定積分講義與例題解析

定積分及其用積分學(xué)的另一個基本概念是定積分．本章我們將闡明定積分的定義，它的基本性質(zhì)以及它的應(yīng)用．此外，我們要重點講述溝通微分法與積分法之間關(guān)系的微積分學(xué)基本定理，它把過去一直分開研究的微分和積分彼此互逆地聯(lián)系起來，成為一個有機(jī)的整體．最后，我們把定積分的概念加以推廣，簡要討論兩類廣義積分．定分概與質(zhì)1.

定積分定義我們先來研究兩個實際問題．例1

計算曲邊梯形的面積設(shè)yfx)為閉區(qū)間[]上的連續(xù)函數(shù)，且

f(x．由曲線f()，直線x,及x所圍成的平面圖形(圖6稱為f)[a,b]上的曲邊梯形，試求這曲邊梯形的面積．)o

x

i

i

x

i

x

b

圖6—1我們先來分析計算會遇到的困難．由于曲邊梯形的高f()是隨x變化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面積公式去計算它的面積．但我們可以用平行于y的直線將曲邊梯形細(xì)分為許多小曲邊梯形如圖—所示在每個小曲邊梯形以其底邊一點的函數(shù)值為高，得到相應(yīng)的小矩形，把所有這些小矩形的面積加起來，就得到原曲邊梯形面積的近似值．容易想象，把曲邊梯形分得越細(xì)，所得到的近似值就愈接近原曲邊梯形的面積，從而運用極限的思想就為曲邊梯形面積的計算提供了一種方法．下面我們分三步進(jìn)行具體討論：1

nn(1)分割nn

[a,b]中任意插分點x02

x

n

xn把[a,b]成n間[][]?[x01

n

,]為nii

i

i,

．(2)近似求和

在每個子區(qū)[xx](i,)上任取一，作和式iii

f

i

ii(3)取極限

當(dāng)上述分割越來越(分點越來越多，同時各個子區(qū)間的長度越來越小)時和式1.1)的值就越來越接曲邊梯形的面積(記因此當(dāng)最長的子區(qū)間的長度趨于零時，就有

f

i

．i例2

i求變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動，其速度時間t的連續(xù)函數(shù)t試求該物體從時刻到時t段時間內(nèi)所經(jīng)過的路．因v(變量，我們不能直接用時間乘速度來計算路程．但我們?nèi)钥梢杂妙愃朴谟嬎闱吿菪蚊娣e的方法與步驟來解決所述問題．(1)用分點012

n

bn把時間區(qū)[,]任意分n子區(qū)間(圖—：[t,][t,]，?t012

n

,t]．n每個子區(qū)間的長度ii

i

(i)o

at

t

t

t

t

b

t圖—(2)在每個子區(qū)[t,](i)上任取一，作和式iii2

nnnbnnnnbn

v

i

．ii(3)當(dāng)分點的個數(shù)無限地增加，最長的子區(qū)間的長度趨于零時就有

v

i

i

si以上兩個問題分別來自于幾何與物理中，兩者的性質(zhì)截然不同，但是確定它們的量所使用的數(shù)學(xué)方法是一樣的，即歸結(jié)為對某個量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限或者說都轉(zhuǎn)化為具有特定結(jié)構(gòu)的和式(1.1)的極限問題，在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有很多問題，如變力沿直線作功，物質(zhì)曲線的質(zhì)量、平均值、弧長等，都需要用類似的方法去解決，從而促使人們對這種和式的極限問題加以抽象的研究，由此產(chǎn)生了定積分的概念．定義6.1.1

設(shè)函數(shù)f(x)[a,b]有定義，(ab)內(nèi)任個分點x02

n

xn把[a,b]成n間[][]?[01

n

,]為nii

i

i,．在每個子區(qū)[xx](i,)上任取一稱為介iii點)，作和式

i

f

i

并i

[a,]樣劃分成子區(qū)間，也i1不論在子區(qū)[xx]上怎樣取介只要iii

0時和式(1.1)總趨于確定的I，則稱這極限值I為函數(shù)(x)在區(qū)[b]上的定積分，記作

f(x)，即a

f(xdxIlim

i

f

i

i

其中(x稱為被積函數(shù)x為積分變量[b]稱為積分區(qū)間分別稱為積分的下限和上限．關(guān)于定積分的定義，再強(qiáng)調(diào)說明幾點：(1)區(qū)[]劃分的細(xì)密程度不能僅由分點個數(shù)的多少或n大小來確定．因為盡管n很大，但每一個子區(qū)間的長度卻不一定很小．所以在求和式的極限時，必須要求最長的子區(qū)間的長

