對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施策略的研究

對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實(shí)施策略的研究余乃靈（廣東省清遠(yuǎn)市英德中學(xué)）摘要：本文通過(guò)對(duì)近三年廣東高考數(shù)學(xué)概念的考查及概念教學(xué)中存在的典型問(wèn)題的探究，結(jié)合實(shí)例，總結(jié)了實(shí)施概念教學(xué)的一般性策略，提出了新穎的教學(xué)觀點(diǎn)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念后續(xù)學(xué)習(xí)策略一.問(wèn)題的提出數(shù)學(xué)概念是反映客觀事物關(guān)于空間形式和數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性的思維形式。它是數(shù)學(xué)思維形式中最基本組成單位，是數(shù)學(xué)這座大廈的磚瓦。教師加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量最基本的環(huán)節(jié)。1.數(shù)學(xué)概念考查是高考的熱點(diǎn) 高中數(shù)學(xué)考試大綱提出：數(shù)學(xué)科的考試，按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力與素質(zhì)的考查融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。那么，對(duì)概念的考查有多少？概念考查能不能體現(xiàn)以能力立意命題的指導(dǎo)思想呢？筆者對(duì)近三年廣東高考數(shù)學(xué)概念的考查進(jìn)行了歸納總結(jié)，見(jiàn)表1。表12022—2022年度廣東高考有關(guān)數(shù)學(xué)概念的考查情況分布表年份題號(hào)考察內(nèi)容與方式考察能力平均分2022第1,2,4題集合的概念、韋恩圖、反函數(shù)基本概念的理解第3題復(fù)數(shù)（自定義符號(hào)的理解）新概念的理解表征第5題直線與平面的概念（概念的相容、從屬關(guān)系）基本概念的辨析能力第8題積分的概念與幾何意義概念的不同形式表述及應(yīng)用第11題橢圓的概念概念的內(nèi)涵及外延的理解第18,19題正投影、區(qū)域定義（自定義）概念的理解，后續(xù)學(xué)習(xí)能力2022第1，5題集合，充要條件等基本概念基本概念的理解運(yùn)用能力第21題折線概念（自定義的新概念）新概念的理解，后續(xù)學(xué)習(xí)能力2022第2題集合的概念及運(yùn)算基本概念理解運(yùn)用79第8題乘法封閉性（自定義新概念）概念表征能力；類比、推理第19題兩圓內(nèi)切、外切及圓錐曲線概念基本概念的掌握及運(yùn)用第21題最值；點(diǎn)集（自定義新概念）新概念的理解，后續(xù)學(xué)習(xí)能力注：1.平均分來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)；所得的結(jié)論只做參考，不具備準(zhǔn)確性。2.只選取理科數(shù)學(xué)（A卷）的內(nèi)容作對(duì)比，主要是考慮到表格占據(jù)的篇幅過(guò)大（筆者對(duì)文科數(shù)學(xué)也作了對(duì)比，結(jié)論與理科數(shù)學(xué)相差不大）；為方便對(duì)比，統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容主要側(cè)重直接考查概念的題目，對(duì)于間接考查的內(nèi)容未作考慮。（1）數(shù)學(xué)概念的范圍廣，力度大。仔細(xì)分析表1，我們易看出，廣東高考的命題十分注重對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解運(yùn)用。2022年直接考查概念的分值達(dá)到了63分，2022年占24分，2022年占38分。考查的內(nèi)容有：a.基本概念的理解運(yùn)用；b.命題者自定義（或高等數(shù)學(xué)中的定義）概念的理解運(yùn)用。為什么會(huì)這么注重概念的考查呢？第一，數(shù)學(xué)概念在整個(gè)高中數(shù)學(xué)系統(tǒng)中占了相當(dāng)大的比例，可以說(shuō)無(wú)處不在，命題者無(wú)論怎么命題，都不可能避免概念的考查；第二，“考試大綱”提出：數(shù)學(xué)科考試要發(fā)揮數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的作用，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法，又考查考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。因此，要檢測(cè)考生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，從而檢測(cè)出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能。通過(guò)對(duì)一個(gè)未知概念進(jìn)行定義來(lái)考查考生對(duì)新知識(shí)的理解和運(yùn)用，這是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)橋梁，也體現(xiàn)考生的后續(xù)學(xué)習(xí)能力，這種考查方式成為命題者所愛(ài)就理所當(dāng)然了。 （2）數(shù)學(xué)概念的考查能體現(xiàn)能力立意的指導(dǎo)思想?？忌鷤兤毡檎J(rèn)為2022年和2022年的廣東數(shù)學(xué)高考題偏難，事實(shí)上從平均分也可以體現(xiàn)出來(lái)?，F(xiàn)在我們作一個(gè)分析：將總平均分與考查概念所占分值進(jìn)行對(duì)比：2022年平均分分，概念占分值63分；2022年平均分分，概念占分值24分；2022年平均分79分，概念占分值38分。這揭示一個(gè)有趣的現(xiàn)象：考查概念的題目比重越大，平均分越低。這兩者間究竟有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系呢？筆者就2022年和2022年的高考題對(duì)幾間學(xué)校的部分考生進(jìn)行了訪談?wù){(diào)查，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)：表1的題目對(duì)高中知識(shí)涵蓋面廣，而且題型新穎、靈活，正是他們普遍認(rèn)為比較難的題目。特別是2022年的考題，第1—5道選擇題全部考查概念，這大大出乎考生的意料，大部分考生的第一印象是選擇題難，影響了后面題目的順利解答。從這個(gè)角度看，概念的考查確實(shí)與平均分有一定的關(guān)系，也體現(xiàn)了能力立意的命題指導(dǎo)思想，同時(shí)暴露出教師在平時(shí)的教學(xué)中對(duì)概念教學(xué)的把握不到位。2.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的典型問(wèn)題 在對(duì)高考試題分析中，筆者提出了高中階段概念教學(xué)的把握不到位的情況，現(xiàn)在結(jié)合兩個(gè)案例，具體分析概念教學(xué)中存在的問(wèn)題。案例1：教高一年級(jí)的新教師小王早就聽(tīng)說(shuō)函數(shù)的概念課不容易上好，于是他花了幾天時(shí)間對(duì)《函數(shù)的概念》認(rèn)真研究備課。小王老師滿懷信心的走上了講臺(tái)，他讓同學(xué)們認(rèn)真閱讀函數(shù)的概念，標(biāo)記出概念的關(guān)鍵詞，并讓大家討論應(yīng)該注意的問(wèn)題。一節(jié)課下來(lái)，小王自我感覺(jué)授課很到位，課堂氣氛也很熱烈。第二天上課前，有位同學(xué)向小王老師提出了自己的困惑：“老師，函數(shù)有什么用途？我怎么覺(jué)得函數(shù)好抽象??！”；小王老師回答說(shuō)“函數(shù)是比較抽象，你要認(rèn)真理解概念，多做點(diǎn)題目，接觸多了慢慢就懂了”。案例2：某市招考高中數(shù)學(xué)教師，其中備課環(huán)節(jié)的內(nèi)容為新授課“函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲档谝徽n時(shí)”。評(píng)委們發(fā)現(xiàn)，有一半以上的備課稿將這節(jié)課的重難點(diǎn)定位為“函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用”；“過(guò)程與方法目標(biāo)”定位為“通過(guò)練習(xí)，使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的定義及幾何意義”；教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程也比較側(cè)重應(yīng)用，設(shè)計(jì)了大量有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的題型。兩個(gè)案例，揭示了當(dāng)今概念教學(xué)存在的一些問(wèn)題。第一個(gè)案例，反映出有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)名詞而已，認(rèn)為概念教學(xué)就是對(duì)概念作解釋，要求學(xué)生記憶。像函數(shù)、向量這樣的概念，其本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種處理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。因此不講概念產(chǎn)生的背景和形成歷程，僅從邏輯上列舉要素和注意點(diǎn)，摒棄了概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，導(dǎo)致學(xué)生難以達(dá)成對(duì)概念的實(shí)質(zhì)性理解，無(wú)法形成相應(yīng)的心理歷程。這也反映在那位同學(xué)提出的問(wèn)題里。第二個(gè)案例，反映出不少教師在教學(xué)中重解題、輕概念，認(rèn)為“應(yīng)用概念的過(guò)程就是理解概念的過(guò)程”，一節(jié)概念課就是一節(jié)解題課，造成學(xué)生對(duì)概念含糊不清、一知半解，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)新情境時(shí)無(wú)法透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，難以實(shí)現(xiàn)概念的正確、有效應(yīng)用。二.