2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級上冊學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．在空間內(nèi)，如果兩條直線和沒有公共點(diǎn)，那么與的位置關(guān)系是______．【答案】異面或平行【分析】由直線與直線的位置關(guān)系求解即可.【詳解】如果兩條直線和沒有公共點(diǎn)，那么與的位置關(guān)系是異面或平行.故答案為：異面或平行.2．某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為的樣本，那么其中A種型號產(chǎn)品有______件.【答案】16【分析】根據(jù)分層抽樣總體和樣本中，A型號的產(chǎn)品所占的比例相等列式求出種型號產(chǎn)品的件數(shù).【詳解】因?yàn)锳，B，C三種不同型號的產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為，所以樣本中A種型號產(chǎn)品有件.故答案為：16.3．有一列正方體，棱長組成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則_________.【答案】【詳解】易知V1,V2,…,Vn,…是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以4．如果把地球看成一個球體，則地球上的北緯緯線長和赤道長的比值為_______.【答案】【分析】作出示意圖，北緯緯線長和赤道長是兩個圓的周長，其比等于半徑比.【詳解】如圖所示，赤道圓半徑為，北緯圓半徑為.由，可得.所以北緯緯線長和赤道長的比值為.【點(diǎn)睛】本題考查球體的結(jié)構(gòu)特征，解答本題需要理解地理中緯線的概念.5．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則實(shí)數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求，再利用等比數(shù)列的定義運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)時，則；當(dāng)時，則，故，若為等比數(shù)列，且當(dāng)時，，故，解得.故答案為：.6．等差數(shù)列中，，，且，使前項(xiàng)和的最小正整數(shù)______.【答案】21【分析】先利用條件得到，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式得到的正負(fù)情況，從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，又，所以，故，，故使前項(xiàng)和的最小正整數(shù).故答案為：21.7．為了解某校高二學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖如圖，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為，則的值為______.【答案】78【分析】分別求第1，2兩組的頻數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合等差、等比數(shù)列運(yùn)算求解.【詳解】由頻率分布直方圖得組距為0.1，間的頻數(shù)為.間的頻數(shù)為.又前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，則公比為3，∴前3組的頻數(shù)之和為，根據(jù)后6組頻數(shù)成等差數(shù)列，且共有人.從而間的頻數(shù)最大，且為，所以，設(shè)公差為，則，所以，從而.故答案為：78.8．若圓臺的高是4，母線長為5，側(cè)面積是，則圓臺的上、下底面的面積之和是______.【答案】【分析】設(shè)上下底的半徑分別為，，由側(cè)面積公式及勾股定理列關(guān)系式求，由此可求圓臺的上、下底面的面積之和.【詳解】設(shè)上下底的半徑分別為，，則母線，高，構(gòu)成一個直角三角形，母線為斜邊5，高為直角邊4，由勾股定理得，即，圓臺的側(cè)面積，所以，則，所以圓臺的上、下底面的面積之和是.故答案為：.9．已知等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)的積為，且滿足，，，則下列命題正確的有__________．（填序號）（1）；（2）；（3）的值是中最大的；（4）使成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為．【答案】（1）（2）（4）【分析】根據(jù)可知；由和，可確定，可知（1）正確；利用等比數(shù)列性質(zhì)和可知（2）正確；根據(jù)知（3）錯誤；根據(jù)，可知（4）正確.【詳解】對于（1），，，，，，又，，，（1）正確；對于（2），，又，，即，，（2）正確；對于（3），，不是中最大的，（3）錯誤；對于（4），，，使成立的最大正整數(shù)數(shù)的值為，（4）正確.故答案為：（1）（2）（4）10．定義為數(shù)列的均值,已知數(shù)列的均值,記數(shù)列的前項(xiàng)和是,若對于任意的正整數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．【答案】【分析】因?yàn)?,從而求出,可得數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為,從而將對任意的恒成立化為,,即可求得答案.【詳解】,,故,,則,對也成立,,則,數(shù)列為等差數(shù)列,記數(shù)列為.故對任意的恒成立,可化為:,；即,解得,,故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性,掌握判斷數(shù)列前項(xiàng)和最大值的方法是解題關(guān)鍵,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.11．如圖所示為一個半圓柱，已知為半圓弧上一點(diǎn)，若，，直線與所成角的正切值為，則點(diǎn)到平面的距離是______.【答案】【分析】由異面直線夾角的定義確定直線與所成角的平面角，由條件可求，再由等體積法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)?，又，所以?因?yàn)?，平面，平面，所以為直線與所成角，且，即，所以，故，所以，所以，，，，因?yàn)?，，所以，又，平面，所以平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離是，由等體積法得，即，所以.故答案為：.12．