0，這時必然．(2)定義中的兩“任取意味著這是一種具有特定結(jié)構(gòu)的極限，它不同于第二章3

f(t)f(x講述的函數(shù)極限．盡管和(1.1)著f(t)f(x但

0卻都以唯一確定的值為極限．只有這時，我們才說定積分存在．(3)從定義可以推出定積分(1.2)存的必要條件是被積函數(shù)

f(x)[a,b]有界．因為如果不然，當(dāng)[,]任意劃分子區(qū)間后，f()至少在其中某一個子區(qū)間上無界．于是適當(dāng)選取介點，能使i

i

)的絕對值任意地大，也就是能使和式1.1)的絕對值任意大，從而不可能趨于某個確定的值．(4)由定義可知，當(dāng)fx)在區(qū)間[b]上的定積分存在時，它的值只與被積函數(shù)f(x以及積分區(qū)[a,]關(guān)，而與積分變量x無關(guān)，所以定積分的值不會因積分變量的改變而改變，即有

fx

f(u)．

(5)我們僅對的情形定義了積分

f(x，為了今后使用方便，對b與b的情況作如下補充規(guī)定：當(dāng)b，規(guī)定

fx)0

；當(dāng)時，規(guī)

a

f(x根據(jù)定積分的定義，我們說：1f()[ab]上的曲邊梯形的面積就是曲線的縱坐標(biāo)(x從b的定積分A

f(x．積意若f(x)則由f

i

)及可知i

fx)0曲邊梯形位軸的下方就認(rèn)為它的面積是負(fù)的當(dāng)()在區(qū)間[b]上的值有正有負(fù)時，定積分

f(x的值就是各個曲邊梯形面積的代數(shù)和，如圖63所示．y

)

圖6—34

[(x)gdxbnnbbnnb例2中物體從時刻a到時所經(jīng)過的路程就是速(t)在[(x)gdxbnnbbnnb

vt)．對應(yīng)于導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，我們也說它是定積分的力學(xué)意義．當(dāng)f(x)區(qū)[a,]上的定積分存在時，就稱(x)[b]上可積，說明(明：f(x[b]上可積的必要條件是f()[,]上有界．下面是函數(shù)可積的兩個充分條件，證明從略．定理6.1.1(1)若f(x)[b]上連續(xù)，則f()[ab]上可積．(2)若f(x)[b]上有界，且只有有限個間斷點，則(x)[b]上可積．2.定積分的本性質(zhì)定理6.1.2(積分線性性(1)若(x)[b]上可積為常數(shù)，(x[a,]上可積，且

kf(xdx()dx

(2)若(x)，(x)[b]上可積，則(x)g(x)[]上也可積，且

f(x

g(x．

證根據(jù)定義，有

a

kfxlimklimkiiiiii

a

f(xdx．所以(式成立．類似可證(式成立．定理更一般的結(jié)論是a

j

k

j

f()dxkjj

j

a

f()．j其中f()(j)[a,]可積k()(j)常數(shù)．jj定理6.1.3(積分對區(qū)間的加性)設(shè)f()是可積函數(shù)，則5

ffxn

fx())dx

c何順序都成立．

證

先考的情形由于f()[b]可積所以不論將區(qū)[ab]何劃分，介如何選取，和式的極限總是存在的．因此，我們始終作為一個分點，i并將和式分成兩部分：

fii

ff，iiii其,

分別為區(qū)[c][,b]上的和式最長的小區(qū)間的長

0上式兩邊取極限，即得(1.5)．對于其它順序，例c，有

fx

fx)dx，

所以

fx()()dx

f(x)

f(x)式仍成立．定理6.1.4(積分不等式質(zhì))若f)，(x)[ab]上可積，且f()g()則

f(x)

g(x)

