第2章：正弦交流電路

2.1三相溝通電基本概念與相量1.正弦溝通電指大小和方向隨時(shí)間按正弦規(guī)律變更的溝通電壓和溝通電流的總稱?？捎貌ㄐ螆D表示：0i,ut如正弦電流為：

+_2.1.1三相溝通電的基本概念設(shè)正弦電流為：

幅值頻率初相位2.正弦量的三要素正弦量的特征表現(xiàn)在變更的快慢、大小及初值三個(gè)方面，它們分別由頻率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位來確定。所以稱頻率、幅值和初相位為正弦量的三要素。(1)周期與頻率－－變更的快慢溝通電往復(fù)變更一周須要的時(shí)間稱為周期。每秒時(shí)間內(nèi)重復(fù)變更的周期數(shù)稱為頻率,單位是赫茲(Hz)，簡稱赫，周期和頻率互為倒數(shù).iIm0Ttt1t2t4.t3

我國的工頻是50Hz。有時(shí)還用角頻率來描述。它與頻率和周期的關(guān)系為：正弦溝通電流，電壓和電動(dòng)勢的大小可表示如下:(2)正弦量的大小

——瞬時(shí)值、幅值與有效值任一時(shí)刻溝通電量值的大小就叫瞬時(shí)值,都用小寫拉丁字母表示：i、u、e。它們都是時(shí)間的函數(shù),不同時(shí)刻其量值也不同。iIm0Ttt1t2t4.t3如圖，在t’時(shí)刻的值為i（t’），在t’’時(shí)刻的值為i（t’’）。1）瞬時(shí)值在一個(gè)周期里最大的瞬時(shí)值叫最大值，它是溝通電的振幅，通常用大寫字母并加注下標(biāo)m表示。如Im、Um及Em。Imi0Ttt1t2t4.t3可見，最大值事實(shí)上就是最大的瞬時(shí)值，也是與時(shí)間有關(guān)的量。2）最大值（幅值）在工程中，正弦電壓與電流的計(jì)量不是瞬時(shí)值也不是幅值，而是有效值。若有一溝通電流i通過電阻R，在一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)消耗的電能，與數(shù)值為I的直流電流在同樣的時(shí)間內(nèi)，通過同一電阻所消耗的電能相等，則這直流電流I的數(shù)值就稱為該溝通電流i的有效值。3）有效值有效值是通過電流的熱效應(yīng)（能量角度）來定義的：可見：溝通電流的有效值就是與它的平均耗能相等的直流電流值。設(shè)一交變電流i通過電阻R，在一個(gè)周期內(nèi)該電阻消耗的電能是:假如有一個(gè)直流電流I通過同一電阻R,在同一時(shí)間T內(nèi)所消耗的電能為：所以，當(dāng)在一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，W～=W—時(shí)，有：IRiR對(duì)于正弦溝通電流：因?yàn)樗酝碚医涣麟姷挠行е档扔谒淖畲笾党远c其頻率及初相無關(guān)。(3)正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)—初相位與相位差對(duì)于已知的正弦量稱(ωt+ψi)為正弦溝通電流的相位角,簡稱相位。相位初相稱t=0時(shí)的相位角ψi為初相角，簡稱初相。1）相位與初相位初相用來確定溝通電初始瞬時(shí)狀態(tài)。初相角是正弦溝通電的一個(gè)重要的物理量,沒有它就無法畫出確定的波形圖和寫出完整的溝通電表達(dá)式。0it+_在不同的時(shí)刻正弦量的相位也不同,溝通電流的大小和方向也不同。2）相位差兩個(gè)同頻率的正弦溝通電往往具有不同的相位。我們稱兩個(gè)同頻率的正弦溝通電在相位上的差值稱為相位差,用表示。例如：則：稱電壓超前電流φ角。

稱電壓滯后電流φ角uiui

稱電壓與電流同相稱電壓與電流正交稱電壓與電流反相

結(jié)論：由于頻率相同，相位差是一個(gè)固定的值，它恒等于兩個(gè)溝通電的初相之差，與時(shí)間t和角頻率ω?zé)o關(guān)。例工頻電壓時(shí)的值寫出它的解析表達(dá)式。解：設(shè)又因?yàn)槭枪ゎl電壓，所以：所以，寫出它的解析表達(dá)式為：2.1.2正弦量的相量表示1.正弦量的常見表示方法表示一個(gè)正弦量可以多種方式，這也正是分析和計(jì)算溝通電路的工具。①三角函數(shù)表示法：②正弦波形圖示法：0ut+_2.正弦量的相量表示法用來表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量（1）相量表示法例如：表示為：但是，通常表示成有效值的形式：0+j+10（2）相量圖相量在復(fù)平面上的圖形，能夠直觀體現(xiàn)各量的大小、相位差。

