高考數(shù)學(xué)(理)命題猜想 專題17圓錐曲線中的熱點(diǎn)問題

年高數(shù)（）題想專題17圓錐線的點(diǎn)題【題點(diǎn)破】跡程存探性題x例1、(20172全國卷)設(shè)點(diǎn)為標(biāo)原點(diǎn)，動在圓C：＋2→→N，點(diǎn)P滿＝2NM(1)求點(diǎn)P的跡方程；→→

＝上過點(diǎn)M作軸垂線，足為(2)設(shè)點(diǎn)Q在線x＝－3上，O21.明：過點(diǎn)且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.→→→→(2)證明：由題意知(－，0)，－，，(，)，O＝－，t，＝－－，，2→→＝＋m－tn，＝m，，PQ＝－－，－)，→→由O21，得－－＋tn－1，又由(1)知m＋＝，故＋3m－＝【變式探究高山東理】（本小題滿分14分）平面直角坐標(biāo)系xOy中橢圓：

x2a2

的離心率是，物線E：

y

的焦點(diǎn)F是C的一頂.（）橢圓的程；（II）設(shè)P是E上動點(diǎn)，且位于第一象限，E在P處的切線l與交不同的兩點(diǎn)A，，段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且直于軸直線交于點(diǎn).（）證：點(diǎn)M在直線上

1212（ii）直線l與軸于點(diǎn)，eq\o\ac(△,記)PFG的積Seq\o\ac(△,)PDM的面積為S，求1值時點(diǎn)P的坐.

12

的最大值及取得最大【答案）

2y

;（Ⅱ）解析）的最大值為，此時點(diǎn)P的標(biāo)為(,)24（Ⅱ）

(,

m2

)(

，由

x2y

可得

y'

，所以直線l的率為，因此直線

l

的方程為

y

mmx即

.

設(shè)

(),B(,),D(xy)1200

mmx，聯(lián)立方程22得

(4m2234

，由

，得

5

且

x1

m

3

，因此

x0

x214

3

,將其代入

y

m

得

y

m2m2

，因?yàn)?/p>

yx

，所以直線

OD

方程為

.1聯(lián)立方程，點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為

M

，即點(diǎn)M

在定直線

上m2S|PM|m2

，所以

S1)(S(2m

，

xy54xy54xy54xy54xy54xy54令

tm

(2t11，則t22

，當(dāng)

t2

S，即t時1取最大值，此時S

，滿足0，所以點(diǎn)

的坐標(biāo)為

21)，此24

的最大值為，時點(diǎn)P

2的坐標(biāo)為()24

.xy1【變式探究】橢圓C：＋＝的左、右焦點(diǎn)分別為FF，過P(1，)作圓x＋＝切線，ab2切點(diǎn)分別為A，，線AB恰好過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)．(1)求橢圓的程；→→→→(2)過點(diǎn)－，任一直線l交橢圓于MN兩點(diǎn)記Q＝λQN，段MN上的R滿MR＝－λRN，求點(diǎn)R的軌方程．【解析】（）法一：設(shè)M（，（y（，）.→→由Q＝λQN，得（5－x－）λ（＋5，y＋＝，因?yàn)辄c(diǎn)M，在圓C上所以＋＝，[－λx－（λ＋）]（－y）＋＝，54所以＋＝，

x＝－λx－5（＋）y＝－λy.第二個等式兩邊同乘λ

2，式相減得x＝－3－①λ→→由R＝－λRN，得（－x－y）λ（－x，y－x－x＝λ（x（－λ）＝

－λx＝2λ（1＋）②.把①代入②得（－λ）＝λ－1，根據(jù)已知λ≠1所以x1.

