙江高三開學(xué)考試】如圖，已知橢圓SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的交點，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點SKIPIF1<0.（1）若點SKIPIF1<0，求橢圓SKIPIF1<0及拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）若橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的縱坐標記為SKIPIF1<0，若存在直線SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，求SKIPIF1<0的最大值.題組一1.D【解析】因為拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的一個焦點，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選D．2.C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C．3.B【解析】因為直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入拋物線方程SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，所以其焦點坐標為SKIPIF1<0，故選：B．4.B【解析】如圖所示：．因為線段SKIPIF1<0的垂直平分線上的點到SKIPIF1<0的距離相等，又點SKIPIF1<0在拋物線上，根據(jù)定義可知，SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0的垂直平分線經(jīng)過點SKIPIF1<0.故選：B．5.SKIPIF1<0【解析】∵拋物線的方程為SKIPIF1<0，∴拋物線的焦點F坐標為SKIPIF1<0，又∵直線AB過焦點F且斜率為SKIPIF1<0，∴直線AB的方程為：SKIPIF1<0代入拋物線方程消去y并化簡得SKIPIF1<0，解法一：解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解法二：SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,過SKIPIF1<0分別作準線SKIPIF1<0的垂線，設(shè)垂足分別為SKIPIF1<0如圖所示.SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<06.見解析【解析】設(shè)直線SKIPIF1<0．（1）由題設(shè)得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由題設(shè)可得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．代入SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．7.見解析【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以切線DA的斜率為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.整理得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0.故直線AB的方程為SKIPIF1<0.所以直線AB過定點SKIPIF1<0.（2）由（1）得直線AB的方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0分別為點D，E到直線AB的距離，則SKIPIF1<0.因此，四邊形ADBE的面積SKIPIF1<0.設(shè)M為線段AB的中點，則SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0.解得t=0或SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0=0時，S=3；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.因此，四邊形ADBE的面積為3或SKIPIF1<0.8.見解析【解析】（1）由拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其準線方程為SKIPIF1<0.（2）拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0.設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得點A的橫坐標SKIPIF1<0.同理得點B的橫坐標SKIPIF1<0.設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.題組二1.C【解析】拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，準線為SKIPIF1<0，由M到焦點的距離為10，可知M到準線的距離也為10，故到M到的距離是9，故選C．2.A【解析】由拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）焦點在SKIPIF1<0軸上，準線方程SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到焦點的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴拋物線方程為SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓心為SKIPIF1<0，半徑為1，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0.故選：SKIPIF1<0.3.B【解析】依題意，得F（1,0），拋物線的準線為x＝－1，線段AF的長等于點A到準線x＝－1的距離，因為點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是線段SKIPIF1<0長度的2倍，所以，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是點A到準線x＝－1的距離的2倍設(shè)A點橫坐標為SKIPIF1<0，是SKIPIF1<0＋3＝2（SKIPIF1<0＋1），解得：SKIPIF1<0＝1，所以，｜AF｜＝1－（－1）＝2故選B4.B【解析】因為雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線互相垂直，所以SKIPIF1<0，又焦距為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以拋物線的準線方程是SKIPIF1<0，故選：B.5.AC【解析】設(shè)SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：AC6.AD【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)拋物線的定義可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的中點到SKIPIF1<0軸的距離為6，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴所求拋物線的方程為SKIPIF1<0．故A項正確；拋物線SKIPIF1<0的準線方程是SKIPIF1<0，故B項錯誤；設(shè)直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故C項錯誤；SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故D項正確．故選：AD．7.3【解析】由拋物線方程可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0軸的距離為SKIPIF1<0，故答案為3．8.SKIPIF1<0【解析】拋物線SKIPIF1<0的準線方程為SKIPIF1<0，可知拋物線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0．設(shè)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0兩式相減可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．9.見解析【解析】（1）由題意SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.①若線段SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0沒有公共點，即SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0在拋物線準線SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0，由拋物線的定義可得SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；②若線段SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有公共點，即SKIPIF1<0時，則當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線時，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，綜上，實數(shù)SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0