2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高二（實驗班）下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣高二（實驗班）下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)和的長度都為最短時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件確定點M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點M在平面內(nèi)，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A2．已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由直線垂直可得直線的斜率，再由點斜式方程即可得解.【詳解】因為直線的斜率為，直線與該直線垂直，所以直線的斜率，又直線經(jīng)過點，所以直線的方程為即.故選：A.3．等差數(shù)列的公差為d，前n項和，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可得，當(dāng)證得為遞增數(shù)列，反之亦可.【詳解】因為，所以，若，則關(guān)于n的函數(shù)單調(diào)遞增，所以數(shù)列為遞增數(shù)列；若為遞增數(shù)列，則，即，解得.所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：A4．已知圓：，直線：，若在直線上任取一點作圓的切線，，切點分別為，，則最小時，原點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將最小轉(zhuǎn)化為，根據(jù)點到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由得，所以圓心，半徑，在中，，當(dāng)最小時，最小，最大，最小，此時，的最小值為圓心到直線的距離：，此時，，因為，所以，所以圓心到直線的距離為，所以兩平行直線與之間的距離為，因為原點到直線的距離為，所以原點到直線的距離為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：將最小轉(zhuǎn)化為是解題關(guān)鍵.5．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點B，D恰好重合，記為點P，則AC與平面PCE所成角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因為正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則由，，，得，解得，則設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因為AC與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A6．在數(shù)列中，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】利用條件可得數(shù)列為周期數(shù)列，再借助周期性計算得解.【詳解】∵∴，，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，∴，故選：A.7．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出P點坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進(jìn)一步整理為關(guān)于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標(biāo)為，將P點坐標(biāo)為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.8．已知雙曲線的一個焦點關(guān)于其中一條漸近線的對稱點為，若點P恰在C上，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】可根據(jù)已知條件，利用P，關(guān)于漸近線對稱，先求解出的值，然后利用雙曲線的定義分別根據(jù)、與、之間的關(guān)系，借助，從而求解出雙曲線方程.【詳解】如圖，設(shè)雙曲線C的兩個焦點分別為，由已知P，關(guān)于漸近線對稱，所以，故.因為，所以.又到漸近線距離為，所以.故，由雙曲線定義知：，所以.又，所以.所以雙曲線的方程為.故選：A.9．已知拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，過點P向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為N.若，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義及得到為等邊三角形，求出邊長為4，計算出面積.【詳解】如圖，根據(jù)拋物線定義，可知PF=PN，OF=AO=2，又因為，所以三角形PNF為等邊三角形，點F作FM⊥PN于點M，則M為PN的中點，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得：，所以的面積為.故選：C10．設(shè)為數(shù)列的前n項和，，且滿足，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由已知條件可得數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B11．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件列方程求出公比，從而可求出【詳解】，整理得.因為等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以公比，則，所以，即，所以.故選：A.12．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當(dāng)感染人數(shù)增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程．二、填空題13．設(shè)直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.【答案】2【分析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關(guān)系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14．若傾斜角為的直線被直線：與：所截得的線段長為，則____________.【答案】##【分析】由已知直線可得兩直線平行，可以計算平行線間的距離，從而得到直線m與已知直線垂直，再計算斜率和傾斜角.【詳解】設(shè)直線與直線，分別相交于A，B兩點，由題意知，平行直線與直線之間的距離，所以直線與直線，垂直，所以直線的斜率為1，傾斜角.故答案為：15．已知雙曲線的左右焦點分別為，過點的直線交雙曲線右支于A，B兩點，若是等腰三角形，且，則的面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意可知，，再結(jié)合，即可求出各邊，從而求出的面積．【詳解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面積為．故答案為：．16．已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前2022項的和為___________.【答案】【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項和公差，得出前項和，再由裂項相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，解得，因此，所以，所以數(shù)列的前2022項的和為.故答案為：.三、解答題17．已知圓，直線：，(1)求證：直線與圓C相交；(2)直線與圓C交于A，B兩點，判斷何時最長，何時最短？當(dāng)最短時，求m的值以及最短長度．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）先求出直線l過定點，再驗證點在圓內(nèi)，從而可證明.(2)由題意當(dāng)直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長，當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，從而可得答案.【詳解】（1）證明：直線l的方程可化為，聯(lián)立解得所以直線恒過定點．因為，所以點在圓C內(nèi)部，所以直線l與圓C相交．（2）令，當(dāng)直線l過圓心C時，直線被圓截得的弦長最長，當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短．直線l的斜率為，．由．解得．此時直線l的方程是．圓心到直線的距離為，．所以最短弦長是．18．如圖，在四面體ABCD中，，平面ABC，點M為棱AB的中點，，．(1)證明：；(2)求平面BCD和平面DCM夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用線面垂直的判定定理證明平面ABD即可；（2）以A為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BCD的一個法向量和平面DCM的一個法向量，然后由求解．【詳解】（1）證明：∵平面ABC，∴，又，，∴平面ABD，∴．（2）如圖，以A為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，依題意，可得，．設(shè)為平面BCD的一個法向量，則，不妨令，可得．設(shè)為平面DCM的一個法向量，則，不妨令，可得，所以．所以平面BCD和平面DCM的夾角的余弦值為．19．已知橢圓C：（）過點，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點（）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于A，B兩點，點C與點B關(guān)于x軸對稱，直線AC與x軸交于點Q，試問是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）由題意可得解方程組求出，從而可得橢圓方程，（2）設(shè)直線AB：，，代入橢圓方程，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出直線AC的方程，從而可求出點Q的坐標(biāo)，從而可表示出，然后化簡可得結(jié)論【詳解】（1）由題意得解得故橢圓C的方程為；（2）設(shè)直線AB：，，聯(lián)立消去y得，設(shè)，，得，，因為點C與點B關(guān)于x軸對稱，所以，所以直線AC的斜率為，直線AC的方程，令，解得可得，所以，因為，所以，所以為定值．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線AB的方程代入橢圓方程中化簡，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知條件表示出直線AC的方程，從而可求出點Q的坐標(biāo)，考查計算能力，屬于中檔題20．已知是等差數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列回到基本量，解出首項和公差即可求解；（2）先求前項和，再建立方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以.解得.所以.（2）.因為，所以，解得或.因為，所以.21．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點）．(1)求拋物線的方程；(2)直線與拋物線交于兩點，若以為直徑的圓經(jīng)過點，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)點在拋物線上和三角形面積公式建立等式直接求解；(2)將問題轉(zhuǎn)化為，利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）因為點在拋物線上,所以,,所以,解得,所以拋物線方程為.（2）設(shè)聯(lián)立，整理得由直線拋物線交于兩點可知，且則，且依題意以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，所以，即整理得解得，滿足條件，故直線的方程為22．已知雙曲線的左焦點為，右頂點為，過點向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，直線與雙曲線的左支交于點.（1）設(shè)為坐標(biāo)原點，求線段的長度；（2）求證：平分.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）不妨設(shè)在第二象限，可得和方程，聯(lián)立可求得，由兩點間距離公式可化