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略研究 從上面的分析，我們知道了歷年高考都相當(dāng)重視對(duì)概念的考查，但我們的教學(xué)較多停留在“輕概念，重應(yīng)用”的老路上。如何更有效的實(shí)施概念教學(xué)，應(yīng)該成為教師急需探討的課題。筆者提出了以下一些應(yīng)對(duì)策略，以求爭(zhēng)鳴。1.重視數(shù)學(xué)概念對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義數(shù)學(xué)概念的形成是以實(shí)踐為基礎(chǔ)，經(jīng)由從客觀事物到主觀意識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，它是從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)的思維形式，這個(gè)過(guò)程按照認(rèn)識(shí)發(fā)展順序就是感覺(jué)——知覺(jué)——表象——概念。隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，數(shù)學(xué)概念的形成主要在于數(shù)學(xué)自身內(nèi)部的矛盾運(yùn)動(dòng)。表現(xiàn)為純邏輯的導(dǎo)出和內(nèi)部的多級(jí)抽象，如虛數(shù)單位i的產(chǎn)生來(lái)源于一元三次方程的求解，“群”概念的產(chǎn)生來(lái)源于高次方程根的表達(dá)形式問(wèn)題的研究?，F(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)課程不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律。數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程正是體現(xiàn)了這種心理規(guī)律。同時(shí)，概念作為思維形式的最基本單位，構(gòu)建了數(shù)學(xué)大廈。因此，教師重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，便是遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，注重基礎(chǔ)的培養(yǎng)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基石。2.依據(jù)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本原則，設(shè)計(jì)概念教學(xué)過(guò)程高中數(shù)學(xué)概念的基本要求為：揭示概念的內(nèi)涵與外延，使學(xué)生深刻理解概念，牢固掌握概念，靈活運(yùn)用概念，即達(dá)到理解、鞏固、系統(tǒng)、會(huì)用的目的。為了達(dá)到概念教學(xué)的基本要求，教師可以幾個(gè)原則來(lái)進(jìn)行概念教學(xué)的設(shè)計(jì)：a.深刻揭示概念的生成過(guò)程，挖掘生成背景，體現(xiàn)再創(chuàng)造過(guò)程。b.抓住主要概念，選擇講解重點(diǎn)。c.設(shè)計(jì)情景或題型幫助理解概念的內(nèi)涵和外延。d.注重思維的演變，凸現(xiàn)概念體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。e.學(xué)習(xí)概念是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。數(shù)學(xué)概念的定義十分嚴(yán)謹(jǐn)，一字之差會(huì)有天淵之別。而高中的大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都是新的知識(shí)和新的思維，它的形成需要一個(gè)過(guò)程。因此，在學(xué)生初學(xué)概念時(shí)，不宜逐字挖掘涵義，硬性要求學(xué)生強(qiáng)記定義，只需要大體理解概念。但隨著學(xué)習(xí)的深入，教師應(yīng)該有意識(shí)的多回顧，創(chuàng)設(shè)一些針對(duì)性話題或題型，讓學(xué)生深入思考概念的內(nèi)涵和外延，逐步完善概念，最終形成嚴(yán)格的定義。下面以《函數(shù)的概念》剖析設(shè)計(jì)思想。函數(shù)是一個(gè)核心概念，函數(shù)思想是一種核心的數(shù)學(xué)思想方法。按照上面提到的設(shè)計(jì)原則，作如下處理：（1）概念的引入：讓學(xué)生列舉接觸過(guò)的函數(shù)，回顧初中學(xué)過(guò)的函數(shù)的概念及表達(dá)形式。（這其實(shí)揭示了函數(shù)的發(fā)展歷程：函數(shù)是從冪x,x2,x3……的同義詞發(fā)展到變量x與常量構(gòu)成的任一表達(dá)式，并由歐拉給出函數(shù)f(x)的記號(hào)，最終發(fā)展成由揭示對(duì)應(yīng)關(guān)系更本質(zhì)的映射來(lái)定義）再結(jié)合課本引入例題，揭示函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（2）處理概念的講解重點(diǎn)：函數(shù)概念包含了自變量、函數(shù)值、對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域等概念。