復(fù)數(shù)的加減法

復(fù)數(shù)的加減法1第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三復(fù)數(shù)的加法與減法2第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的加法與減法(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)復(fù)數(shù)

容易驗(yàn)證：對(duì)于任意，，

∈C，有Z1Z2Z3+=+，Z1Z2Z2Z1Z3(+)+=+(+).Z1Z2Z3Z1Z21、復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則3第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(a+bi)－(c+di)=x+yi，2、復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)減法規(guī)定是加法的逆運(yùn)算(c+di)+(x+yi)=a+bi

，

由復(fù)數(shù)相等定義，有c+x=a，

d+y=b

由此，x=a－c

，y=b－d∴(a+bi)－(c+di)=(a－c)

+(b－d)i

(a+bi)±(c+di)=(a±c)

+(b±d)i一、復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則4第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1、計(jì)算(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)解：(2－3i)+(-8－3i)－(3－4i)=(2－8－3)+(-3－3+4)i

=-9－2i.一、復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則5第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則思考：設(shè)Z

=a+bi

(a,b∈R)

Z+

=?

ZZ－

=?

Z6第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明：設(shè)=，=Z1a+bi11Z2a+bi22a1b1a2b2(,

,

,

)∈R，則

例2、設(shè),∈C，求證：Z1Z2Z1Z2+=+

，=-Z1Z2Z1Z2-Z1Z2Z1Z2+=()+()a+bi11a+bi22=()+()ia+a12b+b12=()－()ia+a12b+b12=(i)+(i)a－b11a－b22=+

Z1Z2一、復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則同理可證：=－

Z1Z2-Z1Z2.7第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義1、復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算的幾何意義設(shè)：，分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)a+bi與c+di,oz1oz28第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義(1)，不共線oz1oz2xy0Q

PRSZ1Z2

ZZSOQ，Z1~=Z2且PRS是矩形，因此Z1OR=OP+PR=OP+SZ

1=OP+OQ=a+c

RZ=RS+SZ=P+Q=b+d

Z

1Z

2∴點(diǎn)Z(a+c,b+d),

就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.oz9第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義(2)，共線oz1oz2畫(huà)出一個(gè)“壓扁”了的平行四邊形，并據(jù)此畫(huà)出它的對(duì)角線來(lái)表示,的和.oz1oz2復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法法則來(lái)進(jìn)行，這就是復(fù)數(shù)加法的幾何意義.10第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義2、復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算的幾何意義xyZ1Z2

Z

0(1)xyZ1Z2

0(2)復(fù)數(shù)Z－Z

差所對(duì)應(yīng)的向量：-=

1oz1oz2ozozzz∵=21oz1∴-=

ozzz11兩個(gè)復(fù)數(shù)的差Z－Z

與連接兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).11第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義Z=a+biZ+

=2aZZ-

=2biZxyB

0AZZC2aaxyB

0AZZab-b12第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3、已知復(fù)平面內(nèi)一個(gè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是0,5+2i,-3+i

，求第三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解：設(shè),對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為5+2i,-3+i

OAOB∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是OC(5+2i)+(-3+i

)=2+3i

如圖(1)，在OACB中,=+OAOCOBxyB

0CA(1)二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義13第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是OC(-3+i)-(5+2i)=-8-i

如圖(2)，在OACB中,==-OAOCOBABxyB

0CA(2)二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義14第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(5+2i)-(-3+i)=8+i

∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是CO如圖(3)，在OBAC中,==-OBOCOABAxyB

0CA(3)所以第三頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+3i,-8-i

,8+i.二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義15第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義3、復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離xyZ1Z2

0設(shè)Z=+i

,=

+i

它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)分別1x

1y

1Z2x

2y

2對(duì)應(yīng)于點(diǎn),

,則d=|-|Z1Z2Z2Z1x

2證明：|-|=|(+i)-

(+i)|Z2Z1y

2x

1y

1x

1y

2x

2=|(-

)+(-

)i|y

1=d=(-

)2+

(-

)2x

1y

2x

2y

116第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義例4、用復(fù)數(shù)表示圓心在點(diǎn)P，半徑為r的圓的方程。解：如圖，設(shè)圓心P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是P=a+bi，圓的半徑為r，圓心任一點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)Z=a+bi

對(duì)應(yīng)，那么|Z-P|=r這就是復(fù)平面內(nèi)的圓的方程利用復(fù)數(shù)的減法法則，把圓的方程|Z-P|=r化成用實(shí)數(shù)表示的一般形式為：(x-a)2+(y-b)2=r2xyZ

0P17第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義例5、如果復(fù)數(shù)Z滿足|Z+2-2i|≤1，求|Z|的最大值與最小值及相應(yīng)的復(fù)數(shù)Z。xy

0CZ2Z1解:∵Z+2-2i=Z-(-2+2i)直線OC的方程是y=-x，圓C的方程是∴滿足|Z+2-2i|≤1

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，徑的圓的內(nèi)部（如圖），|Z|就是圓C及其內(nèi)部各點(diǎn)到圓點(diǎn)的距離，使|Z|取得最大值與最小值的點(diǎn)就是OC與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)。組成以C(-2,2)點(diǎn)為圓心，以r為半(x+2)2+(y+2)2=118第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義解方程組y=-x(x+2)2+(y+2)2=1(-,)得點(diǎn)的坐標(biāo)是(-,)，點(diǎn)的坐標(biāo)是Z1322322Z2

22

22∴當(dāng)Z=-+

i

時(shí)，|Z|=3；322322max當(dāng)Z=-+

i

時(shí)，|Z|=1；min

22

2219第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義思考題1、已知復(fù)Z滿足|Z|=1，求|Z+1-2i|的最大值與最小值。分析：∵|Z+1-2i|=|Z-(-1-2i)|xyB-101PAM(1,2)如圖，求得|OM|

=

5∴|Z+1-2i|=|MB|=+1max

5|Z+1-2i|=|MA|=-1min

520第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義2、設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn),分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為,，Z

1Z

2Z

1Z

2則線段

,垂直平分線的方程是：Z

1Z

2|Z-

|=|Z-

|Z

2Z

1例如|Z+1|=|Z-i|是連結(jié)復(fù)數(shù)-1,i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段的垂直平分線方程。xy1

-101Z

21第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算的幾何意義3、根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，將橢圓+

y2

b2

x2

a2=1(a＞b＞0)，雙曲線=1(a＞0,b＞0)-

y2

b2

x2

a2分別寫(xiě)成復(fù)數(shù)方程的形式。答：|Z+C|+|Z-C|=2a，其中C=；