留意：同頻正弦周期量才能表示在一個(gè)相量圖中；接受相量圖，也能完成相量的加減乘除運(yùn)算。2.2單一元件的正弦響應(yīng)2.2.1電阻元件的正弦響應(yīng)單一元件電阻元件電感元件電容元件1電壓、電流關(guān)系（1）瞬時(shí)值關(guān)系可見：UmuiIm0t電阻上的電壓和電流為同頻率的正弦量，二者同相。電壓的幅值等于電流的幅值乘以Ｒ。設(shè)：由瞬時(shí)值關(guān)系：可見：所以：（2）有效值關(guān)系結(jié)論：1、u、i是同頻率、同相位的正弦量；2、瞬時(shí)值、幅值及有效值均滿足歐姆定律。（3）相量關(guān)系與相量圖將電路圖中電壓與電流用相量代替畫出相量圖：歐姆定律的復(fù)數(shù)表達(dá)式電壓電流關(guān)系可見：留意：假如Ψ＝0的狀況！相量圖的變更！2功率關(guān)系（1）瞬時(shí)功率在隨意瞬時(shí)，電壓瞬時(shí)值u與電流瞬時(shí)值i的乘積，稱為瞬時(shí)功率，用字母p表示。對(duì)于電阻元件：p等于在一個(gè)直流重量UI的基礎(chǔ)上，疊加一個(gè)幅值為UI的正弦量；總有p0。在一個(gè)周期內(nèi)，瞬時(shí)功率的平均值，稱為平均功率，用P表示。因?yàn)槠骄β室彩请娐废牡墓β?，所以，也被稱為有功功率。（2）平均功率例：一只100電阻接入50Hz、有效值為10V的電源上，問電流是多少？若頻率改為5000Hz呢？因電阻與頻率無關(guān)，所以，電流不會(huì)因?yàn)轭l率的變更而變更。解2.2.2電感元件的正弦響應(yīng)1電壓、電流關(guān)系（1）瞬時(shí)值關(guān)系設(shè)：取電流為參考相量即初相為0iuLeL

u、i為同頻率的正弦量，u在相位上超前i900。

u的幅值大小等于i的幅值乘以Lω。u20波形圖：可見：Ψ=0時(shí)：（2）有效值關(guān)系定義具有電阻的量綱！Ω感抗感抗的性質(zhì)一個(gè)隨頻率變更的量，反映了電感元件阻礙電流變更的實(shí)力。對(duì)電流的阻礙實(shí)力為零：對(duì)直流相當(dāng)于短路對(duì)電流的阻礙實(shí)力為無窮大——對(duì)高頻溝通相當(dāng)于開路。電感元件的感抗與頻率成正比?。?）相量關(guān)系iuLL可見：相量圖：復(fù)感抗歐姆定律復(fù)數(shù)表達(dá)式2功率關(guān)系（1）瞬時(shí)功率知道了電壓u和電流i的變更規(guī)律和相互關(guān)系后，便可找出元件的瞬時(shí)功率的變更規(guī)律。可見，p是以幅值為UI、角頻率為2t變更的交變量。當(dāng)u與

i

的瞬時(shí)值為同號(hào)時(shí)，p0，電感元件取用功率(為負(fù)載)，磁能增加；當(dāng)u與i的瞬時(shí)值為異號(hào)時(shí)，p0，電感元件發(fā)出功率(相當(dāng)于電源)，元件的磁能削減。（2）有功功率電感元件不消耗功率！（3）無功功率電感元件在電路中沒有能量損耗，只與電源間進(jìn)行能量交換。其能量交換的規(guī)模我們用無功功率Q表示:規(guī)定無功功率為瞬時(shí)功率p的幅值UI，即：無功功率Q的單位為乏(Var)！指出下列各式哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的?2.2.3、電容元件的正弦響應(yīng)1電壓、電流關(guān)系（1）瞬時(shí)值關(guān)系iuC設(shè)：電壓為參考相量即初相為0可見：