5454y＋＝，45由解y＝±.5x＝－14545所以點(diǎn)R的跡程為x＝－1（－<y<55

）方法二：設(shè)直線l的程為x＝－，代入橢圓方程得4t＋）y－＋＝，Δ＝40t）－（4t＋）380>0解得t>5.40t80設(shè)M（，y（，y＋，＝.4t＋4t＋→→40t80由Q＝λQN，得y＝λy，所以y，＝，（－λ）4t＋）λ（＋）（40t）80（－）20t所以＝，以＝－，（4t＋）（－λ）－（4t＋）λ4t＋→→設(shè)R（，M＝－λRN，得（－y－）＝λ（－，－x－λxty－－（ty－）－ty－5－λty＋52λ2得x＝＝＝＝ty－＝－）1－λ1λ1－λ1－1－λ40tλ80t（－λ）20t－＝2－，＝－代得x＝－1.（－λ）4t＋）（1λ）4t＋5λ4t＋y－λy－λ－λ40tλ80t445y＝＝y(tǒng)＝2＝2＝，于t>5，所以－1－λ1－λ1λ（－λ）4t＋）（－）4t＋5t545455<y<，以點(diǎn)的軌方程為x＝1－<y<）555【特別提醒】求動點(diǎn)的軌跡方程的基本方法有直接法、待定系數(shù)(定義法和入法，在圓錐曲的解答題中往往第一個問題就是求出圓錐曲線的方程．當(dāng)求出的曲線方程含有可變參數(shù)時，要根據(jù)參范圍確定方程表示的曲線．【變式探究】xy2已知橢圓＋＝1(a>b>0)的、右焦點(diǎn)分別為FF該橢圓的離心率為，是圓上一點(diǎn)AF⊥ab21原點(diǎn)O到直AF的距離為.3(1)求橢圓的方程．2(2)是否存在過F的線l交圓于，兩點(diǎn)且滿足BOC的面積為？存在，求出直線l的程；若3不存在，請說明理由．【解析】

22（）然直線l的率不為.直線l：x＝my1代入橢圓方程得m＋）＋2my－＝2m1設(shè)B（，y（，y＋－，－，且x＝my＋，＝＋，m＋m＋22（1＋m）所以|＝（－）＋y－）＝1m（y）－4yy＝，m＋且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的離d＝

11＋m

，121＋m2所以△的面積為|BC|d＝＝得＝±1存在符合要求的直線l方為x＝±y1，2m＋3即x－－＝或x＋y－＝【特別提醒】解析幾何中存在探索性問題的解法和其他的存在探索性問題的解法的思想是一致，即在假設(shè)其存在的情況下進(jìn)行計(jì)算和推理，根據(jù)得出的結(jié)果是否合理確定其存在與否．【題點(diǎn)破】錐線的點(diǎn)定問x22例2課1，理20】已橢圓：=1ab>0點(diǎn)P（（0,1（1b2P1）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上（）C的方程；（）直線l不經(jīng)點(diǎn)與C相于，兩點(diǎn)若直線PA與直的率的和為，證明過點(diǎn)【答案）

4

2

.（2）見解析。

（）直線A與直線B的率分別為k，，如果l與軸直，設(shè)t由題設(shè)知且t，得的標(biāo)分別為t，

42

）則

4222t

得t，符合題.由題設(shè)

k故122

.

即

k

.解得

k

2

.當(dāng)且僅當(dāng)

時，

，欲使l：

y

mx，y2

，所以l過定點(diǎn)（2，）【變式探究高江蘇卷小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l:x，物線:y2px(p0)（）直線過物線的點(diǎn)，求拋物線C的程；（）知拋物線C上存關(guān)于直線l稱的相異兩點(diǎn)P和Q.①求證：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2p,②求p的取值范圍

；【答案）

y

（）詳見解析，②

4)3【解析】（）P(xQ(,y)，線段PQ的點(diǎn)(x,y)11220因?yàn)辄c(diǎn)P和關(guān)直線l對，所以線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的率為則可設(shè)其方程為y.

px①由消xy2py

(*)因?yàn)镻和是物線C上的異點(diǎn)，所以y,2從而

)