證

g(x

f(x

[x)(x)]dx

lim[g()f．iiii由假設(shè)知g)f()0ii從而有

，且

(in)，所以上式右邊的極限值為非負(fù)，i

g(x)()式成立．從定理刻推出

6

f(x)dx推論6.1.1f(x)dx

若(x)[a,b]上可積，且()，則

fx)0．推論6.1.2(積分估值)x[a,]f(x)M，則

若f(x)[a,]上可積，且存在常數(shù)mM，使對一切m(b)

f(xM()．推論6.1.3

若f()[,b]上可積，則f(x)[b]上也可積，且

b

f(dx．這里f)[a,b]上的可積性可由f()的可積性推出，其證明省略．推論(嚴(yán)格等式)f(x0則

設(shè)(x)[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若[,]上f(x)0且

fx)0．證

由假設(shè)知，存在x(,)使f(x)根據(jù)(x)的連續(xù)性，必存在x的鄰000(0

,x0

)[]，使在其中f(x

f(x)0

，從而有

b

x)dx

x

x)dx

x

(x)dx

b

(x)dxa

a

x

x

xx

f(x)dx

f(x)0

)00

，所以結(jié)論成立．定理6.1.5(積分中值定理若(x)[b]連續(xù)，則[b]至少存在一使得

f(x

)(b．

證

因為f(x)[a,]上連續(xù)，所以()[,]上可積，且有小和最大值M．于是[,]上，m(b)

f(x)M()，7

b或bm

ba

ba

M．根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，上至少存在一點，使ba

b

所以(成立．積分中值定理的幾何意義如圖—4所示．yyf(x)

a

b

圖6—4若上續(xù)且非負(fù)，則上的曲邊梯形面積等于與該曲邊梯形同底

ba

b

為高的矩形面積常把

ba

ba

稱為函數(shù)上的積分均值，而這正是算術(shù)平均值概念的推廣．定理的積分中定理)若上連續(xù)g(x)上不變號，則上至少存在一點，使得ba

a

(1.8)證

不妨設(shè)上0，則

b

，且上amgMg，其m分別為的最小值與最大值．由此推出m

bbbaaa

．若

ba

則由上式知8

bbbbxbbbbx

f(xx)dx0從而[,]上任取一點作式都成立．若

(x)，則得m

a

f()gxdx)

M．a(chǎn)按連續(xù)函數(shù)的介值定理推出，[a,]上至少存在一使a

f()(x)dx)

(

)a所以(式也成立．微分的本理基公若已知(x)[b]的定積分存在怎樣計算這個積分值呢？如果利用定積分的定義，由于需要計算一個和式的極限，可以想象，即使是很簡單的被積函數(shù)，那也是十分困難的．本節(jié)將通過揭示微分和積分的關(guān)系，引出一個簡捷的定積分的計算公式．

微積分基本定理1.設(shè)函數(shù)(x)在區(qū)[b]上可積，則[a]的每個x，f(x)[a]上的定積分ft)dx存在，也就是說有唯一確定的積分值與x對應(yīng)，從而[,b]上定義了一個新的函數(shù)，它是上限x的函數(shù)，記(，即)()，[]．這個積分通常稱為變上限積分．定理6.2.1

設(shè)(x)[a]上可積，x)

f(t)[,]的連續(xù)函數(shù)．證

任取xa,]，使a]．根據(jù)積分對區(qū)間的可加性，x)

f(t)f(t

f(t)于f(x)在[a,]而有在M0對一切x[a,]有f(x，于是9

(x)

f()dt．故當(dāng)0時有)0．所以(x在連續(xù)，由x[a,]的任意性即知x)[a,b]上的連續(xù)函數(shù)．定理6.2.2(原函存在定)設(shè)(x)[,b]上連續(xù)，)(t[,b]上可導(dǎo)，且f(x)，x,]，也就是(x)是()[,b]的一個原函數(shù)．證

