2023春九年級數(shù)學下冊2.3垂徑定理學案（新版）湘教版

PAGEPAGE32.3垂徑定理1.理解圓是軸對稱圖形,由圓的折疊猜測垂徑定理,并進行推理驗證.2.理解垂徑定理,靈活運用定理進行證明及計算.自學指導閱讀課本P58~59，完成以下問題.知識探究1.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，它也是中心對稱圖形，對稱中心為圓心.2.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧，即一條直線如果滿足：①AB經(jīng)過圓心O且與圓交于A、B兩點；②AB⊥CD交CD于E；那么可以推出：③CE=DE；④eq\o(\s\up5(⌒),\s\do0(CB))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do0(DB))；⑤eq\o(\s\up5(⌒),\s\do0(CA))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do0(DA)).自學反應1.：⊙O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，那么AB的長為〔D〕A． B．4cm C． D．8cm2.如圖，⊙O的半徑為4，弦AB⊥OC于C，且OC=3，那么AB的長等于．活動1小組討論例1如圖，弦AB=8cm,CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，DE=2cm,求⊙O的直徑CD的長.解：連接OA.設OA=rcm,那么OE=r-2(cm).∵CD⊥AB，由垂徑定理得AE==4(cm).在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2=OE2+AE2.即r2=(r-2)2+42.解得r=5.∴CD=2r=10(cm).例2證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等：如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD平行.求證：弧AC=弧BD.證明：作直徑EF⊥AB，∴弧AE=弧BE.又∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD.∴弧CE=弧DE.因此弧AE-弧CE=弧BE-弧DE，即弧AC=弧BD.活動2跟蹤訓練2.如圖，⊙O的半徑為5，弦AB的長為6，M是AB上的動點，那么線段OM長的最小值為〔C〕A．2 B．3 C．4 D．5 3.如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形〔劣弧〕，其跨度為24米，拱的半徑為13米，那么拱高為〔B〕A．5米 B．8米 C．7米 D．5米5.如圖，⊙O的半徑OC為6cm，弦AB垂直平分OC，那么AB=6cm．6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧〔圖中的AB〕，點O是這段弧的圓心，AB=120m，C是AB上一點，OC⊥AB，垂足為D，CD=20m，那么這段彎路的半徑為100m．7.如圖是某公園新建的圓形人工湖．為測量該湖的半徑，小強和小麗沿湖邊選取A、B、C三根木樁，使得A、B之間的距離與B、C之間的距離相等，并測得B到AC的距離為3米，AC的長為60米，請你幫他們求出人工湖的半徑．解：設點O為圓心，連接半徑OA、OB，設OB交AC于點D．那么OB⊥AC，AD=CD=30米．設OA=x米，那么有x2﹣(x﹣3)2=302，解得x=151．5(米)．故人工湖的半徑為151．5米．8.如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，AB=10，∠COD=60°，求：〔1〕弦CD的長；〔2〕∠COE的度數(shù)；〔3〕線段BE的長〔結(jié)果用根號表示〕．解：〔1〕∵半徑OC=OD，即△OCD為等腰三角形.又∵∠COD=60°，∴△OCD為等邊三角形.∴CD=OC=AB=5.〔2〕∵直徑AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED。又∵OC=OD，即OE為等腰△OCD的底邊CD上的高，∴OE平分∠COD.∵∠COD=60°，∴∠COE=30°.〔3〕在Rt△OCE中，∵cos∠COE=，∴OE=OC?cos∠COE=5?cos30°=5?=.∴BE=OB﹣OE=5﹣．活動3課堂小結(jié)1.這節(jié)課你學到了什么?還有哪些疑惑?2.教師強調(diào):①圓是軸對稱圖形，對稱軸是過圓心的任一條直線；②垂徑