i的幅值大小等于u的幅值乘以ωC。電流與電壓為同頻率的正弦量，在相位上比電壓要超前90°i20波形圖：（2）有效值關(guān)系定義：具有電阻的量綱Ω容抗容抗的性質(zhì)：一個(gè)隨頻率變更的量，反映了電容元件上的電流隨頻率變更的實(shí)力。對(duì)電流的阻礙實(shí)力為無窮大——對(duì)直流相當(dāng)于開路對(duì)電流的阻礙實(shí)力為零——對(duì)高頻溝通相當(dāng)于短路。電容元件的容抗與頻率成反比。（3）相量關(guān)系iuCC畫出相量圖：復(fù)容抗——?dú)W姆定律的復(fù)數(shù)形式2功率關(guān)系（1）瞬時(shí)功率由上式可見，p是一個(gè)幅值為UI，并以2的角頻率隨時(shí)間而變化的交變量。當(dāng)u與i

同號(hào)時(shí)，p0，電容元件取用功率，充電；當(dāng)u與i異號(hào)時(shí)，p0，電容元件發(fā)出功率，放電。（2）有功功率電容元件不消耗功率！可見：（3）無功功率電容元件不消耗電能,只與電源之間進(jìn)行能量交換，其能量交換的規(guī)模我們用無功功率Q表示：（區(qū)分電感元件無功功率取正，電容元件無功功率取負(fù)）22I-XXU-UIQCC==-=為與電感元件的無功功率進(jìn)行比較，我們也設(shè)電流初相為0，即：由此可見，電容元件的無功功率：如此規(guī)定，電容性無功功率要取負(fù)值例：在圖示正弦溝通電路中，已知表Ａ的讀數(shù)為Ｉ=5A，表Ａ１的讀數(shù)Ｉ1=4A，試求各電路中的表Ａ２的Ｉ2=？解：因?yàn)閮蓷l支路元件性質(zhì)相同，所以，電流同相。解：因?yàn)閮蓷l支路元件性質(zhì)相反，所以，電流反相。解：因?yàn)閮蓷l支路元件性質(zhì)相同，所以，電流同相。解：因?yàn)閮蓷l支路元件性質(zhì)相同，所以，電流同相。小結(jié)（電壓電流關(guān)系）RiuiuLiuC小結(jié)（功率關(guān)系）RiuiuCiuL2.3正弦溝通電路的分析1電壓電流關(guān)系iuuLLuRuCRC設(shè)：由KVL得：接受相量法：2.3.1RLC串聯(lián)電路代入VCR方程：LRC通過相量圖計(jì)算：由電壓相量組成一個(gè)直角三角形，稱為電壓三角形。利用這個(gè)電壓三角形，可求得電源電壓的有效值：與電流間的相位差：電壓三角形2阻抗與復(fù)阻抗由定義：它具有電阻的量綱，表示電路元件對(duì)電流的阻礙作用阻抗可見，|Z|，R，XL，Xc之間也滿足三角形關(guān)系阻抗三角形與電路元件的參數(shù)有關(guān)電抗電抗定義：復(fù)阻抗仍具有電阻的量綱。歐姆定律的復(fù)數(shù)表達(dá)式復(fù)數(shù)形式的歐姆定律（小結(jié)）假如把前面的單一元件的電壓電流關(guān)系都?xì)w入歐姆定律的相量形式，則：R：RIUZRRR==··0||==jRZRL：C：3電路的性質(zhì)在RLC串聯(lián)電路中，當(dāng)R0時(shí)，感抗XL與容抗XC的大小對(duì)于電路性質(zhì)的影響。電路中的電流將滯后于電路的端電壓。在這種電路中電感的作用比電容的作用大，稱為電感性電路。UL>UC電路中的電流將超前于電路的端電壓。在這種電路中電容的作用比電感的作用大，稱為電容性電路。UL<UC電阻性電路：

若XL=XC，則X=0，這種由于電路中感抗的作用和容抗的作用相互抵消，出現(xiàn)的純電阻性現(xiàn)象稱為諧振。4功率（1）瞬時(shí)功率消耗和吸取功率釋放功率（2）有功功率P只有電阻消耗功率?。?）無功功率Q（4）視在功率S可見：有功功率和無功功率分別與R和X對(duì)應(yīng)，即：電阻消耗功率，電抗交換功率。定義：單位為伏安（VA）或（KVA）視在功率