而“對(duì)應(yīng)關(guān)系”、“定義域”這二個(gè)主要概念應(yīng)該作為初次學(xué)習(xí)函數(shù)概念的重點(diǎn)內(nèi)容。為了幫助理解對(duì)應(yīng)關(guān)系，不妨舉一些現(xiàn)實(shí)生活的例子。筆者在教學(xué)的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系還不甚理解，于是在課堂上舉了個(gè)例子：可以把函數(shù)看成是一部制造火腿腸的機(jī)器，將原料放進(jìn)去，經(jīng)過(guò)機(jī)器的運(yùn)轉(zhuǎn)，產(chǎn)出的是火腿腸。放入的是豬肉，出來(lái)的是豬肉火腿腸；放入的是牛肉，出來(lái)的是牛肉火腿腸。但如果放塊石頭，就出不來(lái)火腿腸。只是函數(shù)要求放入的“原料”是數(shù)，輸出的當(dāng)然也是數(shù)，對(duì)應(yīng)法則就好比是機(jī)器本身（例子粗俗，但可以讓學(xué)生深刻體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系及定義域、值域的要求）。函數(shù)當(dāng)然不是機(jī)器，但我們的重點(diǎn)是理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系與定義域等重點(diǎn)內(nèi)容。（3）概念的完善和鞏固：為了完善函數(shù)概念的定義，在后面的學(xué)習(xí)中還應(yīng)該多設(shè)計(jì)相關(guān)情景或求異問(wèn)題，使學(xué)生通過(guò)求異、辯證，逐步完善函數(shù)概念。概念出來(lái)后，可以用一些實(shí)例（以解析式、圖象、表格三種形式給出）設(shè)計(jì)情景，以討論的形式讓學(xué)生自己歸納出函數(shù)概念及三要素。還可以設(shè)計(jì)一些有關(guān)定義域、解析式、值域等的習(xí)題幫助理解。如下面的幾道題目。例1：下列哪個(gè)是函數(shù)（）=1-x2;=4x;C.=lnx-x2例2：下列四組函數(shù)中，其函數(shù)圖象相同的是（）A.B.C.D.3.整體把握數(shù)學(xué)概念，適當(dāng)研究定義的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)概念下定義的方式很多，有屬加種差定義、發(fā)生性定義、關(guān)系性定義、外延性定義、歸納性定義、公理化定義、原始概念不加定義。這些定義的方式都不要求學(xué)生了解，但我們適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生研究一些定義概念的結(jié)構(gòu)，這樣有助于整體把握概念，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。如立體幾何中的多面體和多邊形，都屬于屬加種差定義，如果適當(dāng)提點(diǎn)一下定義的結(jié)構(gòu)，就可以對(duì)它們之間的相容關(guān)系更清晰。請(qǐng)觀察下面的例子：等差數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列從語(yǔ)法結(jié)構(gòu)的角度來(lái)看，兩者都屬同一種定義方式（發(fā)生性定義），而且兩個(gè)定義只有一字之差，因此類比法對(duì)學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容是最為有效的。教學(xué)如果只限于這種類比，那么就會(huì)失去培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的好機(jī)會(huì)了。事實(shí)上，我們既然清楚了這種定義的結(jié)構(gòu)，那么能不能對(duì)數(shù)列進(jìn)行引申呢？將定義中的“差”（“比”）改成“和”，我們稱之為“等和數(shù)列”，它的性質(zhì)會(huì)怎樣呢？是不是還可以產(chǎn)生等積數(shù)列呢？它的性質(zhì)又會(huì)怎么樣？這種訓(xùn)練思維的方式也正回應(yīng)了高考中考查概念的方式。4.教法無(wú)定類，學(xué)法有側(cè)重 概念也分主次，對(duì)一些次要概念，在不影響學(xué)習(xí)的情況下可適當(dāng)“弱化”，適當(dāng)?shù)我拍钍乾F(xiàn)代教學(xué)的一種趨勢(shì)。對(duì)于重要的概念，選擇的教法也應(yīng)該有所變化，可以是發(fā)現(xiàn)教學(xué)，可以是類比教學(xué)，可以是問(wèn)題教學(xué)……這有賴于教師在平時(shí)的教學(xué)中多思考、多積累。在高中的不同階段，概念的學(xué)習(xí)要有所側(cè)重：在講授新課的時(shí)候，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生慢慢形成概念；在復(fù)習(xí)階段，應(yīng)該通過(guò)概念的辨析和運(yùn)用，清晰概念的內(nèi)涵和外延，鞏固概念；在高三總復(fù)習(xí)階段，應(yīng)該側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生歸納概念，使概念系統(tǒng)化，并強(qiáng)調(diào)概念的運(yùn)用及蘊(yùn)含的思想方法。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)