江蘇省2023年中考數(shù)學(xué)第一部分考點(diǎn)研究復(fù)習(xí)第六章圓與圓有關(guān)的證明及計(jì)算鞏固集訓(xùn)（含解析）

PAGEPAGE17與圓有關(guān)的證明及計(jì)算穩(wěn)固集訓(xùn)1.(2022上海)：⊙O是△ABC的外接圓，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，點(diǎn)D在邊BC上，AE∥BC，AE＝BD.(1)求證：AD＝CE；(2)如果點(diǎn)G在線段DC上(不與點(diǎn)D重合)，且AG＝AD，求證：四邊形AGCE是平行四邊形．第1題圖2.(2022沈陽)如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC相交于點(diǎn)D，E，BD＝CD，過點(diǎn)D作⊙O的切線交邊AC于點(diǎn)F.(1)求證：DF⊥AC；(2)假設(shè)⊙O的半徑為5，∠CDF＝30°，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的長．(結(jié)果保存π)第2題圖3.(2022鹽城射陽縣二模)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC，D是劣弧AC上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，延長BD至E.(1)求證：AD的延長線DF平分∠CDE；(2)假設(shè)∠BAC＝30°，△ABC中BC邊上的高為2＋eq\r(3)，求⊙O的面積．第3題圖4.(2022南京一模)如圖①，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點(diǎn)C，AD⊥EF，垂足為D.(1)求證：∠CAD＝∠BAC；(2)如圖②，假設(shè)把直線EF向上移動(dòng)，使得EF與⊙O相交于G，C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)G的右側(cè))，連接AC，AG，假設(shè)題中其他條件不變，這時(shí)圖中是否存在與∠CAD相等的角？假設(shè)存在，找出一個(gè)這樣的角，并證明；假設(shè)不存在，說明理由．第4題圖5.(2022南通啟東市二模)如圖，扇形AOB中，∠AOB＝120°，弦AB＝2eq\r(3)，點(diǎn)M是eq\o(AB,\s\up8(︵))上任意一點(diǎn)(與端點(diǎn)A、B不重合)，ME⊥AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)M為圓心、ME長為半徑作⊙M，分別過點(diǎn)A、B作⊙M的切線，兩切線相交于點(diǎn)C.(1)求eq\o(AB,\s\up8(︵))的長；(2)試判斷∠ACB的大小是否隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而改變？假設(shè)不變，請求出∠ACB的大?。患僭O(shè)改變，請說明理由．第5題圖6.(2022曲靖)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB邊上的一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O與邊BC相切于點(diǎn)E.(1)假設(shè)AC＝5，BC＝13，求⊙O的半徑．(2)過點(diǎn)E作弦EF⊥AB于M，連接AF，假設(shè)∠F＝2∠B，求證：四邊形ACEF是菱形．第6題圖7.(2022呼和浩特)如圖，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C.(1)求證：∠FBC＝∠FCB；(2)FA·FD＝12，假設(shè)AB是△ABC外接圓的直徑，F(xiàn)A＝2，求CD的長．第7題圖8.(2022昆明)如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F.(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)假設(shè)∠F＝30°，EB＝4，求圖中陰影局部的面積(結(jié)果保存根號(hào)和π)．第8題圖9.(2022徐州模擬)如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.(1)如圖①，假設(shè)∠AEF＝∠C，求證：BC與⊙O相切；(2)如圖②，假設(shè)∠BAC＝90°，BD長為多少時(shí)，△AEF與△ABC相似．第9題圖10.(2022包頭)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，DE的延長線交⊙O于點(diǎn)G，DF⊥DG，且交BC于點(diǎn)F.(1)求證：AE＝BF；(2)連接GB，EF，求證：GB∥EF；(3)假設(shè)AE＝1，EB＝2，求DG的長．第10題圖答案1.證明：(1)在⊙O中，∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AB＝AC，∵∠B＝∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CA,∠B＝∠EAC,BD＝AE))，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴AD＝CE；(2)如解圖，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)H，在BC上找一點(diǎn)G，連接AG，使AG＝AD，第1題解圖∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，OA為半徑，∴AH⊥BC，∴BH＝CH，∵AD＝AG，∴DH＝HG，∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG，∵BD＝AE，∴CG＝AE，∵CG∥AE，∴四邊形AGCE是平行四邊形．2.(1)證明：如解圖，連接OD，第2題解圖∵DF是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，∴OD⊥DF，∴∠ODF＝90°，∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC；(2)解：∵∠CDF＝30°，由(1)得∠ODF＝90°，∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))的長＝eq\f(nπr,180)＝eq\f(60π×5,180)＝eq\f(5,3)π.3.(1)證明：∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，又∵∠ADC＋∠CDF＝180°，∴∠CDF＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF，∵∠ADB＝∠EDF，∴∠EDF＝∠CDF，即AD的延長線DF平分∠CDE；(2)解：如解圖，連接AO并延長交BC于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)M，連接OC，第3題解圖∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AH⊥BC，∴∠OAC＝∠OAB＝eq\f(1,2)BAC＝eq\f(1,2)×30°＝15°，∴∠COH＝2∠OAC＝30°，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OCH中，那么OH＝OC·cos30°＝eq\f(\r(3),2)r，∵△ABC中BC邊上的高為2＋eq\r(3)，∴AH＝OA＋OH＝r＋eq\f(\r(3),2)r＝2＋eq\r(3)，解得r＝2.∴S＝πr2＝4π.∴△ABC的外接圓的面積為4π.4.(1)證明：如解圖①，連接OC，那么OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，OC⊥EF，∴OC∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC；第4題解圖(2)解：與∠CAD相等的角是∠BAG.證明如下：如解圖②，連接BG.