任取xa,]使ab]應(yīng)用積分對區(qū)間的可加性及積分中值定理，有x)

ft)(

，或

f(x

)，

(0

．

由于(x[,]上續(xù)，limf0故在(中0極限，得

f()．f()．所(x[ab]上可導(dǎo)f()由a,]任意性推x是()在[a,b]上的一個原函數(shù)．本定理回答了我們自第五章以來一直關(guān)心的原函數(shù)的存在問題．它明確地告訴我們：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，并以變上限積分的形式具體地給出了連續(xù)函數(shù)fx)一個原函數(shù)．回顧微分與不定積分先后作用的結(jié)果可能相差一個常數(shù)這里若f(x)寫成ddx

a

ft)dtf)或從dx)()推得10

t)(t)x，

就明顯看出微分和變上限積分確為一對互逆的運算．從而使得微分和積分這兩個看似互不相干的概念彼此互逆地聯(lián)系起來，組成一個有機(jī)的整體．因此定6.2.2也被稱為微積分學(xué)基本定理．推論6.2.1設(shè)()為續(xù)函數(shù)，且存在復(fù)合f[皆為可導(dǎo)函數(shù)，則

()]與f[()]，其x，)ddx

x)()

f(t)dtf[x[x)]

證加性，有

x)f(t)dt，a為f(x)連續(xù)區(qū)間內(nèi)取定的點．根據(jù)積分對區(qū)間的可

()

dt

x

)

x)

(t)x)

a

ax)])]由于f(x)續(xù)，所為可導(dǎo)函數(shù)，x)和)皆可導(dǎo)，故按復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t，就有ddx

x)()

f(t)dtf[x)][x．所以(式成立．例

證明：若(x)(續(xù)，且滿足(x)

ft)dt，則f()．證由假設(shè)知()

ft)dt(，且

f(x)．令F)fx)e，x則F

f()e

．所以F()(由于F(0)f可得F(x)0從而有f)F()

x

0，(11

11例

lim

cosxx

．解應(yīng)用洛比達(dá)法則，原limx0

x(cosx)2

sin1limexx0x2

．2.牛頓——布尼茲式定理6.2.3設(shè)()[a,]上連續(xù)，F(xiàn)()(x)[,b]上的一個原函數(shù)，則

fxF(bF(a)

證

根據(jù)微積分學(xué)基本定理，(t)dt是(x)[,b]上的一個原函數(shù)因為兩個原函數(shù)之差是一個常數(shù)，所以

f(t)dtF(C

，

xa,b]．上式中令()，于是

ft)Fx)F(a)

．再令xb，即得(式．在使用上，公式(2.3)也常寫作

f(x(x)]b，或

fxF(x

．公式(就是著名的牛頓——萊布尼茲公式簡稱N—L公式它進(jìn)一步揭示了定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系：f(x)[a,]上的定積分等于它的任一原函數(shù)(x)[,]上的增量，從而為我們計算定積分開辟了一條新的途徑．它把定積分的計算轉(zhuǎn)化為求它的被積函數(shù)(x的任意一個原函數(shù)，或者說轉(zhuǎn)化為求(x)的不定積分．在這之前，我們只會從定積分的定義去求定積分的值，那是十分困難的，甚至是不可能的．因此N—L公式也被稱為微積分學(xué)基本公式．例3

計算下列定積分(1)

x4

；

(2)

0

3a

dxa2

(a；(3)

2dx；

(4)

2

．

12

3131解

(1)原(4)

20

．1x(2)原式arctana

0

1arctana

3

a

．x(3)原式2ln(1221[2ln(12)]．2

2

0(4)原

2

(x)

x

x

2

．00例4設(shè)f(x)31x

，

f(x)解

f(x

(

dx

(3)

x1x)．0231定分換積法部積法有了牛頓——萊布尼茲公式，使人感到有關(guān)定積分的計算問題已經(jīng)完全解決．但是能計算與計算是否簡便相比，后者則提出更高的要求．在定積分的計算中，除了應(yīng)用N—L公式，我們還可以利用它的一些特有性質(zhì)，如定積分的值與積分變量無關(guān)，積分對區(qū)間的可加性等，所以與不定積分相比，使用定積分的換元積分法與分布積分法會更加方便．1.