2

4(pb)，簡得pb.方程（）兩根為1,2

，而y

2因?yàn)?,y)在直線l上所以x00因此，線段PQ的點(diǎn)坐標(biāo)為(2p,②因?yàn)镸(2).在線上所以p)，即b4由①知p，于是pp)，以p.34因此p的取值范圍為3xy33【變式探究】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)1)，離心率為，橢圓右頂點(diǎn)的兩條斜率之積ab221為－的直分別與橢圓交于點(diǎn)，N.4(1)求橢圓的準(zhǔn)方程．(2)直線MN是過定點(diǎn)D？若過，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不過，請說明理由．【解析】c313x解）由e＝＝以＋＝1，且＝＋，解得a＝，＝，以橢圓C的程為＋＝a2a4b412k4k2k2－當(dāng)M，的橫坐標(biāo)不相等，即k≠±時，k＝，線MN的方程為y－＝（－21－4k4k＋1－4k4k＋2k即y＝x，該直線恒過定點(diǎn)0）.1－4k1當(dāng)k＝±時，，的坐標(biāo)為，直線MN也定點(diǎn)0，）2

綜上可知，直線過定D（，）方法二：當(dāng)直線的斜存在時，設(shè)MNy＝kxm代入橢圓方程得1＋4k）＋＋4m－＝8km4m－設(shè)M（，y（，x＋－，.1＋4k1＋yy1設(shè)右頂點(diǎn)為A（，據(jù)知2＝－，即4yy＋（－－2）＝，x－2x－4即（1＋）x＋4km－＋）4m＋＝，4m－8km所以（＋）2＋（4km－）＋4m＋＝，1＋4k1＋4k即（－8km）＋8m（＋4k）＝，即＋2km，得＝或m＝－2k.當(dāng)m＝時，直線y＝kx經(jīng)定D0，）.由于AM，的斜率之積為負(fù)值故點(diǎn)M，N在橢圓上位于軸的側(cè)，直線MN與x軸的點(diǎn)一定橢圓內(nèi)部，而當(dāng)m＝－時，直線y＝－定點(diǎn)2，是不可能的.11當(dāng)MN的斜不存在時，點(diǎn)M，關(guān)于x軸對，此時AMAN的斜率分別為一，，時M，恰橢圓的22上下頂點(diǎn)，直線也過點(diǎn)（00）綜上可知，直線過定D（，）【特別提醒】證明直線過定點(diǎn)的基本思想是使用一個參數(shù)表示直線方程，根據(jù)方程的成立與參值無關(guān)得出關(guān)于x，的程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過的定點(diǎn)．【變式探究】xy已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)是F(10)，上頂點(diǎn)是B，且BF|＝，直線y＝k(x＋1)橢圓ab相交于M，兩．(1)求橢圓的準(zhǔn)方程；→→(2)若在x軸存在點(diǎn)P，使得PM2的取無關(guān)，求點(diǎn)的坐．【解析】

222222（）為直線y＝（＋）橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（＋）聯(lián)立y消去y，＋4k）＋8kx4k－12，＝144k＋144>0.＋＝，3－4k－12設(shè)M（，y（，（，x＝，x＝.3＋4k3＋→→PM2（－，y）2－，）＝（x－）2－）＋y＝－（＋）＋＋（＋1＋）＝（1＋k）x＋k－＋）k＋4k－－＝（1＋k）2＋（k－）2＋3＋4k3＋4k＝＝

4k－＋4k－12k－＋＋＋4k＋3＋4k（8x－）－＋，3＋→→8x－411若M2k的取值無關(guān)，則只＝解得＝，－38→→11所以在x軸存點(diǎn)P，使得PM2k的值無關(guān)P坐標(biāo)為，8

