鄭州大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院高等數(shù)學(xué)模擬試卷4

高等數(shù)學(xué)(一)模擬試卷第九套得分評卷人選擇題：1-10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,1.當(dāng)時，是的（）A.高階無窮小 B.低階無窮小C.同階無窮小但不是等價無窮小D.等價無窮小 2.設(shè)在點處連續(xù)，則a等于（）A.-1B.0C.1D.23.設(shè)，且存在，則等于（）A.B.C.D. 4.曲線在點在點（e，-1）的切線方程為（）A. B.C. D. 5.設(shè)在點的某鄰域域存在，且為的極大值等于（）A.2B.1C.0D.-26.設(shè)，則等于（）A.0B.8 C.D.7.設(shè)，則等于 ()A.1 B.1 C.D.8.設(shè)平面則平面與的關(guān)系為()A.平行但不重和B.重和C.垂直D.既不平行，也不垂直 9．級數(shù)()A.絕對收劍B.條件收劍C.發(fā)散D.收劍性與k有關(guān)10．微分方程的通解為()A．B.C.D.得分評卷人二、填空題：11-20小題，每小題4分，共40分.分.把答案填在題中橫線上.11．=.12．設(shè)則=.13.的單調(diào)增加區(qū)間為.14.=.15.設(shè),則=.16.=.17.設(shè)是收斂的，則k的取值范圍=.18.已知平面,則過點(0,0,0)且與垂直的直線方程為.19.設(shè)則=.20.微分方程的通解為.得分評卷人三、解答題：21-28小題，共70分，解答時應(yīng)寫出推理、演算步驟.21.（本題滿分8分）設(shè)求.22.(本題滿分8分)計算23．（本題滿分8分）求.在條件下的條件極值.（本題滿分8分）求的通解.25.（本題滿分8分）計算26.（本題滿分10分）計算,其中區(qū)域D由圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.27.(本題滿分10分)在曲線上求一點M（x,y）,使圖9-1中的陰影部分面積之和最小.圖9-128.（本題滿分10分）證明：在區(qū)間（0，1）內(nèi)有唯一實根.

參考答案與詳解一、選擇題：每小題4分，共40分1．D【解析】本題考查的知識點為無窮小階的比較.由于，可知點時與為等價無窮小，故應(yīng)選D.2.C【解析】本題考查的知識點為函數(shù)連續(xù)性的概念.由于y為其分段點，為分段點.在的兩側(cè)的表達(dá)方式不同，因此討論在處的連續(xù)性應(yīng)該利用左連續(xù)與右連續(xù)的概念.由于當(dāng)x=1為連續(xù)點時，應(yīng)有存在，從而有即a+1=2,可得a=1,因此選C.3.B【解析】本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)的定義.由于存在，因此可知應(yīng)選B.4.D【解析】本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)的幾何意義與切線方程.由于從而曲線過點（e，-1）的切線方程為因此可知應(yīng)選D.5.C【解析】本題考查的知識點為極值的必要條件;在一點導(dǎo)數(shù)的定義.由于為的極大值，且存在，由極值的必要條件可知從而可知應(yīng)選C.6.A【解析】本題考查的知識點為定積分的對稱性質(zhì).由于所給定積分的積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)為連續(xù)的奇函數(shù).由定積分的對稱性質(zhì)可知可知應(yīng)選A7．B【解析】本題考查的知識點為可變上限的積分.由于從而知可知應(yīng)選B.8.C【解析】本題考查的知識點為兩平面的位置關(guān)系.由于平面的法向量分別為可知從而.應(yīng)選C.9．A【解析】本題考查的知識點為級數(shù)的絕對收劍與條件收劍.由于設(shè)，則為的P級數(shù)，可知為收劍級數(shù).可知收劍，所給級數(shù)絕對收劍，故應(yīng)選A.10．B【解析】本題考查的知識點為二階常系數(shù)齊次微分方程的求解.微分方程為.特征方程為特征根為方程的通解為.二、填空題：每空4分，共40分.11．【解析】本題考查的知識點為連續(xù)性與極限的關(guān)系.由于為初等函數(shù)，定義域為，，點為其定義區(qū)間內(nèi)的點，從而知12．【解析】本題考查的知識點為一元函數(shù)的微分.由于故13．【解析】本題考查的知識點為利用導(dǎo)數(shù)符號判定函數(shù)的單調(diào)性.由于其定義域為又由于令得唯一駐點當(dāng)時，總有從而y單調(diào)增加.可知的單調(diào)增加區(qū)間為14．【解析】本題考查的知識點為不定積分的湊微分法.15．【解析】本題考查的知識點為可變上限積分求異.則16．【解析】本題考查的知識點為極限運算.由于17．.【解析】本題考查的知識點為廣義積分的收劍性.由于存在，可知.18．【解析】本題考查的知識點為直線的方程和平面與直線的關(guān)系.由于直線與已知平面垂直，可知直線的方向向量s與平面的法向量n平行.可以取，又已知直線過點(0,0,0)，由直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可知為所求.19．【解析】本題考查的知識點為二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).則20．【解析】本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解.特征方程為，特征跟為，因此所給微分方程的通三、解答題：共70分21．解：【解析】本題考查的知識點為導(dǎo)數(shù)運算.22．解：.【解析】本題考查的知識點為不定積分的運算.需指出，由于不是標(biāo)準(zhǔn)公式的形式，可以利用湊微分的分法求解.23.解:構(gòu)建啦格朗日函數(shù).令令令令令令可解得唯一組解所給問題可以解釋為在直線,上求到原點的距離平方最大或最小的點.由于實際上只能存在距離平方的最小值，不存在最大值，因此為所給問題的極小值點.極小值為【解析】本題考查的知識點為二元函數(shù)的條件極值通常的求解方法是引入啦格朗日函數(shù)，當(dāng)求出可能極值點之后，往往利用所給問題的實際意義或幾何意義判定其是否為極值點.24.解:特征方程為特征根為（二重根）.方程的通解為【解析】本題考查的知識點為二階線性常系數(shù)齊次微分方程解的結(jié)構(gòu).解：令則【解析】本題考查的知識點為定積分的分部積分法.解：利用極坐標(biāo)計算，解：如圖9-2，圖9-2圖9-2則令得駐點（舍掉）.可知為極小值點.此時最小因此為所求點.28．證令，則為上的連續(xù)函數(shù).由于可知在的兩個端點異號.因此由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理可知至少存在一點，使又在內(nèi)可知在內(nèi)單調(diào)增加，因此知在內(nèi)由唯一的實根.綜上可知，在內(nèi)有唯一的實根.【解析】本題考查的知識點為閉