冪級數(shù)收斂域和函數(shù)

關(guān)于冪級數(shù)收斂域和函數(shù)第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)冪級數(shù)一.函數(shù)項級數(shù)1.定義函數(shù)項級數(shù)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列在I中任取一點,就得到一個數(shù)項級數(shù)收斂,收斂點發(fā)散,發(fā)散點

函數(shù)項級數(shù)的全體收斂點的集合稱為收斂域2.收斂域第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三3.和函數(shù)：在收斂域內(nèi)，函數(shù)項級數(shù)的和依賴于點x，因此其和是x的函數(shù)，稱為和函數(shù)4.余項:前n項的部分和在收斂域內(nèi)才有意義,且二.冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)各項都是冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)一般形式:第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三特例系數(shù)(1)(2)主要討論(2),因為(1)可以通過變量代換化成(2)1.冪級數(shù)的收斂域x=0時(2)收斂,一般的,冪級數(shù)收斂域是一區(qū)間.例由等比級數(shù)的性質(zhì),時收斂,時發(fā)散則收斂域(－1,1)內(nèi)第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三定理1(阿貝爾定理)如果：1.在點收斂,則當(dāng)時，它絕對收斂2.在點發(fā)散,則當(dāng)時，它發(fā)散.推論設(shè)存在非零的收斂點,又存在發(fā)散點,則存在R>0,使得當(dāng)|x|<R時它絕對收斂,當(dāng)|x|>R時它發(fā)散注:三種收斂情形:(1)僅在x=0處收斂;(2)在內(nèi)處處收斂;(3)在(－R,R)內(nèi)收斂,端點另外討論收斂區(qū)間R—收斂半徑R=0R=+∞第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三2.收斂半徑的求法定理2(證明略)例求收斂半徑和收斂域x=1時收斂；x=－1時收斂域是(－1，1]發(fā)散第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三

收斂域是(－∞，∞）僅在x=0

點收斂第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)x－2＝t,由(1)知收斂域是(1,3]收斂域是(－1,1]令t=3時t=－3時發(fā)散發(fā)散收斂域是(－3,3)收斂域是第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三缺少偶次項,無法用公式，可以用比值法求Rρ<1時,收斂.ρ<1時,發(fā)散.則收斂區(qū)間為時,發(fā)散.注:缺少奇次項,也可以用此方法.第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三三.冪級數(shù)的運算性質(zhì)1.四則運算性質(zhì)設(shè)收斂半徑分別為和,記則對于任意的,有第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三利用乘法可以定義除法則注意,商級數(shù)的收斂半徑可能比原來要小得多2.分析運算性質(zhì)設(shè)收斂半徑為R,則(1)S(x)在收斂域內(nèi)連續(xù);(2)S(x)在(--R,R)內(nèi)可導(dǎo),且第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項求導(dǎo),所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)(3)S(x)在(--R,R)內(nèi)可積,且即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項積分,所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.注意:(2),(3)中端點需要另外討論.第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三例求和函數(shù)設(shè)和函數(shù)為S(x)(|x|<1)第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)和函數(shù)為