.【特別提醒】定值問題就是證明一個量與其他的變化因素?zé)o關(guān)，這些變化的因素可能是直線的率、截距，也可能是動點(diǎn)的坐標(biāo)等，這類問題的一般解法是用變化的量表達(dá)求證目標(biāo)，通過運(yùn)算求證目標(biāo)取值與變化的量無關(guān)．當(dāng)使用直線的斜率和截距表達(dá)直線方程時，在解題過程中要注意建立斜率和截距間的關(guān)系，把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題來解決．【題點(diǎn)破】錐線的圍最問例3.【江，17】如圖在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中橢E:

xya0)的、右焦點(diǎn)分別ab為,F12

,離心率為

12

,兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)在圓E上且位于一象限，過點(diǎn)F1

作直的垂線l過點(diǎn)F作直線PF的線l.2（）橢圓E標(biāo)準(zhǔn)方程；（）直線E交點(diǎn)在圓上求P的標(biāo).

xxxx【答案）

43

（）()7【解析）設(shè)橢圓的半焦距為c.因?yàn)闄E圓E的離心率為

1c2a，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，2ac

，解得

2,c

，于是

2

2

3

，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是

xy

.從而直線l的程：1

yy0

，①直線l的方程：2

y0y0

.②

y0{0077y0{0077由①②，解得

x,y

y

12，所以因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓上，由對稱性，得x2.又在圓上故00

0y0

，即200

或

2200

.由

{

y2xy243y2，得y；y2770433

，無解73因此點(diǎn)P的坐為

.【變式探究高天津理小滿分14分）2y2設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為A，知OF|OA|FAe點(diǎn)，為橢圓的離心率.

，其中

為原（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ過點(diǎn)

的直線

l

與橢圓交于點(diǎn)

（

不在

軸上

l

的直線與

l

交于點(diǎn)

y

軸交于點(diǎn)

H

，若

BF

，且MOAMAO，求直線的l斜的取值范圍.【答案）

x26（）][,4（Ⅱ）解：設(shè)直線l的率為（k直l的方程為

(x

.設(shè)

(x,y)BB

22，由方程組3(2)

，消去y，理得

2

2

xk

2

.

B2HB2H解得x，x

k4k

k2k，由題意得x，從而y.k2k由（Ⅰ）知，

F

，設(shè)

H(0,)

，有

FH)H

，

k24k2

.由BF

，得BF，以

kk

22

kH，得y2

2

.因此直線MH

的方程為

y

xkk

2

.設(shè)

M(x,)

kx，由方程組k(x2)

消去，得M

kk

.在△MAO中

MAO|MAMO|

，即

(2)

2

y

2

x

y

2

，化簡得

，即

kk

66，解得或k.44所以，直線l的率的取值范圍為(

6][4

.【變式探究】已知圓心在x軸的圓點(diǎn)，0)和－，1)，圓的程(－＋＝(1)求圓C的程；(2)由圓D上動點(diǎn)P向C作條切線分別交y軸于，兩點(diǎn)求AB|的取值范圍．【解析】

2yx＋2－x＋22.22yx＋2－x＋22.2（）圓D上動點(diǎn)P的坐為（y則（x－）＋＝，y＝－x4）≥0解得2≤x≤6.設(shè)點(diǎn)A（，（，y－a則直線PA：－＝x，即（a）－yax0.x因?yàn)橹本€PA與C相，所以