定積分換元積分法定理6.3.1

設(shè)函數(shù)(x)[a]上連續(xù)

(t)在I(I

[

)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，并

a

(t)(I)則

f(x[

證

由于(x)ft)]皆為連續(xù)數(shù)所以它們存在原函數(shù)F()是f(x)數(shù)，由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t有13

01sint301sint3([t)])

(x)f[，可見F

()]是t)]一個原函數(shù)．利用N—L公式，即得

f[)])]

F[

(bF)

f(x)所以(式成立．公式(稱為定積分的換元公式若從左到右使用公式(代入換元)換元時應(yīng)注意同時換積分限．還要求換

(t)在單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行．當(dāng)找到新變量的原函數(shù)后不必代回原變量而直接用—L公式，這正是定積分換元法的簡便之處．若從右到左使用公式(湊微分換元)，則如同不定積分第一換元法可以不必?fù)Q元，當(dāng)然也就不必?fù)Q積分限．例1

計算下列定積分(1)

1

dx1

；

(2)

x1

dx(3)

cos5sindx；

(4)

sinxdx．解

0(1)令1則

1，dt，且t0變到時，從1減23到．于是4原

tt

2

0

(1)dtt2t

ln2．(2)令xsint則t，且t從變到

1時，從增到．于是2原0

sintcost

ttdt0．120(3)原式

cos0

5

d

cos6

1．60(4)原

xdx

x(cosx)dx0

xdsin

xdsin

14

fx)afx)a例2

224．5設(shè)(x)[]上連續(xù)，證明：

f(x

f(x)．

特別當(dāng)(x為奇函數(shù)時

f(x；當(dāng)(x為偶函數(shù)時，

f(x(x．

證：因為

fx)

a

fx)，

fx中得

f(x))．

0所以

f(x)

[fx)f)]dx．

當(dāng)(x)為奇函數(shù)時，()(，故f(xf()從而有

f(x．當(dāng)(x)為偶函數(shù)時，()f()故(xf()f()，從而有

f(x

f(x)．

例3設(shè)fx)[0,1]的連續(xù)函數(shù)，證明：(1)

f(sindxdx；0

0(2)

f(sin2

fxdx0

0(3)

xf(sindx

f0

0證：(1)令

2

，且t從變到

時，x從2

減到．于是

f(sindx[(sin)]

f(cost)dt

f(cosdx．015

(2)

f(sinx)

f(sinx)

f(sin)，在

fx中，令x

，得

fx)

f[(sin

)](sint)dt

fx)．0所以0

f(sinf(sin)．0(3)令x則

xf(sinxdx

)f)]

)f(sint)

))

．所以0

xdx

2

0

fxdx

(sinx)dx(利用(2)的結(jié)果)．0例2例3的結(jié)果今后經(jīng)常作為公式使用．例如我們可以直接寫出

x

cod，

xsinxdx

0

02.定積分的部積分定理6.3.2(x(x)[ab]上連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則

u(x)

dx((x)

v()．

證

因為[u()v()]x)

v()，所(x(x)u(x)v

v()[ab]上的一個原函數(shù)，應(yīng)用N—L公式，得

[u()vv(x)]()vx

，利用積分的線性性質(zhì)并移項即得(3.2)式．公式(稱為定積分的分部積分公式，且簡單地寫作

udv

v

16

1e例4計算下列定積分：1e(1)

arcsinxdx；

(2)

e

lnxdx；0

(3)

exxdx；

(4)

edx．0

解

(1)原式xx

0

0

x1

2

dx1arcsin122

2

0

12

32

(2)原式

e

(x)

e

lnxdx

1ln12(1)．e

ln

e1

1

(3)

0

xxdxxx0

0

xdx0

x

e

x

xdx．0所以

e0

1sixd(．2(4)令x則

ex

e

t

e

0

42．e例

(1)證明

n

(

；0

0(2)求I

n

0

n

(

)值．0解

由例3(1)即知成立．(2)當(dāng)I

n

0

n

xdx

n

xxn0

0

n

x

2

xdx17

1212n(1sindx0I

n

nI

n所以In

(n

I．n于是為奇數(shù)時有In

n4；n5為偶數(shù)時有In

nn．nn4容易得出I2

sin，I102xdx．0440所以為正奇數(shù)；nnIn,n為正偶數(shù)．n44公式(稱為沃利斯(積分公式，它在定積分的計算中經(jīng)常被應(yīng)用．

