2023年高中數(shù)學(xué)解析幾何知識點總結(jié)

§07.直線和圓的方程知識要點

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜

角，其中直線與x軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是

0180(0).

注：①當(dāng)90或xx時，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

21

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都

有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定期，其傾斜角也相應(yīng)擬定.

2.直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.

特別地，當(dāng)直線通過兩點(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a0,b0)時，

xy

直線方程是：1.

ab

22

注：若yx2是一直線的方程，則這條直線的方程是yx2，但若

33

2

yx2(x0)則不是這條線.

3

附：直線系：對于直線的斜截式方程ykxb，當(dāng)k,b均為擬定的數(shù)值時，它表達一條擬定

的直線，假如k,b變化時，相應(yīng)的直線也會變化.①當(dāng)b為定植，k變化時，它們表達過定點

（0，b）的直線束.②當(dāng)k為定值，b變化時，它們表達一組平行直線.

3.⑴兩條直線平行：

l∥lkk兩條直線平行的條件是：①l和l是兩條不重合的直線.②在l和l的斜率

12121212

都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的

錯誤.

（一般的結(jié)論是：對于兩條直線l,l，它們在y軸上的縱截距是b,b，則l∥lkk，

12121212

且bb或l,l的斜率均不存在，即ABBA是平行的必要不充足條件，且CC）

1212121212

推論：假如兩條直線l,l的傾斜角為,則l∥l.

12121212

⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l和l的斜率分別為k和k，則有l(wèi)lkk1這

12121212

里的前提是l,l的斜率都存在.②llk0，且l的斜率不存在或k0，且l的斜率不

12121221

存在.（即ABAB0是垂直的充要條件）

1221

4.直線的交角：

⑴直線l到l的角（方向角）；直線l到l的角，是指直線l繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到

12121

kk

與l重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是(0,)，當(dāng)90時tan21.

21kk

12

⑵兩條相交直線l與l的夾角：兩條相交直線l與l的夾角，是指由l與l相交所成的四

121212

個角中最小的正角，又稱為l和l所成的角，它的取值范圍是0,，當(dāng)90，則有

122

kk

tan21.

1kk

12

l:AxByC0

5.過兩直線1111的交點的直線系方程AxByC(AxByC)0(

l:AxByC0111222

2222

為參數(shù)，AxByC0不涉及在內(nèi)）

222

6.點到直線的距離：

⑴點到直線的距離公式：設(shè)點P(x,y)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

00

AxByC

d00.

A2B2

注：

1.兩點P(x,y)、P(x,y)的距離公式：|PP|(xx)2(yy)2.

111222122121

特例：點P(x,y)到原點O的距離：|OP|x2y2

2.定比分點坐標(biāo)分式。若點P(x,y)分有向線段PP所成的比為即PPPP,其中

1212

xxyy

P(x,y),P(x,y).則x12,y12

11122211

特例，中點坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan

yy

4.過兩點P(x,y),P(x,y)的直線的斜率公式：k21.(xx)

111222xx12

21

當(dāng)xx,yy（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝90，沒有斜率

1212

⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線l:AxByC0,l:AxByC0(CC)，

112212

CC

它們之間的距離為d，則有d12.

A2B2

注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R,C≠m).

2.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)

過定點（）的直線系方程是：不全為

3.x1,y1A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B0)

過直線、交點的直線系方程：（）λ(）λ?R）注：

4.l1l2A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0(

該直線系不含

l2.

7.關(guān)于點對稱和關(guān)于某直線對稱：

⑴關(guān)于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱

直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.

⑶點關(guān)于某一條直線對稱，用中點表達兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對

稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點.

注：①曲線、直線關(guān)于一直線（yxb）對稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0

關(guān)于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2,x–2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(a,b)的對稱曲線方程是f(a–x,2b–y)=0.

二、圓的方程.

1.⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C上的與一個二元方程f(x,y)0的實數(shù)

建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

⑵曲線和方程的關(guān)系，實質(zhì)上是曲線上任一點M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)0的一種關(guān)系，

曲線上任一點(x,y)是方程f(x,y)0的解；反過來，滿足方程f(x,y)0的解所相應(yīng)的點是

曲線上的點.

注：假如曲線的方程是，那么點線上的充要條件是

Cf(x,y)=0P0(x0,y)Cf(x0,y0)=0

2.圓的標(biāo)準方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準方程是(xa)2(yb)2r2.

特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.

注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(xa)2(yb)2b2[rb,圓心(a,b)或(a,b)]

②與y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2a2[ra,圓心(a,b)或(a,b)]

③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2a2[ra,圓心(a,a)]

3.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

DED2E24F

當(dāng)D2E24F0時，方程表達一個圓，其中圓心C,，半徑r.