|a－y＋|（－）＋

＝，化簡得（＋）－a－＝①同理得（＋）－b－＝②，由①②知a，為方（＋）－2yx－＝兩根，，所以|＝|a－＝（＋）4ab4x＝2x＋

4y＋（＋）（＋）因?yàn)閥＝－x－），所以AB|22

5x－6（＋）

＝2

－

165＋.（＋）x＋11令t＝，因?yàn)?≤x≤6，所≤t，x＋284所以|＝2－16t＋5t＝2

25－16＋，3264

abab5521所以當(dāng)t＝時，＝；當(dāng)t時|AB|＝2.324452所以|的值范圍2，4【特別提醒】解析幾何中產(chǎn)生范圍的有如下幾種情況直線與曲線相交判式；(2)曲上的坐標(biāo)的范圍(3)題目中要求的限制件．這些產(chǎn)生范圍的情況可能同時出現(xiàn)在一個問題中，在解題時要注意全面把握范圍產(chǎn)生的原因．xy【變式探究】在平面直角坐標(biāo)系xOy，橢圓C：＋＝的、右焦點(diǎn)分別為F和F上頂點(diǎn)為→→B，BF的長線交橢圓于點(diǎn)A，ABF周長為8，BF20.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)P(10)的線l與圓交于M，兩點(diǎn)點(diǎn)T(43)，記直線TM，的斜率分別為kk當(dāng)k2k最時，求直線l的程【解析】333（）當(dāng)直線l的率為0時取M－，0（，2k＝3＝.4＋24－24②當(dāng)直線l的率不為0時，直線l方程為＝my＋，代入橢圓方程得m＋）＋－＝，則Δ＝＋12（m2）>0.－2m－設(shè)M（，y（，y＋，y＝，＝＋，＝my＋1.m＋m＋y－3y－y－3（y＋）＋k2k＝2＝x－4x－myy－（＋）＋＝

3m＋＋34m＋1＝＋.4m＋48m＋32t令t＝4m＋，k2k－＝.4t－2t＋252t2t當(dāng)t≤0時，＝≤0t－＋（－）＋2t當(dāng)時＝t－＋

21≤，且僅當(dāng)t＝，即m＝時等號成.254t＋－t

44eq\o\ac(△,S)44eq\o\ac(△,S)31綜上可知，當(dāng)m＝時，2k取最大值＋＝，時直線l的程為x＝＋，x－y－＝【特別提醒】解析幾何中最值問題的基本解法有幾何法和代數(shù)法．幾何法是根據(jù)已知幾何量之的相互關(guān)系，利用平面幾何和解析幾何知識解決問題的方(如拋物線上的點(diǎn)到某個定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和光線反射問題等；代數(shù)法是建立求解標(biāo)關(guān)于某或兩)變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值(普通方、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等)解決題的方法．【題點(diǎn)破】量圓曲性、線與本等問題xy例4、已知拋物線y＝2x的點(diǎn)為橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，橢圓的長軸長為4，左、右頂ab點(diǎn)分別為A，，經(jīng)過橢圓左焦F的直與橢交于，D(異于A，兩．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求四邊形ADBC的積的最大值．→→→(3)若，)，，)是橢上的兩動點(diǎn)，且滿足x＋2yy＝，點(diǎn)P滿OP＝＋2ON(中坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在兩定點(diǎn)G，使得PG＋|PG為定值？若存在，求出該定值；若不存在，說明理由．【解析】（）法一：（－2，（，0－2，顯然直線l的率不為零，設(shè)l＝my－，代入橢圓方程得m＋）－2my2＝0.22m2設(shè)C（，y（，有yy＝，y－.m＋m＋111S＝＋＝|AB||y＋|AB||y＝|AB|2|y－|＝343（＋）－y＝222

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)22m28m＋（）＋43＝＝m＋m＋m＋

8m＋＋

≤4，1m＋當(dāng)且僅當(dāng)m＋＝

1m＋

，即m＝時號成立.故四邊形ADBC的面積的最大值為4.方法二：易知A（－，（，0（，0當(dāng)直線l的率存在時，l的程為x＝－2，此時S＝4.1當(dāng)直線l的率在時，設(shè)l的程為＝（＋中k≠0x＝y(tǒng)－2，代入橢圓方得2kk＋）－2ky－＝，22k2k設(shè)C（，y（，有yy＝，y－.2k＋2k＋111S＝＋＝|AB||y＋|AB||y＝|AB|2|y－|＝343（＋）－y＝222

22k2k8k＋（）＋43＝＝2k＋2k＋2k＋

81＋＋k

11＋k

<4.綜上所述，四邊形ADBC的積最大值為4.【易錯提醒】(1)錯用圓錐曲線系數(shù)的意義，如誤以為長軸長就是a，焦距就是c；(2)忽特情況，如使用直線的斜率時，忽視直線的斜率可能不存在(3)不能正確地把幾何條(一般的幾何條件、向量式表達(dá)的幾何條件轉(zhuǎn)化為以坐標(biāo)、方程表達(dá)的代數(shù)條件(4)算錯誤．xy1y【變式探究】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢的短軸端點(diǎn)與雙曲線－＝的點(diǎn)重合，ab22過點(diǎn)P(4，且垂直于x軸直線l與橢圓C相于A，兩點(diǎn)．(1)求橢圓的程；

