湘贛粵名校2022-2023學(xué)年高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．22．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．3．已知復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．一只螞蟻在邊長為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機爬行，則在離三個頂點距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B． C． D．5．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B．C． D．8．設(shè)為拋物線的焦點，，，為拋物線上三點，若，則（）.A．9 B．6 C． D．9．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A． B． C．2 D．10．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若對于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點為，若拋物線上的點關(guān)于直線對稱的點恰好在射線上，則直線被截得的弦長為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、、、為頂點的四面體的外接球的體積為________.14．已知，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是____________15．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下：甲說：“作品獲得一等獎”；乙說：“作品獲得一等獎”；丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“是或作品獲得一等獎”，若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是___．16．已知點是拋物線的準(zhǔn)線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且，若雙曲線C中心在原點，F(xiàn)是它的一個焦點，且過P點，當(dāng)m取最小值時，雙曲線C的離心率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線：交于，兩點，且當(dāng)時，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點為，拋物線在點處的切線與的準(zhǔn)線交于點，證明：軸.19．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標(biāo)原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）若上存在兩動點（A，B在軸異側(cè)）滿足，且的周長為，求的值.22．（10分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.2、C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進行分析即可求解.【詳解】對于A選項：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對于B選項：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實現(xiàn)了增長，故B正確；對于C選項：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個，故C錯誤；對于D選項：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點睛】本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

利用復(fù)數(shù)除法運算化簡，由此求得對應(yīng)點所在象限.【詳解】依題意，對應(yīng)點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內(nèi)的點到頂點、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點到三個頂點、、的距離都大于的概率是.故選：A.【點睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．5、A【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可比較,再由中間值1可得三者的大小關(guān)系.【詳解】，，，因此，故選：A.【點睛】本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數(shù)的一個零點，所以在時有一個零點因為當(dāng)時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.7、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個圓柱和一個四棱錐組成的組合體，分別求解兩個部分的體積，加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個圓柱，上半部分為一個四棱錐半個圓柱體積為：四棱錐體積為：原幾何體體積為：本題正確選項：【點睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.8、C【解析】

設(shè)，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè)，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題，考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.9、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設(shè)點在雙曲線右支上運動，則，當(dāng)時，此時，所以，，所以；當(dāng)軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.11、D【解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達(dá)定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點，等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.，所以當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).因此.設(shè)，，若在無解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設(shè)其解為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).因為，方程在內(nèi)有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設(shè)，，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題12、B【解析】

由焦點得拋物線方程，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)對稱可求出點的坐標(biāo)，寫出直線方程，聯(lián)立拋物線求交點，計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為，則，即，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的另一個交點為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長為．故選：B．【點睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，點關(guān)于直線對稱，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.14、【解析】

首先把零點問題轉(zhuǎn)化為方程問題，等價于有三個零點，兩側(cè)開方，可得，即有三個零點，再運用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合最值即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)有三個零點，即零點有，顯然，則有，可得，即有三個零點，不妨令，對于，函數(shù)單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在區(qū)間上只有一解，對于函數(shù)，，解得，，解得，，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)若有兩個零點，則有，綜上可知，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點睛】本題考查了函數(shù)零點的零點，恰當(dāng)?shù)拈_方，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點問題，注意恰有三個零點條件的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)的范圍，屬于難題.15、C【解析】

假設(shè)獲得一等獎的作品，判斷四位同學(xué)說對的人數(shù).【詳解】分別獲獎的說對人數(shù)如下表：獲獎作品ABCD甲對錯錯錯乙錯錯對錯丙對錯對錯丁對錯錯對說對人數(shù)3021故獲得一等獎的作品是C.【點睛】本題考查邏輯推理，常用方法有：1、直接推理結(jié)果，2、假設(shè)結(jié)果檢驗條件.16、【解析】

由點坐標(biāo)可確定拋物線方程，由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，可知當(dāng)直線與拋物線相切時，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線定義得到實軸長，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則設(shè)直線的傾斜角為，則當(dāng)取得最小值時，最小，此時直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實軸長為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時，直線與拋物線相切，進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標(biāo).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】

根據(jù)特征多項式可得，可得，進而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因為矩陣的特征多項式，所以，所以.因為，且，所以.【點睛】本題考查矩陣的特征多項式以及逆矩陣的求解，是基礎(chǔ)題.18、（1）1；（2）見解析【解析】

（1）設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線方程，得，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式，即可求出；（2）由，得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點點處切線方程，進而求出，即可證出軸.【詳解】解：（1）設(shè)，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設(shè)，，由，得，從而拋物線在點點處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標(biāo)原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示：則，，，.∴，，.設(shè)為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關(guān)鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù)，求得和的普通方程.（2）設(shè)出過原點的直線的極坐標(biāo)方程，代入曲線的極坐標(biāo)方程，求得的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設(shè)過原點的直線的極坐標(biāo)方程為；由得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標(biāo)方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方