例6

求

xsin

的值．解

J

10

0

10

xdx

9104

35260

．

廣積我們在前面討論定積分時，總假定積分區(qū)間是有限的，被積函數(shù)是有界的．但在理論上或?qū)嶋H問題中往往需要討論積分區(qū)間無限或被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形．因此我們有必要把積分概念就這兩種情形加以推廣，這種推廣后的積分稱為廣義積分．18

b1b111.b1b11

無窮限廣義積分定義6.4.1可積，則稱形式

設(shè)函數(shù)f(x)[a上有定義且對任何實bf()[,b]上

f(x)

為函數(shù)(x[,上的廣義積分．若極限lim

b

f(x)dx

()

b存在，則稱廣義積分(4.1)收斂，并以這極限值為(的值，即

f(x)dxlim

b

fx)．a(chǎn)

b若極限(4.2)不存在，則稱廣義積分發(fā)散．由定義可知，我們討論廣義積分4.1)的斂散性，其含義就是考察變上限積分F(b)

fx)

(b)b極限是否存在．例1討論廣義積2解任，有

1的斂散性．xxF()sinx1cos，xb因為F(blimcosbb所以這廣義積分收斂，且

1b

，

11．x若(x)[上非負(fù)，且廣義積分(4.1)收斂，則積(值從幾何上解釋為由曲線yf()與x及x軸所圍向右無限延伸區(qū)域的面積(圖65陰影部分)．

a圖—19

dxdx00btde1類似地利dxdx00btde1lim

b

f(x)dx

(a)定義廣義積

af(x)dx的斂散性．廣義積分f()定義為

f(x

f(x

f(x)

其中a為任一有限實數(shù)．它當(dāng)且僅當(dāng)右邊的兩廣義積分皆收斂時才收斂，否則是發(fā)散的．根據(jù)積分對區(qū)間的可加性，易知(4.3)左邊的廣義積分的斂散及收斂時積分的值都與實a的選取無關(guān)．例2計算廣義積分

2

的值．解

2

dx11

2

lima

dx1

2

limb0

dx1

2limarctana(arctan))ab2為了書寫的統(tǒng)一與簡便，以后在廣義積分的討論中，我們也引用定積分也稱常義積分)—L公式的記法．如例可寫成

2

arctanx例3

計算廣義積tedt(p解0

tedt

t0

0

e01ep

0

1p2例4證

證明廣義積分1當(dāng)p時，

dxx

當(dāng)時收斂，當(dāng)時發(fā)散．dxdxln1xp1x1當(dāng)，

1

1xx1p

1

1

pp

．20

baaabaaa所以此廣義積分當(dāng)p收斂，其值為無界函的廣義積分2.

p

；當(dāng)時發(fā)散．定理6.4.2

設(shè)(x)(,b]有定義，而的右鄰域內(nèi)無界．若對任何正f(x[

b]上可，則稱形式

f(x)．

為(x(ab]上廣義積分．若極限lim

b

f(x)dx，

a存在，則稱廣義積分(4.4)收斂，并以這極限值為它的值，即

b

f(x)dxlim

b

f(x)dx．a(chǎn)

0若極限(4.5)不存在，則稱廣義積分發(fā)散．與無窮限廣義積分一樣，記號4.4)的含義是指考察變下限積分F

)

fx，

b

0

時的極限情形．這里a稱為函數(shù)f()瑕點，因此無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分．同樣也利用極限lim

b

fx)dx

0

a來定b為瑕點的廣義積分的斂散性．若(x)的瑕c在閉區(qū)[]的內(nèi)部，ac，則廣義積

f(x)定義為

fx)()dx(x)

c它當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個積分都收斂時才收斂，否則左邊的廣義積分發(fā)散．例5

計算廣義積分0

dxa2

(a0)．解

xa為函數(shù)

a

122

的瑕點．0

dxa22

lim

dxa

xlim[arcsin]a

a021

111111f()f(a111111f()f(a)arcsinarcsin1．a(chǎn)2例6

討論廣義積

dxx

的斂散性．解

x為函數(shù)