→→(2)求A2取范圍．【解析】c1ca－14解）由題意知e＝＝，e＝＝＝，a＝b.又∵雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，±3ba2aa43＝3，∴＝，＝，xy所以橢圓的方程為＋＝43【考題讀1.【2016高考天津理數(shù)小滿分14分設(shè)橢圓

2y2（）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為，知OF|OA|FA

，其中為點(diǎn)，e為圓的離心.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ過點(diǎn)A的線l與圓交于點(diǎn)（不軸l的線與l交點(diǎn)軸于點(diǎn)H，若BF且MOAMAO，求直線的l斜的取值范圍【答案）

x2

（Ⅱ）

6(][,4【解析）：設(shè)

F(c

，由

133c，即OF|FA|caa)

，可得

a

，又

2H2H

，所以c，此a，以橢圓的方程為

x2

.由（Ⅰ）知，

F

，設(shè)

H(0,)，)H

，

k24k2

.由BF

，得BF，以

k2H，得yk2k2k

2

.因此直線MH的方程為

xkk

2

.設(shè)

M(x,)

kx，由方程組k(x2)

消去

，解得

xM

kk

.在△MAO中

MAO|MAMO|

，即

(2)

2x2M

，化簡得

，即

kk

，解得

或k4

.所以，直線l的率的取值范圍為(

6][4

.2.【高新課標(biāo)3理】知拋物線

C

：

y

的焦點(diǎn)為，行于

軸的兩條直線

l,l1

2

分別交

C于A,B兩，交C的線于P，兩．（）在線段上的中點(diǎn)，證明；（II）若的積是ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方.【答案）解析）

y

2

x

．

1111【解析】由題設(shè)

1F(,0)2

.設(shè)l:,l:2

，則ab

，且b21(,0),(,bP,),Q(),(,)22

.記過AB兩的直線為l，l的方程為

2x)yab

......3分（Ⅱ）設(shè)l與的交點(diǎn)為D(

，則S

11bFD2222

.1由題設(shè)可得22

，所以x

（舍去

.設(shè)滿足條件的

的中點(diǎn)為

(x,)

.當(dāng)

與

軸不垂直時，由k

AB

DE

可得

2y(xa

.而

a2

y

，所以

yx

.當(dāng)

與

軸垂直時，

與

重合，所以，所求軌跡方程為

y

2

x

.....12分3.【2016高考浙江理數(shù)題分15分如圖，設(shè)橢圓

a

22

2

（＞）（I）直線=kx+1被橢截得的線段長（用a、k表示（II）若任意以點(diǎn)A（）為心的圓與橢圓至多有3公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

【答案）

ak2

2

）

．（Ⅱ）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個，由對稱性可設(shè)軸側(cè)的橢圓上有兩個不同的點(diǎn)P，足AP

．記直線

，AQ

的斜率分別為

k1

，

k2

，且

k1

，

k2

，

k1

2

．由（Ⅰ）知，

2ak1

1k2

，

AQ

2a2k1

1k

，故

2a2k111

21

1k2

，所以

11

21

．由于

k，，k得211

22

21

22

，因此

(

1)(2(k2k

，①因?yàn)棰偈疥P(guān)于，k的方程有解的充要條件(a1

2

2)

，

.1xt.1xt所以．因此，任意以點(diǎn)

橢圓至多有

個公共點(diǎn)的充要條件為1

2

，由

aeaa

得，所求離心率的取值范圍為

22

．【高新課標(biāo)2理知圓E:

t3

的焦點(diǎn)在

軸上，

是

的左頂點(diǎn)率

k(0)的直線交于A,兩，點(diǎn)在E上MANA（Ⅰ）當(dāng)

tAM

時，求AMN的積；（Ⅱ）當(dāng)

