大學畢業(yè)論文逆矩陣的求法

大學畢業(yè)論文《逆矩陣的求法逆矩陣的小解及其應用（西北師范大學數學與統(tǒng)計學院09級7班甘肅蘭州730070）摘要：矩陣理論是線性代數的一個主要內容，也是處理實際問題的重要工具，而逆矩陣在矩陣的理論和應用中占有相當重要的地位.為了更便捷地求逆矩陣，根據不同矩陣的不同特點簡單介紹了幾種求逆矩陣的方法.并對部分方法原理進行了簡要論證且給出了相應的典型例題.關鍵字：逆矩陣；分塊矩陣；初等變換；伴隨矩陣ThesolutionofinversematrixanditsapplicationLIJINYE（DepartmentofMathematicsandStatistics,NorthwestNormalUniversity,09classesofgrade3,Lanzhou,Gansu730070）。Abstract:Matrixtheoryisamaincontentoflinearalgebraandanimportanttooldealingwithpracticalproblem.Inversematrixhasaveryimportantpositioninmatrixtheory.Inordertosolvetheinversematrixmoreeasily,weintroduceseveralsimpleinversematrixmethodsaccordingtodifferentcharacteristics.Thispaperalsogivesbriefdemonstrationtopartofthemethodsandcorrespondingtypicalexamplesforalloftheapproaches.。Keywords:Inversematrix;Blockmatrix;Elementarytransformation;Adjointmatrix.矩陣理論是線性代數以及高等代數的核心內容，無論是二次型，還是線性變換以及歐幾里得空間都可以借助于矩陣簡便的解決相關問題．可以說，掌握矩陣理論是學好線性代數必不可少的條件．而求逆矩陣在矩陣中占有重要地位．所以，本文詳細歸納了一系列的求解方法，并力求在某些方法的基礎上推廣逆矩陣的求法或找到一種新的求法．本文在已有的幾種常見方法的基礎上對其進行深入探索研究，并對已經學過的知識進行了更深層次的研究，找到了多種解決逆矩陣求解的方法.早在十九世紀末，人們在研究行列式的性質和計算時，提出了對角矩陣的概念，由于計算機的發(fā)展，更是為矩陣對角化的應用開辟了廣闊的前景，它經常出現在諸如可用于求解微分方程組，用于研究數理統(tǒng)計量的分布，還有用于研究集合曲面的標準形等不同的科技領域中，這就使得對角矩陣成為計算數學中應用及其廣泛的矩陣．而在求逆矩陣的方法中經常利用對角矩陣為過渡過程，在本文中就運用了此法．。1方法總結1.1定義法級方陣稱為可逆的，如果有級方陣,使得這里是單位矩陣，那么我們可以將矩陣的逆矩陣表示如下：.例1設為階矩陣，并且滿足,求.解由定義可知1.2伴隨矩陣法設是階實矩陣，若,那么證明設階矩陣由行列式等于它的任意一行（列）的所有元素與它們對應代數余子式的乘積的和，以及行列式的某一行（列）的元素與另外一行(列)的對應元素的代數余子式的乘積的和等于零，以下等式成立：這里由此可知，若令那么,由此可得。由矩陣定義可知：.注：用此方法求逆矩陣，對于小型矩陣，特別是二階方陣求逆既方便、快捷，又有規(guī)律可循.因為二階可逆矩陣的伴隨矩陣，只需要將主對角線元素的位置互換，次對角線的元素變號即可.若可逆矩陣是三階或三階以上矩陣，在求逆矩陣的過程中，需要求9個或9個以上代數余子式，還要計算一個三階或三階以上行列式，工作量大且中途難免出現符號及計算的差錯.對于求出的逆矩陣是否正確，一般要通過來檢驗.一旦發(fā)現錯誤，必須對每一計算逐一排查.例2矩陣,且求.解可逆，并且=.1.3初等變換法求元素為具體數字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法.如果可逆，則可通過初等變換，化為單位矩陣I，即存在初等矩陣使用右乘上式兩端，得：比較（1）（2）兩式，可以看到當通過初等變換化為單位矩陣的同時，對單位矩陣作同樣的初等變換，就化為的逆矩陣.用矩陣表示這是求逆矩陣的初等行變換法，或者這是用列初等變換求逆矩陣，這都是實際應用中比較簡單的一種方法.需要注意的是，在作初等變換時只允許作行初等變換.同樣，只用列初等變換也可以求逆矩陣.現在讓我們從具體的題目中看看這類題的解析.例3已知矩陣,求,其中解.1.4分塊矩陣法1.4.1引理設均可逆，求證成立.證設分別為階。階的方陣，則：證畢.由于這個公式太難記，因此我們在解決這類題目時往往將其轉化為三角分塊矩陣再求其逆.設都是非奇異矩陣,且為階方陣。為階方陣，若矩陣則.證明均為非奇異矩陣，則可逆設,其中又均為可逆矩陣。.可以將上述結論推廣到每一個子塊都是非奇異矩陣的準對角線型矩陣中去，即：例4已知求.解將分塊如下：其中可求的從而1.4.3準三角型矩陣求逆設為非奇異矩陣，則.證明兩邊求逆得：.同理可證.此方法適用于大型且能化成對角子塊陣或三角塊陣的矩陣.是特殊方陣求逆的一種方法，并且在求逆矩陣之前，首先要將已給定矩陣進行合理分塊后方能使用.例5已知求.解將分塊如下：其中可求的從