2021-2022學(xué)年吉林省乾安縣高二年級(jí)上冊學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年吉林省乾安縣高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若某拋物線過點(diǎn)（），且關(guān)于軸對(duì)稱，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由于已知拋物線的對(duì)稱性，則可設(shè)拋物線然后把代入求出即可．【詳解】解：依題意設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：A．2．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．45 B．32 C．47 D．54【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)可知：成等差數(shù)列，然后根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】由題可知：成等差數(shù)列所以，又，所以故選：A3．是方程表示橢圓的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】時(shí)，，，但當(dāng)時(shí)，，方程表示圓．不充分，方程表示橢圓時(shí)，，即且，是必要的．應(yīng)為必要不充分條件．故選：B．4．如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合空間線段的關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，連接OG，則．故選：A．5．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線為，所以拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于容易題.6．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項(xiàng)和是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用替換已知式中的，然后兩式相減求得，然后由裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式相減得，，又，滿足此式，所以，，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．故選：C．7．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則直線到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，證明，把直線到直線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到直線的距離求解作答.【詳解】在棱長為的正方體中，取中點(diǎn)G，連接，如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即有四邊形為平行四邊形，有，則四邊形為平行四邊形，有，又為的中點(diǎn)，則，四邊形為平行四邊形，則有，因此直線到直線的距離等于點(diǎn)F到直線的距離，因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，有，在中，，邊上的高，由三角形面積得：，，所以直線到直線的距離為.故選：D8．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則滿足的最大正整數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可得解.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，即，，則，，所以，，，因?yàn)?，即，即，即，解得，因?yàn)?，則，因此，滿足條件的正整數(shù)的最大值為.故選：B.二、多選題9．已知圓：和圓：，則（

）A．兩圓的圓心的距離為25B．兩圓相交C．兩圓的公共弦所在直線方程為D．兩圓的公共弦長為【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，求出兩圓的圓心，進(jìn)而求圓心距；B選項(xiàng)，利用圓心距與兩半徑之差和半徑之和比較，確定是否相交；C選項(xiàng)，兩圓相減即為公共弦所在直線方程；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)的結(jié)果，利用點(diǎn)到直線距離公式求出圓心到的距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出公共弦長.【詳解】圓：圓心，半徑，圓：圓心，半徑，圓心距，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，，兩圓相交，B正確；兩圓相減得：，故兩圓的公共弦所在直線方程為，C錯(cuò)誤；圓心到的距離為，由垂徑定理得：兩圓的公共弦長為，D選項(xiàng)正確.故選：BD10．空間直角坐標(biāo)系中，已知，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．若，則C．點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【答案】AB【分析】利用向量的坐標(biāo)公式，模的計(jì)算公式，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，及數(shù)量積公式依次計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】，,，A正確,D錯(cuò)誤.若，則,則,B正確，點(diǎn)A關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤，故選：AB.11．已知雙曲線的左焦點(diǎn)，過且與軸垂直的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線的方程為B．雙曲線的兩條漸近線所成的銳角為C．到雙曲線漸近線的距離為D．雙曲線的離心率為【答案】ABD【分析】由左焦點(diǎn)，得，再根據(jù)的面積為，由，求得雙曲線的方程，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)殡p曲線的左焦點(diǎn)為，所以，又因?yàn)檫^與軸垂直的直線與雙曲線交于，所以的面積為，即，又，所以，所以雙曲線的方程為，故正確;則雙曲線的漸近線方程為，所以兩漸近線的夾角為，故B正確;到雙曲線漸近線的距離為,故C錯(cuò)誤﹔雙曲線的離心率為.故D正確;故選：ABD12．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式B．C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件求出等比數(shù)列的公比和首項(xiàng)，進(jìn)而可以求得和；利用裂項(xiàng)相消法可得和，討論數(shù)列的單調(diào)性，即可得出的范圍.