222

DE

當(dāng)D2E24F0時，方程表達一個點,.

22

當(dāng)D2E24F0時，方程無圖形（稱虛圓）.

xarcos

注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.

ybrsin

②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表達圓的充要條件是：B0且AC0且

D2E24AF0.

③圓的直徑或方程：已知A(x,y)B(x,y)(xx)(xx)(yy)(yy)0（用向量可征）.

11221212

4.點和圓的位置關(guān)系：給定點M(x,y)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

00

①M在圓C內(nèi)(xa)2(yb)2r2

00

②M在圓C上（xa)2(yb)2r2

00

③M在圓C外(xa)2(yb)2r2

00

5.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；

AaBbC

圓心C(a,b)到直線l的距離d.

A2B2

①dr時，l與C相切；

x2y2DxEyF0

附：若兩圓相切，則111相減為公切線方程.

x2y2DxEyF0

222

②dr時，l與C相交；

C:x2y2DxEyF0

附：公共弦方程：設(shè)1111

C:x2y2DxEyF0

2222

有兩個交點，則其公共弦方程為(DD)x(EE)y(FF)0.

121212

③dr時，l與C相離.

x2y2DxEyF0

附：若兩圓相離，則111相減為圓心OO的連線的中與線方程.

x2y2DxEyF012

222

(xa)2(yb)2r2

由代數(shù)特性判斷：方程組用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方

AxBxC0

程，其判別式為，則：

0l與C相切；

0l與C相交；

0l與C相離.

注：若兩圓為同心圓則x2y2DxEyF0，x2y2DxEyF0相減，不表達直

111222

線.

6.圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為k的切線方程是ykx1k2r過圓

x2y2DxEyF0

xxyy

上一點P(x,y)的切線方程為：xxyyD0E0F0.

000022

①一般方程若點(x,y)在圓上，則(x–a)(x–a)+(y–b)(y–b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上

0000A

一點P(x,y)的切線方程為xxyyr2.

0000

BC

D(a,b)

yyk(xx)

1010

②若點(x,y)不在圓上，圓心為(a,b)則byk(ax)，聯(lián)立求出k切線方程.

0011

R

R21

7.求切點弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共

圓.已知O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD為圓為方程為

(xx)(xa)(yy)(xb)k2…②

AA

(xa)2(yb)2

R2AA…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.

4

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，假如曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

1）曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的

方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。

2.求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設(shè)點，列式表標(biāo),簡化檢查;2）參數(shù)法;3）定義法，4）待定系

數(shù)法.

-圓錐曲線方程

考試內(nèi)容：

橢圓及其標(biāo)準方程．橢圓的簡樸幾何性質(zhì)．橢圓的參數(shù)方程．

雙曲線及其標(biāo)準方程．雙曲線的簡樸幾何性質(zhì)．

拋物線及其標(biāo)準方程．拋物線的簡樸幾何性質(zhì)．

考試規(guī)定：

（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準方程和橢圓的簡樸幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．

（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準方程和雙曲線的簡樸幾何性質(zhì)．

（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準方程和拋物線的簡樸幾何性質(zhì)．

（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用．

§08.圓錐曲線方程知識要點

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

PFPF2aFF方程為橢圓,

1212

PFPF2aFF無軌跡,

1212

PFPF2aFF以F,F為端點的線段

121212

⑴①橢圓的標(biāo)準方程：

中心在原點，焦點在軸上：x2y2中心在原點，焦點在軸上：

i.x1(ab0).ii.y

a2b2

y2x2.

1(ab0)

a2b2

x2y2

②一般方程：Ax2By21(A0,B0).③橢圓的標(biāo)準參數(shù)方程：1的參數(shù)方程為

a2b2

xacos

（一象限應(yīng)是屬于0）.

ybsin2

⑵①頂點：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長2a，短軸長2b.③

a2

焦點：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：FF2c,ca2b2.⑤準線：x或

12c

a2c

y.⑥離心率：e(0e1).⑦焦點半徑：

ca

x2y2

i.設(shè)P(x,y)為橢圓1(ab0)上的一點，F(xiàn),F為左、右焦點，則PFaex,PFaex

00a2b2121020

由橢圓方程的第二定義可以推出.

x2y2

ii.設(shè)P(x,y)為橢圓1(ab0)上的一點，F(xiàn),F為上、下焦點，則PFaey,PFaey

00b2a2121020

由橢圓方程的第二定義可以推出.

a2a2

由橢圓第二定義可知：pFe(x)aex(x0),pFe(x)exa(x0)歸結(jié)起來為

10c002c000

“左加右減”.

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(acos,bsin)方程的軌跡為橢圓.