已知等差數(shù)列滿足：，則正整數(shù)的最大值為________【答案】62【分析】設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，根據(jù)，得到即有，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，從而得出，即可求解.【詳解】解：由題意知：等差數(shù)列滿足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項(xiàng)一定滿足或，且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，則，且，即，由，則，即，即有，則，可得，解得，即有的最大值為，的最大值為.故答案為：.二、單選題13．“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要 D．既非充分又非必要條件【答案】C【分析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和充分，必要條件的定義進(jìn)行求解【詳解】若棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形，則兩側(cè)面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分性；若棱柱為直棱柱，則棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形，滿足必要性；故“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的充要條件，故選:.14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時，能被整除”時，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（

）A．假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立B．假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立C．假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立D．假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，即可判斷選項(xiàng).【詳解】第二步假設(shè)當(dāng)時成立，再推出當(dāng)時成立.故選：B.15．在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，P是線段上的動點(diǎn)(含端點(diǎn))，則下列結(jié)論正確的個數(shù)（

）①②平面③與平面所成角正切值的最大值為④當(dāng)P位于時，三棱錐的外接球體積最小A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判斷與面是否垂直，進(jìn)而判定①；設(shè)AC交BD于Q，先證明，進(jìn)而判定②；根據(jù)線面角的定義先找到線面角，進(jìn)而求出其正切的最大值，從而判定③；取中點(diǎn)，易知為的外心，作面，交于，則三棱錐的外接球球心在上，進(jìn)而根據(jù)球的性質(zhì)建立等式，最后判斷答案④.【詳解】設(shè)正方體棱長為2.對①，如圖1，在正方體中，連接AC,BD，則，面，所以，而，所以面，而面，所以.①正確；對②，如圖2，設(shè)AC交BD于Q，則Q為AC的中點(diǎn)，而M為的中點(diǎn)，所以，而交平面于M，所以與平面不平行；對③，如圖3，易知點(diǎn)P在面ABCD上的投影點(diǎn)N在線段AC上，則與平面所成角為，，則當(dāng)NE最小時正切值最大，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，由于，則，此時點(diǎn)N為點(diǎn)E在線段AC上的投影，且為EF的中點(diǎn).所以，此時,.故③正確；對④，如圖4，易知為的外心，作面，交于，則三棱錐的外接球球心在上，記外接球半徑為R，，所以，即，于是當(dāng)時，R最小，即外接球體積最小，此時重合.故④錯誤.故選：B.16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，，它的前n項(xiàng)和為．且，，（）成等比數(shù)列，記，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】C【分析】結(jié)合等比性質(zhì)處理得，再分和分類討論，時較為簡單，結(jié)合裂項(xiàng)法直接求解，當(dāng)時，放縮后再采用裂項(xiàng)即可求解.【詳解】由，，成等比數(shù)列可得，①，也即②，②-①得，因?yàn)?，所以，，即?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，當(dāng)時，，即，對A、B，當(dāng)時，，此時數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，故，當(dāng)時，，故A、B錯誤；對C、D，當(dāng)時，，,當(dāng)n為偶數(shù)時，，當(dāng)n為奇數(shù)時，，所以,,此時，故C正確，D錯誤.故選：C三、解答題17．某商場為推銷當(dāng)?shù)氐哪撤N特產(chǎn)進(jìn)行了一次促銷活動，將派出的促銷員分成甲、乙兩個小組分別在兩個不同的場地進(jìn)行促銷，每個小組各6人.以下莖葉圖記錄了這兩個小組成員促銷特產(chǎn)的件數(shù)，且圖中甲組的一個數(shù)據(jù)已損壞，用表示，已知甲組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)比乙組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)少1件.(1)求的值，并求甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)；(2)在甲組中任選2位促銷員，求他們促銷的特產(chǎn)件數(shù)都多于乙組促銷件數(shù)的平均數(shù)的概率.【答案】(1)，第80百分位數(shù)為40；(2).【分析】（1）根據(jù)莖葉圖求出乙組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)，進(jìn)而可得甲組平均數(shù)，由平均數(shù)可求出的值，再由百分位數(shù)的定義求第80百分位數(shù)；（2）求出基本事件的總數(shù)以及組促銷員促銷的特產(chǎn)件數(shù)都多于包含的基本事件的個數(shù)，由古典概率公式即可求解.