2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年北京市西城區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知空間向量，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算即可求解.【詳解】，故選：.2．如果空間向量不共面，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量不共面性質(zhì)求出即可的答案.【詳解】因?yàn)?，所以，由空間向量不共面，所以，所以，故選：D.3．已知點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)為正方形所在平面外一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別在和中利用向量加法的平行四邊形法則就可得出答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是正方形的中心，所以分別為,的中點(diǎn)，所以在中，，同理，在中，，所以.故選：.4．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)下列敘述中正確的是（

）①點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是②點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是④點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】C【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷即可．【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故①錯(cuò)誤；點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則②正確；點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，則③錯(cuò)誤；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，故④正確，故正確的命題的序號(hào)是②④，故選：C.5．已知直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．7【答案】A【分析】根據(jù)兩直線平行的系數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求解【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得.故選：A6．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）．A． B． C．15 D．20【答案】B【分析】寫出展開式的通項(xiàng)公式，再令得，再代入通項(xiàng)公式即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，的展開式的通項(xiàng)公式，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：B7．已知直三棱柱中，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減法則逆運(yùn)算得，結(jié)合夾角與模長(zhǎng)計(jì)算即可.【詳解】在直三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，則，故選：A.8．已知直線的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切的二倍角公式，可得答案.【詳解】由直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，由直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，設(shè)直線的傾斜角為，則，，，解得或，由傾斜角的取值范圍為，則，故直線的斜率為.故選：C.9．如圖所示，已知正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別以直線，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面的法向量為，根據(jù)，即可求出法向量，設(shè)直線和平面所成角為，則根據(jù)即可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】解：以邊，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則：，，，，，；，，，設(shè)平面的法向量為，則；，取，則，則；設(shè)和平面所成角為，則：；故選：C.10．馬路上有依次編號(hào)為的9盞路燈，為節(jié)約用電，某個(gè)時(shí)段可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞，而且兩端的燈也不能關(guān)掉，則滿足條件的不同關(guān)燈方法的種數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先讓兩端的兩盞燈亮著，再點(diǎn)亮中間7盞中的4盞，4盞燈有5個(gè)空，利用插空法即可求解.【詳解】讓兩端的兩盞燈亮著，再點(diǎn)亮中間7盞中的4盞，4盞燈有5個(gè)空格，從5個(gè)空格中隨機(jī)的選3個(gè)空格，因?yàn)闊羰菦]有順序的，所以共有種，故選：.二、填空題11．已知向量，則______.【答案】0【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得答案.【詳解】由，則，由，則.故答案為：.12．設(shè)，則______【答案】63【分析】利用賦值法分別令和即可求解.【詳解】由，令，則，即，令，則，即，所以.故答案為：63.13．用排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為______【答案】【分析】可以看作是3個(gè)空，要求個(gè)位是偶數(shù)，其它位置無(wú)條件限制，因此先從3個(gè)偶數(shù)中任選1個(gè)填入個(gè)位，其它3個(gè)數(shù)在2個(gè)位置上排列即可.【詳解】要排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),則個(gè)位數(shù)為偶數(shù)即選擇有3種，其它位數(shù)的排列數(shù)為，即這樣的數(shù)有個(gè)，故答案為:.14．已知點(diǎn)，則原點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【分析】由等體積法求點(diǎn)面距離.【詳解】分別為x、y、z軸上的點(diǎn)，則，.設(shè)原點(diǎn)到平面的距離為h，由得.解得.故答案為：.15．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)在直線上以及斜率得出方程組，解方程組即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).由已知直線的斜率為1，所以，解得，所以點(diǎn).故答案為：.16．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)在棱上，當(dāng)取得最小值時(shí)，，則線段的長(zhǎng)為______【答案】【分析】把長(zhǎng)方形展開到長(zhǎng)方形所在的平面，利用三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，可得等量關(guān)系，再利用勾股定理列方程，求出即可.【詳解】把長(zhǎng)方體展開到長(zhǎng)方形所在的平面，易知，當(dāng)在同一直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，設(shè)，，原圖形中,則有，，，因?yàn)?