2022年《點到平面的距離》基礎練習

點到平面的距離1?向量n=(2,0,1)為平面a的法向量，點A(—1,2,1)在a內，那么P(l,2—2)到a的距離為()C.2護TOC\o"1-5"\h\z2.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,O是A1C1的中點，那么O到平面ABC1D1的距離為()3?長方體ABCD—A1B1C1D1中，棱A1A=5,AB=12，那么直線B1C1到平面A1BCD1的距離是()A.5D.84?正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,那么平面AB1D1與平面BDC］的距離為()5.等腰RtAABC斜邊BC上的高AD=1，以AD為折痕將AABD與AACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出以下結論：BD丄AC；ZBAC=60°；異面直線AB與CD之間的距離為羅；點D到平面ABC的距離為W3；直線AC與平面ABD所成的角為45°.其中正確結論的序號是.6?三棱柱ABC—A1B1C1是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側棱CC1的中點.求證：平面AB"丄平面ABB]A]；求點C到平面AB1D的距離.7.如下圖的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4,BC=2,CC]=3,BE=1,AEC、F為平行四邊形.⑴求BF的長；(2)求點C到平面AEC1F的距離.8在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD丄底面ABCD.證明：AB丄平面VAD；求平面VAD與平面VDB所成的二面角的余弦值.參考答案1.［答案］A［參考答案1.［答案］A［解析］—>???PA=(—2,0,3),???點P到平面a的距離為d=IPA?nl1—4+31,..'5mr=\；：5=于2.—>解析］以DA、—>解析］以DA、50,1,1),c1o=250,1,1),c1o=2c^ai=(11、2，—2，0,平面ABC1D1的法向量DA1=(1,0,1),點(乙也丿—>—>1O到平面ABC1D1的距離d=QAJ1。"=2=害.IDA1I対[解析]解法一：?B]C]〃BC,且B]C]平面A1BCD1,BCu平面A^CD^???B]C]〃平面A1BCD1.從而點B]到平面A1BCD1的距離即為所求.過點Bi作BE丄A]B于E點.?:BC丄平面A]ABB],且B1Eu平面A^ABB1,?BC丄B]E.又BC^A1B=B,AB1E丄平面A1BCD1,在RtAA]B]B中，ABa?BB5x1260RE=11LB1EAB「.J5I+I丟13，因此直線B1C1和平面A1BCD1的距離為鈴.

—>—>—>解法二：以D為原點，DA、DC、DD]的方向為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，那么C(0,12,0),D/0,0,5),設B(x,12,0),B1(x,12,5)(好0),設平面A1BCD1的法向量n=(a,b,c),—>—>由n丄BC,n丄CD]得—>nBC=(a,b,c)?(—x,O,O)=—ax=O,?：a=O,—>n?CD]=(a,b,c)?(0,—12,5)=—12b+5c=0,5F***b=T2C,^可取n=(0,5,12),B1B=(0,0,—5),???B］到平面???B］到平面A1BCD1的距離d=IB]B?nlIni601T［答案］D［解析］以A為原點，AB、AD、AA］分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,那么B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1)．設平面AB"］的法向量為n=(x,y,z),那么'n?那么'n?AB]=O,—>n?AD]=O,[x+z=O,、y+z=O.令z=—1,那么n=(1,1,—1),—>—>顯然nBD=O,“?BC]=O,:.n也是平面BDC]的法向量,???平面AB]D]〃平面BDC],—>—>—>—>.??其距離為d=^n~=尋［答案］①②③④⑤［解析］VADXBD,AD丄CD,平面ABD丄平面ACD,:.ZBDC=90°,:.BD±平面ACD,^BD±AC,^①正確；又知AD=BD=CD=1,^^ABC為正三角形，ZBAC=60°,???②正確；?「mBC邊長為護，.??估沖=斗，由匕」"=VD_ABC得3x(2xlxl)xl=3x#xh,.?.h=￥，故④正確；TCD丄平面ABD,???ZCAD為直線AC與平面ABD所成的角，易知ZCAD=45°,故⑤正確；以D為原點，DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，易知—>—>—>A(0,0,l)，B(l,0,0)，C(0,l,0)，?AB=(l,0，－l)，AC=(0,l，－l)，DC=(0,l,0)，TOC\o"1-5"\h\z—>—>設n=(x，y，z)，由nAB=0，nDC=0得x_z=0,y=0，令z=1得n=(1,0,1),—>???異面直線AB與DC之間的距離d==An^=#，故③正確.—>—>—>—>—>［解析］(1)證明：如下圖，取AB1中點M,那么DM=DC+CA+AM,又DM—>—>—>=DC1＋C1B1＋B1M.2DM=CA＋C1B1=CA＋CB..—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>2DM?AA1=(CA+CB)?AA1=0,2DM?AB=(CA+CB)?(CB—CA)=ICB|2-ICAI2=0，DM丄AA］,DM丄AB.?DM丄平面ABB/］.又又EA丄DV,^ZAEB是所求二面角的平面角.—>—>?.?DM平面AB",.：平面AB1D丄平面ABB1A1.(2)解：???A]B丄DM,A]B丄AB].???A]B丄平面AB1D.—>???A]B是平面AB1D的一個法向量.???點C到平面ABD的距離為———————A]A+ABI2a\ACA1BIIAC?d=1—=——IA1BI[解析](1)建立如下圖的空間直角坐標系，那么D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),q(0,4,3)，設F(0,0,z)????四邊形AEC1F為平行四邊形，————???由AF=EC\得，(一2,0,z)=(-2,0,2),???z=2,??F(0,0,2)?——?*.BF=(—2,—4,2).——于是IBFI=2、J6.即卩BF的長為2、J6.⑵設n1為平面AEC1F的法向量，顯然n1不垂直于平面ADF,故可設n1=(x,y,1),

<右AE=0,—>AF=0,.J0xx+4xy+1=0,<右AE=0,—>AF=0,.J0xx+4xy+1=0,|—2xx+0xy+2=0.4y+1=0,—2x+2=0,x=1，1y=_4?—>—>又CC1=(0,0,3),設Cq與nx的夾角為a,—>那E么cosa=CC]=133~'ICCJ.lnJ3x\/1+1^+1.C到平面AEC1F的距離為d=lcC]l?cosa=3x埠^琴3.8.[解析](1)以D為坐標原點，建立如下圖的空間直角坐標系.不妨設A(1,0,0),那么B(1,1,0),V(2,0,f),ab=(o,1,o),V4=(；,0,—>—>由AB?VA=0,得AB丄VA.又AB丄AD，且ADAVA=A,:.AB丄平面VAD.⑵設E為