2AN時求的值范圍．【答案）

14449

）

（Ⅱ）由題意t，t.將直線

的方程y(xt

代入

t3

得

2

2

ttk

2

2

2

t

.由

xt1

t

2kt

t得x，故

AMx

.由題設(shè)，直線

的方程為

y

k

，故同理可得

AN

k3

，由

AM

得

233k2

，即

.當(dāng)

時上式不成立，

2.2.因此

t

3k

3

.

t

等價于

k3k2k3k

，即

kk

.由此得，，得k3

2

.因此k的值范圍是

5.【2016年高考北京理數(shù)題14分已知橢圓C：

x222

（a

）的離心率為，

(a

，

(0,b)

，

O

，

的面積為1.（）橢圓C的程；（）

的橢圓C

上一點(diǎn)，直線

與

y

軸交于點(diǎn)M，直線PB與x

軸交于點(diǎn)N.求證：BM

為定值【答案）

x

y

2

）見解析（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(2,0),B(0,1)

，設(shè)

,)則x0

y

4

.

當(dāng)

x0

y時，直線的方程為y0(x2)x0

.令x，yM

y0x0

，從而

BM1M

2

.直線PB

的方程為y

y0x0

x

.x令0，x0y0

，從而

ANN

.所以

AN

2y0

22yx4xx00000000004

.當(dāng)

x0

時，

y0

，

BMAN所以

.綜上，

BM

為定值6.【2016年高考四川理數(shù)題滿分13分）已知橢圓：

xb2

的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)是直角三角形的三個頂點(diǎn)，直線l:y

與橢圓E有只有一個公共點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓E的方及點(diǎn)T的坐；（Ⅱ）設(shè)是標(biāo)原點(diǎn)，直線l平行于OT，與橢圓E交不的兩點(diǎn)A、，與直線l交點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)

，使得

PA

，并求

的值.【答案）

6

，點(diǎn)T坐為2,1

.【解析）由已知，

2c2

，即

a

2，所以a2b

，則橢圓E方程為

x2b

.

212111212111由方程組

b

2

得

x

2

b

2

)

.①

方程①的判別式為

，由

，得b

，此方程①的解為x=2，所以橢圓E的方程為點(diǎn)T坐標(biāo)（2,1）

6

.方程②的判別式為

m

2

)

，由解得

322

.由②得

x=1

4m,x3

.所以

PA

mm)(1y)

，

12122同理PB2

，所以PA

52m2(2)(2)43

5m(2)2x)x4332m4m)3m

.故存在常數(shù)

，使得

.7.【高上海理數(shù)】本題有2個小，第1小題滿分6分第2小滿分8分雙曲線

x

2

y

22

0)

的左、右焦點(diǎn)分別為

FF1

，直線l

過且與雙曲線交于A兩。2（）l的傾斜角為

，

1

是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；（）

，若l的率存在，且(F)，l的斜率【答案）

2x

）

.【解析】（）已知，

2

．

ΜF(xiàn)ΜΜF(xiàn)Μ設(shè)

，直線

l:

．由3

，得2k

．因?yàn)閘與曲線交于兩點(diǎn)，所以kΜ,．設(shè)ΑΒ的中點(diǎn)為Μ

0

，且

．由(FA)11

即

，知FΜ1

，故k

F

．而

xk2xk2

，

yΜ

k

6k3k，k122

，所以

得2k

，故

l

的斜率為

155

．x11．(20152浙江19)已橢圓＋y＝上個不同的點(diǎn)，關(guān)直線y＝＋對稱22(1)求實(shí)數(shù)m的取范圍；(2)求△面的最大值為標(biāo)原點(diǎn)．【解析】

m12－m12－1(2)令＝，22

，則|AB|＝t＋2

3－t＋＋21t＋2

.且O到直AB距離為d＝設(shè)△的面積為St)，11所以S(t＝||222

1t＋2.＋22－2≤.21當(dāng)且僅當(dāng)＝時，等號成立．2故△面積的最大值為

22

.2．(20152江蘇18)如，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，知橢圓＋＝1(＞＞的心率為ab焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的離為3.