【詳解】A：由可得，所以等比數(shù)列的公比，所以.由是與的等差中項(xiàng)，可得，即，解得，所以，所以A正確；B：，所以B正確；C：，所以C不正確；D：所以數(shù)列是遞增數(shù)列，得，所以，所以D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列前n項(xiàng)和為，所以，又當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以，故答案為：.14．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱B1C1，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與BF所成角的余弦值為___________.【答案】##0.4【分析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積可求夾角的余弦值.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A1(則，故.故答案為：15．已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若，則_____________.【答案】51【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)求和作答.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故答案為：5116．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是______．【答案】【分析】延長交于點(diǎn)，由角平分線性質(zhì)可知，，即可列出等式，確定點(diǎn)的軌跡，轉(zhuǎn)化圓周上的點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈钠椒志€，且，所以為的中點(diǎn)，為的垂直平分線，所以，在中，、分別為、的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是故答案為：四、解答題17．在下列所給的三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答選擇多個(gè)解答，按第一個(gè)解答給分．①與直線垂直；②直線的一個(gè)方向向量為；③與直線平行．已知直線l過點(diǎn)，____________．(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，求．【答案】(1)選①：直線的方程為；選②：直線的方程為；選③：直線的方程為.(2)選①②時(shí)，為4；選③時(shí)：為．【分析】（1）先選條件，然后根據(jù)條件求直線方程；（2）利用直線與圓相交，建立直角三角形，即可求解．【詳解】（1）選①：因?yàn)橹本€的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為，即；選②：因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的向量為，依題意，直線的方程為，即；選③：因?yàn)榈男甭蕿?，又因?yàn)橹本€與平行，所以直線的斜率為，依題意，直線的方程為：，即；（2）選①②時(shí)，圓的圓心到直線的距離為，設(shè)，的中點(diǎn)為，由圓的半徑為可知：，因此，即弦長為4．選③：圓的圓心到直線的距離為，設(shè)，的中點(diǎn)為，由圓的半徑為可知：，因此，即弦長為．18．已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由題意知，求出變量的值，進(jìn)而得到通項(xiàng)；（2）由題意得到，分組求和即可得到結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意知，解得，，或，（舍去），所以.（2）解：，將這個(gè)數(shù)列分為兩部分，一部分是等差數(shù)列，一部分是等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到：.19．已知拋物線與直線相交于、兩點(diǎn).（1）求證：；（2）當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)、，直線過定點(diǎn)，利用向量共線可得，證出即可.（2），將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】證明：設(shè)、；直線過定點(diǎn)，，，由、、共線，∴，又，∴，∴，∴，解：，則，得，則，∴，.20．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)2.【分析】（1）證明，再利用線面平行的判定推理作答.（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦作答.（3）利用（2）中坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離作答.【詳解】（1）在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，因此，而平面，平面，所以平面.（2）在棱長為2的正方體中，射線兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，棱的中點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）由（2）知，，所以點(diǎn)C到平面的距離.21．已知數(shù)列中，，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用給定的遞推公式，構(gòu)造等差數(shù)列即可求解作答.（2）利用錯(cuò)位相減法求出作答.【詳解】（1）數(shù)列中，，，則有，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，，則，于是得，兩式相減得：，則，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.22．已知直線與直線垂直，其縱截距為，橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，且與直線相切.(1)求直線和橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓分別交于P，Q及M，N，求四邊形面積的最大值與最小值.【答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出直線的方程，設(shè)出橢圓方程，與的方程聯(lián)立，消元利用判別式求解作答.（2）直線不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，求出四邊形對(duì)角線長，借助均值不等式求解，再驗(yàn)證直線垂直于坐標(biāo)軸時(shí)的情況作答.【詳解】（1）因?yàn)橹本€與直線垂直，則直線的斜率為1，又其縱截距為，所以直線的方程為；設(shè)橢圓C的方程為，顯然有，由消去y并整理得：，依題意，，