中考數(shù)學一輪知識復(fù)習和鞏固練習考點18 特殊的四邊形（能力提升） (含詳解)

考向18特殊的四邊形【知識梳理】考點一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分1、有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個角是直角的四邊形是矩形；3、對角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱圖形等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形方法指導(dǎo)：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點二、梯形1．解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）；

（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中（圖2）；

（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中（圖3）；

（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形（圖4）；

（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成三角形（圖5）．

圖1圖2圖3圖4圖5

方法指導(dǎo)：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決．在學習時注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對于學好梯形內(nèi)容很有幫助．2.特殊的梯形（1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．性質(zhì)：①等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等．②同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．③等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過兩底中點的一條直線．（2）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．考點三、中點四邊形相關(guān)問題1.中點四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．2.若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；

若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；

若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．方法指導(dǎo)：中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．【專項訓(xùn)練】一、選擇題1.如圖,E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ＋PR的值是()．

A．

B．

C．

D．

2．如圖,在梯形ABCD中，

AB∥CD，中位線MN

=7,對角線AC⊥BD,∠BDC

=30°，則梯形的高為（）．A．

B．C．

D．

3.四邊形ABCD的對角線AC=BD，且AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，得到四邊形EFGH，則它是（）.A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四邊形4.如圖，矩形ABCD中，其長為a，寬為b，如果，則的值為（）.

A．B．C．

D．

5.如圖，在菱形ABCD中，，的垂直平分線FE交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF．則等于（）．A．

B．

C．D．

6.如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A、B重合），對角線AC、BD相交于點O，過點P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點E、F，交AD、BC于點M、N．下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；其中正確的結(jié)論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題7.如圖，點E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH=AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為___________．

8.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點O．下面結(jié)論正確的是_________．

①AC=BD；②∠DAO=∠DBC；③S△BOC=S梯形ABCD；④△AOB≌△DOC．

9.如圖，圓柱形玻璃杯，高為8cm，底面周長為12cm，在杯內(nèi)離杯底2cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，求螞蟻到達蜂蜜的最短距離是．如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小三角形，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則△ABC的邊長是_________.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E為CD的中點，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，當AD=2，BC=12時，四邊形BGEF的周長為_________．12.如圖，以菱形ABCD各邊的中點為頂點作四邊形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各邊的中點為頂點作四邊形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四邊形A2011B2011C2011D2011，若ABCD對角線長分別為a和b，請用含a、b的代數(shù)式表示四邊形A2011B2011C2011D2011的周長_________________.

三、解答題13.已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．

(1)當DG=2時，求△FCG的面積；

(2)設(shè)DG=，用含的代數(shù)式表示△FCG的面積；

(3)判斷△FCG的面積能否等于1，并說明理由．在圖1到圖3中，點O是正方形ABCD對角線AC的中點，△MPN為直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不動，△MPN沿射線AC向右平移，平移過程中P點始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點E，PN垂直于直線BC于點F．

（1）如圖1，當點P與點O重合時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為______；

（2）如圖2，當P在線段OC上時，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對你的猜想結(jié)果給予證明；

（3）如圖3，當點P在AC的延長線上時，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_______；位置關(guān)系為_________．

15．如圖1，P是線段AB上的一點，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，順次連接E、F、G、H．

（1）猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；

（2）當點P在線段AB的上方時，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

16.如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿BC向點C運動，點F從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度沿OB向點B運動．現(xiàn)點E、F同時出發(fā)，當點F到達點B時，E、F兩點同時停止運動．

（1）求梯形OABC的高BG的長；

（2）連接E、F并延長交OA于點D，當E點運動到幾秒時，四邊形ABED是等腰梯形；

（3）動點E、F是否會同時在某個反比例函數(shù)的圖象上？如果會，請直接寫出這時動點E、F運動的時間t的值；如果不會，請說明理由．答案與解析一.選擇題1．【答案】A．2．【答案】B.3．【答案】A.4．【答案】A.【解析】由題意，，.5．【答案】D.6．【答案】B.【解析】在正方形ABCD中，∠PAE=∠MAE=45°，在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），故①正確；∴AP=AM，∴△APM是等腰直角三角形，∴PM=AP，同理可得PN=PB，∴PM+PN=AB，又∵AC=AB，∴PM+PN=AC，故②正確；∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，∴四邊形PEOF是矩形，∴PF=OE，在Rt△POE中，PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正確；∵矩形PEOF不一定是正方形，∴△POF是不一定等腰直角三角形，∵∠OBC=45°，BF⊥FN，∴△BNF是等腰直角三角形，∴△POF與△BNF相似不一定成立，故④錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個．故選B．二．填空題7．【答案】SKIPIF1<0.【解析】把△APD旋轉(zhuǎn)到△DCM，把△ABF旋轉(zhuǎn)到△BCN，則多邊形PFBNMD的面積被分成10份，陰影部分占4份.8．【答案】①②④.9．【答案】10cm.

