2021-2022學(xué)年上海市金山區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市金山區(qū)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．在等差數(shù)列中，a10＝18，a2＝2，則公差d＝______．【答案】2【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公式求得公差.【詳解】依題意.故答案為：2．若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)之的2倍，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.【答案】【分析】由題意設(shè)橢圓方程為，則有，再結(jié)合求出，從而可求出橢圓的方程【詳解】由題意設(shè)橢圓方程為，則，解得，所以橢圓方程為，故答案為：3．線段兩端點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上移動(dòng)，且，則線段中點(diǎn)軌跡方程為_(kāi)___________．【答案】【分析】設(shè)中點(diǎn)為，再分別表示的坐標(biāo)，根據(jù)求解即可.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，不妨設(shè)，則.又，故，化簡(jiǎn)可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，需要根據(jù)題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再求出相關(guān)點(diǎn)的表達(dá)式，再根據(jù)線段長(zhǎng)度列式化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題.4．直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是___________.【答案】【分析】將直線方程化簡(jiǎn)為，進(jìn)而令即可解得答案.【詳解】把直線l的方程改寫成：，令，解得：，所以直線l總過(guò)定點(diǎn).故答案為：（1,1）.5．過(guò)點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有_______條【答案】3【分析】根據(jù)點(diǎn)與拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系：拋物線外，即可知過(guò)與只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)【詳解】如上圖，點(diǎn)在拋物線外面，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有2條切線，1條和拋物線對(duì)稱軸平行的直線，故3條故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，由點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系判斷過(guò)該點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)6．與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程是______.【答案】【詳解】設(shè),將代入求得.雙曲線方程是7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________；【答案】【分析】由，推得，得出數(shù)列為等比數(shù)列，得到，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，即，，令，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，所以.故答案為：.8．已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則當(dāng)時(shí)，的最小值是______．【答案】【分析】首先根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析的最小值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)是，且當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在拋物線外.根據(jù)拋物線的定義可知，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，的最小值是，，的最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和拋物線內(nèi)距離的最值問(wèn)題，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化.屬于基礎(chǔ)題.9．已知數(shù)列滿足則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，設(shè)f（n），由此能導(dǎo)出n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33且對(duì)n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+33．從而設(shè)f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因?yàn)閚∈N+，所以當(dāng)n＝5或6時(shí)f（n）有最小值．又因?yàn)?，，所以的最小值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了累加法．還考查函數(shù)的思想，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性．10．關(guān)于曲線，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有______個(gè)．①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無(wú)公共點(diǎn)；④曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形．【答案】2【分析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對(duì)稱性、范圍，結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故正確；②因?yàn)?，解得或，故，同理可得：，故錯(cuò)誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關(guān)于的一元二次方程，故，所以方程無(wú)根，故曲線與沒(méi)有交點(diǎn)；綜上所述，③正確；④假設(shè)曲線C與曲線有4個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)構(gòu)成正方形，根據(jù)對(duì)稱性，第一象限的交點(diǎn)必在上，聯(lián)立與可得：，故交點(diǎn)為，而此點(diǎn)坐標(biāo)不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯(cuò)誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問(wèn)題的關(guān)鍵是把握由曲線方程如何研究對(duì)稱性以及范圍問(wèn)題，屬困難題.二、單選題11．已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的表達(dá)式，利用常見(jiàn)數(shù)列的極限計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由于無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則，因此，．故選：D.12．已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進(jìn)而求得弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：C.13．以過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的弦為直徑的圓與點(diǎn)的位置關(guān)系是（