∵四邊形ACGB是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G三點(diǎn)共線，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD＝∠ABG，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG＋∠ABG＝90°，∵AD⊥EF，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BAG.5.解：(1)過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如解圖，那么AH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∵∠AOB＝120°，∴∠OAH＝30°，∴AO＝eq\f(AH,cos30°)＝2，∴l(xiāng)eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(120π·2,180)＝eq\f(4π,3)；第5題解圖(2)如解圖，連接AM、BM，∵M(jìn)E⊥AB，∴AB是⊙M的切線，∵AC、BC是⊙M的切線，∴⊙M是△ABC的內(nèi)切圓，∴AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分線，∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝180°－eq\f(1,2)(∠CAB＋∠ABC)＝180°－eq\f(1,2)(180°－∠ACB)，∴∠AMB＝90°＋eq\f(1,2)∠ACB，∵∠AOB＝120°，∴∠AMB＝120°，∴∠ACB＝60°，即∠ACB的大小不變，為60°.6.(1)解：如解圖，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，那么OA＝OE＝r.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝eq\r(BC2－AC2)＝eq\r(132－52)＝12，第6題解圖∵⊙O與BC邊相切于點(diǎn)E，∴OE⊥BC，∴∠OEB＝∠CAB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△BOE∽△BCA，∴eq\f(BO,BC)＝eq\f(OE,CA)，即eq\f(12－r,13)＝eq\f(r,5)，解得r＝eq\f(10,3).所以⊙O的半徑為eq\f(10,3).(2)證明：分別連接OE、OF，如解圖，∵BC⊥OE，∴∠B＋∠BEF＝∠OEF＋∠BEF，∴∠B＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OFE＝∠OEF＝∠B，∵∠F＝2∠B，∴∠OFA＝∠AFE－∠OFE＝2∠B－∠B＝∠B，又∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝∠B，∴AF∥CB，∵CA⊥AB，EF⊥AB，∴CA∥EF，∴四邊形AFEC是平行四邊形．連接OC，如解圖，∵AO＝EO，∠CAO＝∠CEO＝90°，CO＝CO，∴Rt△AOC∽R(shí)t△EOC.∴CA＝CE，∴平行四邊形AFEC是菱形．7.(1)證明：∵四邊形AFBC是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠FBC＋∠FAC＝180°，又∵∠CAD＋∠FAC＝180°，∴∠FBC＝∠CAD，∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，∴∠EAD＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠EAD＝∠FAB，∴∠FAB＝∠CAD＝∠FBC，又∵∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB.(2)解：由(1)知∠FBC＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠FAB，∴∠FAB＝∠FBC，又∵∠BFA＝∠BFD，∴△AFB∽△BFD，∴eq\f(BF,DF)＝eq\f(FA,FB)，即BF2＝FA·FD＝12，解得：BF＝2eq\r(3)，∵FA＝2，∴FD＝6，AD＝4，∵AB為圓的直徑，∴∠BFA＝∠BCA＝90°，∴tan∠FBA＝eq\f(AF,BF)＝eq\f(2,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠FBA＝30°，由△AFB∽△BFD得，∠FBA＝∠FDB，∴∠FDB＝30°，∴CD＝AD·cos30°＝2eq\r(3).8.(1)證明：如解圖，連接OD，第8題解圖∵四邊形OBEC是平行四邊形，∴OC∥BE，∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠DOC＝∠AOC，在△COD和△COA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OC,∠COD＝∠COA,OD＝OA))，∴△COD≌△COA(SAS)，∴∠CAO＝∠CDO＝90°，∴CF⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線；(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等邊三角形，∴∠DBO＝60°，∵∠DBO＝∠F＋∠FDB，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∵EC∥OB，∴∠E＝180°－∠OBD＝120°，∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝30°，∴EC＝ED＝BO＝DB，∵EB＝4，∴OB＝OD＝OA＝2，在Rt△AOC中，∵∠OAC＝90°，OA＝2，∠AOC＝60°，∴AC＝OA·tan60°＝2eq\r(3)，∴S陰＝2S△OAC－S扇形OAD＝2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(120π·22,360)＝4eq\r(3)－eq\f(4π,3).9.(1)證明：如解圖，連接DF，在⊙O中∠AEF＝∠ADF，第9題解圖又∵∠AEF＝∠C，∴∠ADF＝∠C，∵AD為⊙O的直徑，∴∠AFD＝90°，∴∠CFD＝90°，∴∠C＋∠CDF＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，又∵AD為⊙O的直徑，∴BC與⊙O相切；(2)解：分兩種情況：①假設(shè)△AEF∽△ACB，那么∠AEF＝∠C，由(1)知BC與⊙O相切，∴設(shè)BD＝x，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴由勾股定理得BC＝10，∴DC＝10－x，∴根據(jù)勾股定理得eq\r(62－x2)＝eq\r(82－〔10－x〕2)，解得x＝3.6，∴BD＝3.6；②假設(shè)△AEF∽△ABC，∴∠AEF＝∠B，∴EF∥BC，∵∠EAF為直角，∴EF為直徑，∴△AEO∽△ABD，∴eq\f(EA,BA)＝eq\f(EO,BD)＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(1,2)，∴BD＝2EO＝EF，∵△AEF∽△ABC，∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(EA,BA)＝eq\f(1,2)，即BD＝2EO＝EF＝eq\f(1,2)BC＝5.10.(1)證明：如解圖，連接BD，第10題解圖在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝eq\f(1,2)AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，∵∠EDA＝∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，在△AED和△BFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠FBD,AD＝BD,∠EDA＝∠FDB))，∴△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF；(2)證明：如解圖，連接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DF＝DE，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF；(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根據(jù)