復(fù)合函數(shù)定義域的含義及求法

第頁共頁復(fù)合函數(shù)定義域的含義及求法復(fù)合函數(shù)定義域的含義假設(shè)函數(shù)=的定義域是B,=的定義域是A,那么復(fù)合函數(shù)=[]的定義域是求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn):⑴當(dāng)為整式或奇次根式時(shí)，R;⑵當(dāng)為偶次根式時(shí)，被開方數(shù)不小于0(即≥0);⑶當(dāng)為分式時(shí)，分母不為0;當(dāng)分母是偶次根式時(shí)，被開方數(shù)大于0;⑷當(dāng)為指數(shù)式時(shí)，對(duì)零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，底不為0(如，中)。⑸當(dāng)是由一些根本函數(shù)通過四那么運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各局部都有意義的自變量的值組成的集合，即求各局部定義域集合的交集。⑹分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。⑺由實(shí)際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實(shí)際意義對(duì)自變量的要求⑻對(duì)于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時(shí)一般要對(duì)字母的取值情況進(jìn)展分類討論，并要注意函數(shù)的定義域?yàn)榉强占?。⑼?duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。⑽三角函數(shù)中的切割函數(shù)要注意對(duì)角變量的限制。復(fù)合函數(shù)定義域的求法復(fù)合函數(shù)定義域求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：⑴當(dāng)為整式或奇次根式時(shí)，R的值域;⑵當(dāng)為偶次根式時(shí)，被開方數(shù)不小于0(即≥0);⑶當(dāng)為分式時(shí)，分母不為0;當(dāng)分母是偶次根式時(shí)，被開方數(shù)大于0;⑷當(dāng)為指數(shù)式時(shí)，對(duì)零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，底不為0。⑸當(dāng)是由一些根本函數(shù)通過四那么運(yùn)算結(jié)合而成的，它的定義域應(yīng)是使各局部都有意義的自變量的值組成的集合，即求各局部定義域集合的交集。⑹分段函數(shù)的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。⑺由實(shí)際問題建立的函數(shù)，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實(shí)際意義對(duì)自變量的要求⑻對(duì)于含參數(shù)字母的函數(shù)，求定義域時(shí)一般要對(duì)字母的取值情況進(jìn)展分類討論，并要注意函數(shù)的定義域?yàn)榉强占?。⑼?duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零，底數(shù)大于零且不等于1。⑽三角函數(shù)中的切割函數(shù)要注意對(duì)角變量的限制。復(fù)合函數(shù)常見題型(ⅰ)f(x)定義域?yàn)锳，求f[g(x)]的定義域：本質(zhì)是g(x)的范圍為A，以此求出x的范圍。(ⅱ)f[g(x)]定義域?yàn)锽，求f(x)的定義域：本質(zhì)是x的范圍為B，以此求出g(x)的范圍。(ⅲ)f[g(x)]定義域?yàn)镃，求f[h(x)]的定義域：本質(zhì)是x的范圍為C，以此先求出g(x)的范圍(即f(x)的定義域);然后將其作為h(x)的范圍，以此再求出x的范圍。拓展閱讀：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么證明例如：要求f(g(x))對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，且f(g(x))和g(x)均可導(dǎo)。首先，根據(jù)定義：當(dāng)h-》0時(shí)，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，當(dāng)h-》0時(shí)，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)-》0設(shè)v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k所以，f(g(x)+[g'(x)+v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h(其實(shí)就是y=g(x),k=[g'(x)+v]h)所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h?f(g(x)))/h=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]當(dāng)h-》0時(shí)，u和v都-》0，這個(gè)容易看。所以當(dāng)h-》0時(shí)，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=[f'(g(x))+0]·[g'(x)+0]=f'(g(x))·g'(x)然后f'(g(x))=f'(g(x))·g'(x)證畢不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有當(dāng)Mx∩Du≠?時(shí)，二者才可以構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么證明例如：要求f(g(x))對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，且f(g(x))和g(x)均可導(dǎo)。首先，根據(jù)定義：當(dāng)h-》0時(shí)，g'(x)=lim(g(x+h)-g(x))/h，所以，當(dāng)h-》0時(shí)，lim(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)-》0設(shè)v=(g(x+h)-g(x))/h-g'(x)就有：g(x+h)=g(x)+(g'(x)+v)h同理：f(y+k)=f(y)+(f'(y)+u)k所以，f(g(x)+[g'(x)+v]h)=f(g(x))+[f'(g(x))+v]*[g'(x)+v]h(其實(shí)就是y=g(x),k=[g'(x)+v]h)所以，(f(g(x+h))-f(g(x)))/h=(f(g(x))+[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]h?f(g(x)))/h=[f'(g(x))+u]·[g'(x)+v]當(dāng)h-》0時(shí)，u和v都-》0