）．A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓外 C．在圓上 D．點(diǎn)與圓的關(guān)系不確定【答案】A【分析】根據(jù)題意計(jì)算，判斷與半徑的大小關(guān)系得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，故，故，圓心為，，故點(diǎn)在圓內(nèi).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的弦長(zhǎng)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.14．?dāng)?shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若成立，則的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【分析】由可化簡(jiǎn)得，再利用裂項(xiàng)相消可求出，利用條件即可求解【詳解】.由，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列裂項(xiàng)相消.這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消的公式：三、解答題15．在等比數(shù)列中，已知，且、、依次是等差數(shù)列的第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，可求得的值，進(jìn)而可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出、的值，可求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的求和公式以及分組求和法可求得.【詳解】（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，而等差數(shù)列的第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)成等差數(shù)列，則，即，即，解得，又因?yàn)?，所以，顯然有，，則等差數(shù)列公差，所以，所以數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別是，．（2）解：，，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都為，.16．已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且橢圓C的焦距、雙曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)、雙曲線E的焦距依次構(gòu)成等比數(shù)列.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線E的虛軸的上端點(diǎn)為，問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓C于兩點(diǎn)，使得以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出此時(shí)直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，或.【分析】（1）將已知雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式求得離心率，結(jié)合橢圓中的基本量關(guān)系和已知條件，求得橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先排除直線l斜率不存在的情形，然后設(shè)出直線的斜率，寫出方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式求得k的取值范圍，利用韋達(dá)定理和向量的垂直的條件得到關(guān)于k的方程，求解并驗(yàn)證是否滿足上面求出的范圍即可.【詳解】解：（1）雙曲線，即為，其離心率為，則橢圓的離心率為.因?yàn)殡p曲線E的實(shí)軸長(zhǎng)為、焦距為4，設(shè)橢圓C的焦距為，則成等比數(shù)列，所以，解得.又，及，解得.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）雙曲線E的虛軸上端點(diǎn)為.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，點(diǎn)為橢圓的上、下兩頂點(diǎn)，顯然不符合題意；故直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線的方程為，聯(lián)立方程組消去y，得.顯然，解得或.設(shè)點(diǎn)，則，所以，若以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則，所以，所以，即，所以，解得，符合式，所以直線的方程為或.17．在數(shù)列中，.（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；（2）若對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，求首項(xiàng)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2）【分析】（1）轉(zhuǎn)化條件得，由等比數(shù)列的概念即可得解；（2）易得當(dāng)時(shí)，符合條件；當(dāng)時(shí)，，根據(jù)為奇數(shù)、為偶數(shù)分類討論，由恒成立問(wèn)題的解決辦法即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?dāng)即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；當(dāng)，即時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為，所以，即.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以.又單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得最大值，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.又單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為2，所以，所以；綜上，首項(xiàng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的判定及數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題的解決，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)方程所確定的曲線C上點(diǎn)的直線與曲線C相切，則此切線的方程.（1）若，直線過(guò)點(diǎn)被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線的方程；（2）若，，點(diǎn)A是曲線C上的任意一點(diǎn)，曲線過(guò)點(diǎn)A的切線交直線于M，交直線于N，證明：；（3）若，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)斜率的直線交C于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P位于第一象限，點(diǎn)P在x軸上的投影為E，延長(zhǎng)QE交C于點(diǎn)R，求的值.【答案】（1）或；（2）證明見(jiàn)解析；（3）0.【分析】（1）利用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算求解，注意先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況；（2）設(shè),根據(jù)已知求得切線方程，聯(lián)立方程組求得M，N的坐標(biāo)，證明,得到A為線段MN的中點(diǎn)，進(jìn)而證得結(jié)論；（3）設(shè)P(x1,y1),R(x2,y2),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),寫出EQ的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，根據(jù)Q，R的橫坐標(biāo)-x1,x2是這個(gè)方程的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理求得，進(jìn)而計(jì)算可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為,這是以原點(diǎn)為圓心，r=2為半徑的圓，直線l過(guò)點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為,代入圓的方程得,，∴直線l被圓所截得弦長(zhǎng)為2，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k,則直線l的方程為，即,由弦長(zhǎng)為2，半弦長(zhǎng)為1，圓的半徑為2，所以圓心到直線l的距離為,由點(diǎn)到直線的距離公式得,解得,所以直線l的方程為：；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè),則過(guò)A點(diǎn)的