八年級下冊勾股定理知識點(diǎn)歸納

梯形梯形八級冊股理識和型習(xí)一基知點(diǎn)

D

H

１勾定

F

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，，邊為，么

２勾定的明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形通過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

常見方法如下：

D方法一：

，，簡證．

方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形1的面積與小正方形面積的和S大正方形面積為2

a)

ab

所以a

方法三：

1())，abc22

，化簡得證３勾定的用圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角４勾股理應(yīng)①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在

ABC中Ca，

，a

②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實際問題５勾定的定如果三角形三邊長a，b，c滿a

，那么這個三角形是直角三角形，其中c斜邊①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通數(shù)化為形來定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時，可用兩小邊的平方和

與較長邊的平方c

作比較，若它們相等時，以，c為邊的三角形是直角三角形；否則，就不是直角三角形。②定理中a，b，及a

只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長ab，滿a，么以a，為邊的三角形是直角三角形，但是為邊③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時，個三角形是直角三角形６勾數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)

中，，bc為整數(shù)時稱，b，為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3；6,8,10；；，③用含字母的代數(shù)式表示n組股數(shù)：-1-

n,n（n為正整

2nnn為正整數(shù)mmn,

（,m，為整數(shù)）７勾定的用勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明題使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便用勾股定理進(jìn)行計算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．８勾定逆理應(yīng)勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角具推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．９勾定及逆理應(yīng)勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解．常見圖形：C

CA

B

DB

D

D

二、經(jīng)例精題一直考勾定例１.在中⑴已知，BC．求的⑵已知，，的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a解：⑴AC

⑵AB

題二利勾定測長例1如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米的梯子可以到達(dá)建筑物的度是多少米？解：是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后.知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理AC+BC=AB,即AC+9=15,以AC=144,以AC=12.例2如（）水中離岸邊點(diǎn)1.5米的C處直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D，并求水池的深度AC.解：例題一樣先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖2.由題可知△ACD中∠ACD=90°,在Rt△ACD中知CD=1.5是型利用勾股定知二求一”的類型。標(biāo)準(zhǔn)解題步驟如下（僅供參考）：-2-

解如圖，根據(jù)勾股定理AC+CD=AD設(shè)水深A(yù)C=x米，那么AD=AB=AC+CB=+0.5故水深為2米x=（x+0.5）解之得x=2.題三勾股理逆理用例3如，正方形中E是BC邊的中點(diǎn)F是AB上一，且

14

AB

那eq\o\ac(△,么)DEF是角三角形嗎？為什么？解：道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)題會意可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，沒有任何條件，我們也可以開創(chuàng)條件，由

14

AB

可以設(shè)AB=4，那么BE=CE=2,AF=3a,BF=,那么在eq\o\ac(△,Rt)、Rt△BEF和eq\o\ac(△,Rt)中分別利用勾股定理求出DF,EF和DE的長，反過來再利用勾股定理逆定理去判是否是直角三角形。詳解題步驟如下：解設(shè)正方形ABCD的長為4,則BE=CE=2,AF=3,BF=在eq\o\ac(△,Rt)CDE中，DE+CE=(4)+(2a同理=DF=

在△DEF中EF+DE=5a20a==DF∴△DEF是角三角形，且∠DEF=90°.注本利了次股理是握股理必習(xí)。題四利用股理線長例4如圖4，已知長方形ABCDAB=8cm,BC=10cm,在邊CD上一點(diǎn)E，eq\o\ac(△,將)ADE折使點(diǎn)D好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的.解：題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。解根據(jù)題意得eq\o\ac(△,Rt)ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°,AF=10cm,EF=DE設(shè)CE=x，DE=EF=CD－CE=8－在Rt△ABF中勾股定理得AB+BF=AF，+BF=10，∴BF=6cm－6=4(cm)在eq\o\ac(△,Rt)ECF中由勾股定理可得：EF=CE+CF，(8－x=x+4∴64－16xx=2+16∴=3(cm),CE=3cm注本接來可折的度求疊分面。題五利勾定逆理斷直例5如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是垂直與AB邊CD邊，測得-3-

AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD與AB邊垂嗎？怎樣去驗證AD邊CD邊否垂直？解：于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？)連結(jié)MN測量MN的長度。①如果MN=15,則AM+AN=MN,所以AD與AB邊垂；②如果MN=≠15,則9+12=81+144=225,≠225,即9≠a，以A不是角。例6有一傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西要移至5米以，燈就自動打開，一個身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解：先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈米是腳先距離燈5米可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，表示控制燈BM表示的高度BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)（點(diǎn)）距離A有5米時求BC的度。已知AN=4.5米所米由勾股定理可計算BC=4米即要走到離門4米的候燈剛好打開。題六關(guān)于折題如圖，矩形紙片ABCD的，，為BC上點(diǎn)將矩形紙片沿AE折，點(diǎn)B恰落在CD邊的點(diǎn)G處求BE的長.變式：如圖，AD是△的線，∠ADC=45，把沿線翻，點(diǎn)C落點(diǎn)的置BC=4,求’的長.三、勾股定理練習(xí)題（、擇1、下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角角形的是（）A，5：1，

C，8，11D：5，232、在Rt△ABC中，∠C＝90°＝12，b，則的長()AB：18C：20D3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知P坐標(biāo)(3,4)則OP的長為()A：3B：4C：5D

4、在Rt△ABC中，＝90°，∠B＝10則長為)AB：

C：50D：

5、已知Rt△ABC中∠C=90°若a+b=14cm，c=10cm則Rt△ABC的積是（）AB、CD、60cm6、若等腰三角形的腰長為10，邊長為，則底邊上的高為（）A、6BC、8D7、已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，

-4-

AB

EDCF第7題

將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重，折痕為EF，則ABE的面積為（）A、3cmB、4cmC、6cmD、12cm8、若△ABC中

ABcm,AC

，高AD=12,則BC的為A、14B、4C或4D以上都不對

B9、如，正方形網(wǎng)格中的eq\o\ac(△,，)ABC若小方格邊長為，則ABC是（）（A）直角三角形(B)銳角三角形(C)角三角形以上答案都不對

C、在一棵樹的米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池

A塘的A處另一只爬到樹頂D后直接躍到A處距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹D高是（）A、B、C、16D、5（、空

B1、若一個三角形的三邊滿足

c2

，則這個三角形是。

C

第10題圖

A2、木工師傅要做一個長方形桌，做好后量得長為80cm寬為60cm，角線為100cm，則這個桌面“格”或“不合格”）3、直角三角形兩直角邊長分別3和，則它斜邊上的高_(dá)_________。4、如右圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，正方形A，B，C，D面積的和為。5、如右圖將矩形ABCD沿直線AE折,頂點(diǎn)恰好在BC邊上F處已知則BF=___________。6、將一根長為㎝的筷子置于面直徑為㎝，為12㎝的圓柱形水杯中，

ADE設(shè)筷子露在杯子外面的長為h㎝則h取值范圍________________。

B

第6題圖

F

C（、答1、已eq\o\ac(△,)ABC的邊分別為k2－1，2k，k

（k＞1證eq\o\ac(△,)ABC直角三角（9分如圖，2、如圖，四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，CD＝12cm，DA，且∠ABC＝90，四邊形ABCD的積。（2題）-5-

．如圖，在eq\o\ac(△,Rt)中，∠ACB=90°⊥ABBC=6，AC=8，求AB的長

A

DE（3題）

B

FC（4題圖）．如圖，小紅用一張長方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為，長BC?10cm．當(dāng)小紅折疊時，頂點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處（痕為AE一，此時EC有長?5．如圖，、B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是和500m，村莊之間的距離為已d=400000m)，要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到停靠站的距離之和最小。問最小是多少？

BAl（5題）參考答案：（一）

１、Ｂ２、Ｃ３、Ｃ４、Ｃ５、A６、Ｃ７、Ｃ８、Ｃ9、A10、D（二）１、直角三角形２合格３、

４、２５５、６6、２≤ｈ≤３（三１提示（k－12（2k（k2+1）22、解：連接AC∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC，＝ＡＢ＋ＢＣＡＣ=

9

=5cm

AB==6cm2

在△ACD中，Ｃ+CD=25+144=169，DA=13=169，∴DA=ＡＣ+CD∴△ACD是eq\o\