，所以，即，解得：．故答案為?三、解答題17．已知點(diǎn).(1)求過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程；(2)求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出，再用點(diǎn)斜式求方程即可；(2)先求出直線的方程，再求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】（1），過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程為：，即；（2）又(1)知，則直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為.18．在棱長(zhǎng)為4的正方體中，解答下列問題：(1)點(diǎn)分別是線段和的四等分點(diǎn)，分別滿足，求和所成角的余弦值；(2)點(diǎn)是線段的四等分點(diǎn)，滿足，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線的夾角；(2)根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出直線的方向向量和平面的法向量，從而計(jì)算線面夾角的正弦值.【詳解】（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以，所以，所以和所成角的余弦值為.（2）由（1）可知，，設(shè)平面的法向量為，與平面所成角為，則，令則，所以，所以.19．分別求滿足下列條件的各圓的方程.(1)過點(diǎn)且圓心在直線上；(2)與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長(zhǎng)為.【答案】(1)(2)或【分析】（1）求得弦的中垂線方程，聯(lián)立求得圓心，計(jì)算半徑，可得答案；（2）設(shè)出圓心與半徑，利用弦長(zhǎng)公式，可得答案.【詳解】（1）由，則其中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率，即線段的中垂線方程為，聯(lián)立兩直線方程，可得，解得，則圓心為，半徑，故圓的方程為.（2）設(shè)圓心為，則半徑，，即，圓心到直線的距離，由直線截得的弦長(zhǎng)為，則，解得，當(dāng)時(shí)，，半徑，此時(shí)圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，半徑，此時(shí)圓的方程為.20．如圖，已知四棱錐中，是直角梯形，，平面，.(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)4(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個(gè)面的法向量，然后用二面角公式即可.【詳解】（1）∵平面平面∴，又

兩兩互相垂直，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)平面的一個(gè)法向量即令，可得，，記點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為4.（2）由(1)可知平面的一個(gè)法向量為平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，，所以二面角的余弦值為.21．如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，平面平面.，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為直線.(1)求證：直線平面；(2)求證：直線直線；(3)直線上是否存在點(diǎn)，使直線分別與平面、直線所成的兩角互余？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)當(dāng)時(shí)，直線分別與平面、直線所成的兩角互余，理由見解析.【分析】（1）先證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明直線平面；(2)根據(jù)線面平行判定定理證明平面，再由線面平行性質(zhì)定理證明直線直線；（3）建立直角坐標(biāo)系，求出面的法向量，繼而求出，利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是以為直徑的圓上異于的點(diǎn)，所以又平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2），分別是，的中點(diǎn)，所以，又平面，不包含于面，所以平面，又面，平面平面，所以，（3）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，∴，，設(shè),,，平面的法向量為，則，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，且，，，設(shè)直線與平面所成的角為、直線與直線所成的角為，則，，因?yàn)橹本€分別與平面、直線所成的兩角互余，所以，所以，所以，所以．所以當(dāng)時(shí)，直線分別與平面、直線所成的角互余．22．記集合，對(duì)于定義：為由點(diǎn)確定的廣義向量，為廣義向量的絕對(duì)長(zhǎng)度，(1)已知，計(jì)算；(2)設(shè)，證明：；(3)對(duì)于給定，若滿足且，則稱為中關(guān)于的絕對(duì)共線整點(diǎn)，已知，①中關(guān)于的絕對(duì)共線整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______；②若從中關(guān)于的絕對(duì)共線整點(diǎn)中任取個(gè)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，滿足，則的最小值為______【答案】(1)(2)證明見解析；(3)①108；②73【分析】(1)由廣義向量的絕對(duì)長(zhǎng)度的定義計(jì)算即可；(2)根據(jù)廣義向量的絕對(duì)長(zhǎng)度的定義結(jié)合絕對(duì)值三角不等式證明；(3)①根據(jù)絕對(duì)共線整點(diǎn)的定義由(2)結(jié)合條件列關(guān)系式，確定的絕對(duì)共線整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；②先考慮坐標(biāo)都為3的點(diǎn)中至少取多少個(gè)元素滿足要求，由此確定的最小值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；?）由已知設(shè)，則，，，由絕對(duì)值三角不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，都成立時(shí)等號(hào)成立；所以；（3）①設(shè)，為中關(guān)于的絕對(duì)共線整點(diǎn)，則；因?yàn)椋?，，，所以，，，所以中關(guān)于的絕對(duì)共線整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，②先考慮的絕對(duì)共線整點(diǎn)中坐標(biāo)都為3的點(diǎn)，考慮取出坐標(biāo)分別為1,2,3,5，坐標(biāo)為3的點(diǎn)的所有點(diǎn)共24個(gè)，因?yàn)?,2,3,5中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于另兩個(gè)數(shù)的和，故不存在滿足要求的四個(gè)點(diǎn)，若取出坐標(biāo)分別為1,2,3,5，坐標(biāo)為3的點(diǎn)的所有點(diǎn)共24個(gè)，加入坐標(biāo)為4，坐標(biāo)為3的任意點(diǎn)，則存在，則存在，，滿足要求；同理加入坐標(biāo)為6，坐標(biāo)為3的任意點(diǎn)都存在滿足要求的四