【詳解】（1）乙組同學(xué)促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為（件）.則甲組同學(xué)促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為35件，由，解得.將甲組同學(xué)促銷特產(chǎn)件數(shù)按從小到大排列可得，因?yàn)椋约捉M數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為其第5個數(shù)，所以甲組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為40.（2）乙組促銷特產(chǎn)件數(shù)的平均數(shù)為36件.甲組同學(xué)促銷的件數(shù)分別為28，29，34，38，40，41.若從中任取兩個數(shù)字，所有的基本事件為，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件.其中符合條件的基本事件有，，，共3個基本事件.所求概率為.18．已知，為兩條異面直線，為平面，且，，.(1)若直線，通過直線與平面垂直的判定定理，證明；(2)用反證法證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)平面，且，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，，從而得到，，即可得證；（2）假設(shè)與不平行，即與相交，不妨設(shè)與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，設(shè)直線與確定平面，可以證明，即可得到與重合，從而得到，與題設(shè)矛盾，即可得證；【詳解】（1）證明：因?yàn)?，設(shè)平面，且，所以，，因?yàn)椋?，，又平面，且，所以平面?）證明：假設(shè)與不平行，即與相交，不妨設(shè)與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，設(shè)直線與確定平面，因?yàn)椋?，所以，又，，所以平面，又因?yàn)?，所以，又，所以與重合，即，與矛盾，故假設(shè)不成立，所以；19．已知數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式成立的自然數(shù)恰有4個，求正整數(shù)的值.【答案】(1)證明見解析，；(2)4.【分析】（1）構(gòu)造，根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解；（2），利用錯位相減法求出，故成立的自然數(shù)恰有4個，當(dāng)時，不等式顯然成立，故當(dāng)時，不等式成立的自然數(shù)恰有2個.令，根據(jù)其單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又，所以是等比?shù)列，，所以；（2），所以，，兩式相減，得，所以，因?yàn)槌闪⒌淖匀粩?shù)恰有4個，即成立的自然數(shù)恰有4個，由于為正整數(shù)，當(dāng)時，不等式顯然成立，故當(dāng)時，不等式成立的自然數(shù)恰有2個，即成立的自然數(shù)恰有2個，令，則，所以嚴(yán)格減，所以，且，解得，故正整數(shù)的值為4.20．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線段PB上，平面MAC，.(1)判斷M點(diǎn)在PB的位置并說明理由；(2)記直線DM與平面PAC的交點(diǎn)為K，求的值；(3)若異面直線CM與AP所成角的余弦值為，求二面角的平面角的正切值.【答案】(1)M為PB中點(diǎn)，理由見解析(2)(3)或【分析】（1）連接BD交AC于O，連OM，由平面平行的性質(zhì)可得答案；（2）連接OP，則，可得點(diǎn)K為重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得答案；（3）取AD中點(diǎn)H，連接PH，HB，取HB中點(diǎn)G，連接MG，GC，可得，取AB中點(diǎn)N，可知，或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCD，平面ABCD，令，，由余弦定理可得，在直角中，求出，，由余弦定理得，從而得到，解方程求出，過G作交CD于Q，連接MQ，可得平面MGQ，，在直角中可得.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接OM，因?yàn)槠矫鍹AC，平面PBD，平面平面，則，又因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以M為PB中點(diǎn).（2）如圖所示，連接OP，則平面平面，，因?yàn)镺為BD的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)K為重心，由三角形重心的性質(zhì)，可得.（3）取AD中點(diǎn)H，連接PH，HB，取HB中點(diǎn)G，連接MG，GC，可得.取AB中點(diǎn)N，連接MN，NC，可知，所以或其補(bǔ)角就是異面直線CM與AP所成角，如圖所示，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面ABCD，又，所以，所以平面ABCD，因此平面ABCD，令，，由，且M為PB的中點(diǎn)，可得，在中，可得，，，由余弦定理，可得，在直角中，，又由M，N分別是PB，AB的中點(diǎn)，可得，所以，解得，解得或，即或，過G作交CD于Q，連接MQ，由，且，可得平面MGQ，所以，所以就是所求二面角的平面角，如圖所示，在直角中，可得或.21．對于數(shù)列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項(xiàng)的符號（可以都不改變），得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的一個生成數(shù)列，如僅改變數(shù)列、、、、的第二、三項(xiàng)的符號，可以得到一個生成數(shù)列：、、、、.已知數(shù)列為數(shù)列的生成數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）寫出的所有可能的值；（2）若生成數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為.【答案】（1）、、、；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)生成數(shù)列定義，可知當(dāng)時，，、分別為、中取值，由此給出的所有可能的情況，即可計算出的所有可能值；（2）利用，分、、三種情況討論，利用分組求和與等比數(shù)列的求和公式即可求得；