2b2b2b2

⑧通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d(c,)和(c,)

a2aa

x2y2c

⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓1(ab0)的離心率是e(ca2b2)，方

a2b2a

x2y2c

程t(t是大于0的參數(shù)，ab0)的離心率也是e我們稱此方程為共離心率的

a2b2a

橢圓系方程.

x2y2

⑸若P是橢圓：1上的點.F,F為焦點，若FPF，則PFF的面積為

a2b2121212

b2tan（用余弦定理與PFPF2a可得）.若是雙曲線，則面積為b2cot.

2122

二、雙曲線方程.▲y

(bcos,bsin)

(acos,asin)

1.雙曲線的第一定義：Nx

PFPF2aFF方程為雙曲線

1212

N的軌跡是橢圓

PFPF2aFF無軌跡

1212

PFPF2aFF以F,F的一個端點的一條射線

121212

x2y2y2x2

⑴①雙曲線標(biāo)準方程：1(a,b0),1(a,b0).一般方程：

a2b2a2b2

Ax2Cy21(AC0).

⑵①i.焦點在x軸上：

a2xy

頂點：(a,0),(a,0)焦點：(c,0),(c,0)準線方程x漸近線方程：0或

cab

x2y2

0

a2b2

a2

ii.焦點在y軸上：頂點：(0,a),(0,a).焦點：(0,c),(0,c).準線方程：y.漸近線

c

yxy2x2xasecxbtan

方程：0或0，參數(shù)方程：或.

aba2b2ybtanyasec

c2a2

②軸x,y為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離心率e.④準線距

ac

2b2c

（兩準線的距離）；通徑.⑤參數(shù)關(guān)系c2a2b2,e.⑥焦點半徑公式：對于雙曲

aa

x2y2

線方程1（F,F分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）

a2b212

“長加短減”原則：

MFexaMFexa

10構(gòu)成滿足MFMF2a10（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半

MFexa12MFexa

2020

徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）▲▲

yy

F

MFeyaM'M

10M

MFeyaxx

20FF

MFeyaM'

10

F

MFeya

20

⑶等軸雙曲線：雙曲線x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率e2.

⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛

x2y2x2y2x2y2

雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：0.

a2b2a2b2a2b2

x2y2x2y2

⑸共漸近線的雙曲線系方程：(0)的漸近線方程為0假如雙曲線的

a2b2a2b2

▲

xyx2y2y

漸近線為0時，它的雙曲線方程可設(shè)為(0).

43

aba2b22

11

例如：若雙曲線一條漸近線為yx且過p(3,)，求雙曲線的方程？1

2253x

F

1F2

x21x2y2

解：令雙曲線的方程為：y2(0)，代入(3,)得1.

42823

⑹直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；

區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；

區(qū)域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；

區(qū)域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目也許有0、2、3、4

條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求擬定直線的斜率可用代入“”法與漸

近線求交和兩根之和與兩根之積同號.

x2y2

⑺若P在雙曲線1，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m=n，則P到兩準線的距

a2b2

離比為m︰n.

PF

1

dm

簡證：1e=.

dPFn

22

e

常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.

三、拋物線方程.

3.設(shè)p0，拋物線的標(biāo)準方程、類型及其幾何性質(zhì)：

y22pxy22pxx22pyx22py

圖形

▲▲y

y▲y▲y

xxx

x

OOO

O

焦點pppp

F(,0)F(,0)F(0,)F(0,)

2222

準線pppp

xxyy

2222

范圍x0,yRx0,yRxR,y0xR,y0

對稱軸x軸y軸

頂點（0，0）

離心率e1

焦點pppp

PFxPFxPFyPFy

21212121

4acb2b

注：①ay2bycx頂點().

4a2a

2P2P

②y2px(p0)則焦點半徑PFx;x2py(p0)則焦點半徑為PFy.

22

③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt

④y22px（或x22py）的參數(shù)方程為（或）（t為參數(shù)）.

y2pty2pt2

四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..

4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.

當(dāng)0e1時，軌跡為橢圓；

當(dāng)e1時，軌跡為拋物線；

當(dāng)e1時，軌跡為雙曲線；

c

當(dāng)e0時，軌跡為圓（e，當(dāng)c0,ab時）.

a

5.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標(biāo)準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關(guān)

于原點對稱的.

由于具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點重合即可.

注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準方程與幾何性質(zhì)

橢圓雙曲線拋物線

定義．到兩定點的距離．到兩定點的距

1F1,F21F1,F2

之和為定值離之差的絕對值為定值

2a(2a>|F1F2|)

的點的軌跡的點的

2a(0<2a<|F1F2|)

軌跡

2．與定點和直線的距離2．與定點和直線的距離與定點和直線的距離相等

之比為定值e的點的軌之比為定值e的點的軌的點的軌跡.

跡.（0<e