22

，且右

＝1＋2kk1＋2k＝1＋2kk1＋2kk（＋k）||（＋k）1＋2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段AB的直平分線分別交直線l和于，C，若＝，求直線的方程．(2)當(dāng)AB軸，AB＝2，＝，合題意．當(dāng)與x不垂直時，設(shè)直線的方程為y＝(－1)Ax，)，(，)，將的程代入橢圓方程，得(＋2)x－k＋2(

－＝，2±2（＋）2則x＝，的坐標(biāo)，1＋2

－1＋2k

，且AB＝（）＋）＝（＋）（－）＝

22（1＋1＋2

）.若k＝，線段AB垂直平分線為y軸，左準(zhǔn)線平行，不合題意．從而k≠0，直線PC方程為k12y＋－

，k2則P點(diǎn)的標(biāo)2（3＋）1＋從而＝.||（＋2k）因?yàn)椋紸B2（3k＋）1＋42（1）所以＝，解得k＝±1.此時直線的方程為＝－1或y＝－＋1.x3．(20152天津19)已橢圓＋＝1(＞b＞0)左焦點(diǎn)為(，，離心率為a

33

，點(diǎn)在圓上且43位于第一象限，直線被x＋＝截的線段的長為c，|FM|＝.43

22(1)求直線的斜率；(2)求橢圓的方程；(3)設(shè)動點(diǎn)P在橢上，若直線的斜率大于2，求直線OP(O為點(diǎn)的率的取值范圍．【解析】x3(2)由1)得橢圓方程為＋＝1，直線FM的方程為y＝(＋)，兩個方程聯(lián)立，消去y，整得332＋－＝，52解得x＝－c，或＝.因?yàn)辄c(diǎn)M在一象限，可得M的坐為33由FM＝

343（＋）c－033

.x解得c＝，以橢圓的方程為＋＝1.32(3)設(shè)點(diǎn)P的標(biāo)為(x，)，直線FP的斜率為，得t＝

y，即＝(＋1)(x≠－1)，與圓方程聯(lián)立．x＋（＋），y消，整理得2＋(＋1)＝，＋＝，2又由已知，得t＝

6－2x3（＋）

＞2，3解得－＜＜－1，或－＜＜0.2

aa4．(20152四川20)如，橢圓：＋＝1(＞＞0)的離心率是

22

，過點(diǎn)P(01)的動直線l與橢圓相交于A，兩，當(dāng)直線l行于x軸，直線l被橢E截的線段長為22.(1)求橢圓E的方；|||PA|(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy，是否存在與點(diǎn)P不的定點(diǎn)Q使得＝恒立？若存在，求出點(diǎn)Q|||PB|的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解(1)由已知，點(diǎn)2，在圓E上21＋＝，因此解得＝，＝a2x所以橢圓E方程為＋＝42

2，

42，|||′|||||42，|||′|||||所以，若存在不同于點(diǎn)的點(diǎn)Q滿條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為0，2)，|QA|||下面證明：對任意直線，有＝，|QB|||當(dāng)直線l的斜不存在時，由上知，結(jié)論成立，當(dāng)直線l的斜存在時，可設(shè)直l的程為y＝＋，的標(biāo)分別(，)，，)xy＋＝，聯(lián)立得2＋1)x＋，

＋－＝0，其判別式Δ＝)＋8(2＋1)0，所以x＋

42＋2xx＝－，2＋11＋因此＋＝＝k，xxxx易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸稱的點(diǎn)′的坐標(biāo)－，)，y－－1又k＝＝＝－，xxk

y2kx111＝＝＝－＋＝－，－－xx所以k＝k，，，′點(diǎn)共線，||||||||所以＝＝＝，|QA||PA|故存在與P