【解析】如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′C，則A′C即為最短距離，由題意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，A′C==10（cm）．10.【答案】12.【解析】設(shè)正△ABC的邊長為x，則高為SKIPIF1<0x，S△ABC=SKIPIF1<0x?SKIPIF1<0x=SKIPIF1<0x2，

∵所分成的都是正三角形，∴結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長的對角線為SKIPIF1<0x-SKIPIF1<0，較短的對角線為（SKIPIF1<0x-SKIPIF1<0）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0x-1，

∴黑色菱形的面積=SKIPIF1<0（SKIPIF1<0x-SKIPIF1<0）（SKIPIF1<0x-1）=SKIPIF1<0（x-2）2，

∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得，11x2-144x+144=0，

解得x1=SKIPIF1<0（不符合題意，舍去），x2=12，所以，△ABC的邊長是12．11.【答案】28.【解析】先根據(jù)EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四邊形BGEF是平行四邊形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判斷出四邊形BGEF是菱形，再根據(jù)E為CD的中點，AD=2，BC=12求出EF的長，進而可得出結(jié)論．12．【答案】SKIPIF1<0.【解析】結(jié)合圖形，腳碼為奇數(shù)時，四邊形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，長為

SKIPIF1<0，寬為

SKIPIF1<0；

腳碼為偶數(shù)時，四邊形A2nB2nC2nD2n是菱形，邊長為SKIPIF1<0

，

∴四邊形A2010B2010C2010D2010是菱形，邊長為

SKIPIF1<0，

周長為

SKIPIF1<0，即

SKIPIF1<0．

∴四邊形A2011B2011C2011D2011是矩形，長為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，

∴四邊形A2011B2011C2011D2011的周長為：2（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．三.綜合題13．【解析】(1).

(2)作FM⊥DC，M為垂足，連結(jié)GE，

∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，

∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE．

∴∠AEH=∠MGF.

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴△AHE≌△MFG.

∴FM=HA=2，即無論菱形EFGH如何變化，點F的直線CD的距離始終為定值2.

因此

(3)若，由，得，此時在△DGH中，.

相應(yīng)地，在△AHE中，，即點E已經(jīng)不在邊AB上.

故不可能有.14．【解析】（1）OE=OF（相等）；

（2）OE=OF，OE⊥OF；

證明：連接BO，

∵在正方形ABCD中，O為AC中點，

∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，

∵PF⊥BC，∠BCO=45°，

∴∠FPC=45°，PF=FC．

∵正方形ABCD，∠ABC=90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB=∠PFB=90°．

∴四邊形PEBF是矩形，

∴BE=PF．

∴BE=FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE=OF，∠BOE=∠COF，

∵∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE+∠BOF=90°，

∴∠EOF=90°，

∴OE⊥OF．

（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．15．【解析】（1）四邊形EFGH是菱形．

（2）成立．理由：連接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，

∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．

即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，

∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．

∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，

∴EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線．

∴EF=SKIPIF1<0BC，F(xiàn)G=SKIPIF1<0AD，GH=SKIPIF1<0BC，EH=SKIPIF1<0AD．

∴EF=FG=GH=EH．∴四邊形EFGH是菱形．

（3）補全圖形．

判斷四邊形EFGH是正方形．

理由：連接AD，BC．

∵（2）中已證△APD≌△CPB．

∴∠PAD=∠PCB．

∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．

又∵∠1=∠2．

∴∠PCB+∠2=90°．

∴∠3=90°．

∵（2）中已證GH，EH分別是△BCD，△ACD的中位線，

∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．

又∵（2）中已證四邊形EFGH是菱形，

∴菱形EFGH是正方形.16.【解析】（1）根據(jù)題意，AB=SKIPIF1<0=6,

∵2S△AOB=AB?OB=AO?BG，∴BG=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=4.8；

（2）設(shè)當E點運動到x秒時，四邊形ABED是等腰梯形，則BE=x，OF=2x，

∵BC∥OA，

∴SKIPI