由視在功率、有功功率和無功功率也可以組成一個(gè)三角形。畫出如下：視在功率也稱為設(shè)備的容量。功率三角形例

日光燈示意圖如圖，已知燈管電阻R=530Ω，鎮(zhèn)流器參數(shù)r=120Ω，L=1.9H，電源電壓U=220V，求：I、U1、U2，問：U=U1+U2?iuu１Lru２可見：220≠152.14+132.5U≠U1+U21阻抗串聯(lián)等效阻抗：2阻抗并聯(lián)等效阻抗：2.3.2阻抗的串并聯(lián)電路分析例題：R1=3ΩR2=8ΩXL=4ΩXC=6Ω求：（1）i、i1、i2（2）P解（1）已知因?yàn)橐阎穗妷汉椭纷杩?，所以可以求出支路電流，通過相量計(jì)算求出總電流。然后求出總的有功功率。R1R2jXL-jXC因?yàn)椋阂驗(yàn)椋阂部梢赃@樣求：（2）功率P的計(jì)算P=UIcos=220×49.2cos26.5o=9680WP=I12R1+I22R2=442×3+222×8=9680WP=UI1cos53o+UI2cos（-37o）=9680W方法1：方法2：方法3：課后習(xí)題：圖中電流表A1和電壓表V1的讀數(shù)已經(jīng)標(biāo)出，試求電流表A0和電壓表V0的讀數(shù)。V1100V-j10ΩA1A010A-jXCV05Ωj5Ω2.4電路的諧振在含有電感電容元件的電路中，假如滿足某種條件使電路的電壓和電流同相，整個(gè)電路呈電阻性，功率因數(shù)為1，我們把電路的這種狀態(tài)稱為諧振狀態(tài)（簡稱諧振）。串聯(lián)諧振并聯(lián)諧振2.4.1串聯(lián)諧振RLCui1、RLC串聯(lián)諧振的條件：或諧振條件u與i同相，電路發(fā)生諧振——諧振頻率——諧振角頻率諧振是電路本身的特性，所以，要使電路達(dá)到諧振可以通過調(diào)整電路參數(shù)和電源頻率來實(shí)現(xiàn)。如：調(diào)整L、C或者電源的頻率f。2、RLC串聯(lián)諧振的特點(diǎn)：因?yàn)榇?lián)諧振發(fā)生在XL=XC處，所以，諧振時(shí)電路的阻抗最小，呈電阻性。由于阻抗最小，所以，在電壓有效值確定時(shí)，電路中電流獲得最大值。在諧振時(shí)，假如：由于電感上的電壓和電容上的電壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電源電壓，所以，我們稱串聯(lián)諧振為電壓諧振。為了衡量電路中元件電壓比電源電壓高出多少，我們引入了品質(zhì)因數(shù)Q定義可見，Q值越高，電容（電感）元件兩端的電壓比電源電壓高的越多，R越小，Q值就越大。收音機(jī)的調(diào)諧接收電路L1LC等效電路LCe3e1e2f3f1f2I0f1

f2f3fQ大Q小無線電信號(hào)經(jīng)天線接受，由L1耦合到L上。LC經(jīng)諧振選擇使某個(gè)電波信號(hào)與諧振頻率f0相同進(jìn)行選擇。當(dāng)諧振曲線比較尖銳(Q大)時(shí)，被選擇信號(hào)比其相鄰的信號(hào)相對(duì)大得多；而Q小則選擇性差。2.4.2并聯(lián)諧振RLCuiiCi1通常要求電阻很小，諧振時(shí)一般有L>>R諧振頻率為：并聯(lián)諧振的特征：諧振時(shí)電路的阻抗最大；電流有效值最小。又稱電流諧振。2.5功率因數(shù)2.5.1功率因數(shù)提高的意義1、使電源容量得到充分利用若使：2、減小輸電線上的電壓降和功率損耗，提高輸電效率當(dāng)電源電壓U和輸送的有功功率P確定時(shí)，隨著cosφ的降低，則輸電線上的電流將增加。由于輸電線本身具有阻抗，所以，電流的增加將導(dǎo)致阻抗壓降的增加，從而使線路上的功率損耗增加。2.5.2功率因數(shù)提高的方法1、功率因數(shù)低的緣由通常狀況下，供電系統(tǒng)的功率因數(shù)低主要是由于電感負(fù)載造成的。而電感負(fù)載的電流滯后電壓，使電路中存在一個(gè)滯后電壓900的無功電流重量。2、功率因數(shù)提高的方法在感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容器，產(chǎn)生一個(gè)超前于電壓900的無功電流重量，以補(bǔ)償滯后電壓900的無功電流重量，使線路上的總電流減小。3、并聯(lián)電容