1x

的瑕點．由于lim

2

11limx所以廣義積分

dxx

發(fā)散，從而推出廣義積分

dxx

發(fā)散．注意，如果我們疏忽了是瑕點，就會得出錯誤的結(jié)果：

2

1

例7證

證明廣義積q，

dxxq

當(dāng)收斂，發(fā)散．0

dxdxlnxxqx0時，

1dx1,q

．所以這廣義積分q時收斂，其值為

11

，當(dāng)q時發(fā)散．3.兩種廣義分的聯(lián)任何無界函數(shù)的廣義積分都可以化為無窮限廣義積分．設(shè)(x)(ab]內(nèi)任何閉區(qū)間上都可積瑕點，則

b

fx)lim

b

f(x)．a(chǎn)

a若u

1x

，就有其)

bau2111f()k．于是u2ub

b

(x)dxlim

)

)du，a

kk這時上式右邊是無窮限廣義積分．22

bb111同樣，對于無窮限廣義積bb111a

fx)limba

f(x)，只要

ax

，就有a

f()

1

aaf()duuu

du，于是

f()

du．其中(u

aaaf()u0是它的瑕點，即上式右邊為無界函數(shù)的廣義積分．uu6.5定分應(yīng)定積分是具有特定結(jié)構(gòu)的和式的極限．如果從實際問題中產(chǎn)生的量幾何量或物理量)在某區(qū)[a,b]上確定，當(dāng)[,]分成若干個子區(qū)間后，[b]上的量Q等于各個子區(qū)間上所對應(yīng)的部分和(稱量對區(qū)間具有可加性們就可以采分割、近似求和、取極限”的方法，通過定積分將量求出．現(xiàn)在我們來簡化這個過程在區(qū)[a,]上任取一有增(等于它的微分dx)，相應(yīng)地量()就有增，它是Q分布在子區(qū)[,x]上的部分量．的近似表達(dá)式為f(x)dxdQ，則以()dx為被積表達(dá)式求ab的定積分．即得所求量Q

f(x)這里dQ(x)稱為量的微元元素這種方法稱為微元法雖然不夠嚴(yán)密，但具有直觀單便等特點結(jié)論正確此在實際問題的討論中常常被采用節(jié)我們將講述微元法在幾何與物理兩方面的應(yīng)用．1.平面圖形面積1)直角坐標(biāo)的面積公式根據(jù)定積分的幾何意義f)是區(qū)[b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)(x)[b]上的曲邊梯形(圖6—1)的面積為23

A()若(x)[b]不都是非負(fù)的(圖6，則所圍面積為

A

f(xdx．

一般地，若函數(shù)(x)和()[a,]連續(xù)且總有(x)f(x)，則由兩條連續(xù)2曲線yf(x)，f(x)與兩條直線，圍的平面圖(6—6)的面積元素為f(x)(x)]．所以A

[f(x)f(x．

f(x2o

x

如果連續(xù)曲線的方程為

f(x)1圖6—6(y)0)則由它與直線yc，yd(cd)y軸所圍成的平面圖形(圖—的面積元素為)dy．所以A

()dy．

y

x

(y)o圖6—724

844y3aa其它情形也容易寫出與公式(、844y3aa例1

求由兩條拋物線y

2

x，y

2

所圍圖形圖6—的面積．解

聯(lián)立

y2xy2

x

解得

y

xx及x．所圍的面積為(23．33

o

圖6—8

例2解

求由拋物線聯(lián)立

2

與直線yx所圍圖形(圖—9)的面積．

y2y

yx解得曲線與直線的交點(2,(8,4)．

o

以為積分變量，則所求面積為

2A

2x2x)dx

24)dx

圖6—92x

20

218．22若以y為積分變量，則A(yy．2從例2出，適當(dāng)選取積分變量，會給計算帶來方便．例3解4．

2求橢圓的面積(圖6—．a(chǎn)b由于橢圓關(guān)于x軸與y軸都是對稱的它的面積是位于第一象限內(nèi)面積的0

ba

a2dx25

atat4bax2arcsin20在例3，若寫出橢圓的參數(shù)方程

．

xacsyi

)，

ax應(yīng)用換元公式得A4sint(sint)dt4ab2tdt4

4

．

圖6—一般地，若曲線由參數(shù)方程x),)(給出，其中),t)

上連續(xù)，a,

，則由此曲線與兩直線x及軸圍圖形的面積為A

t)

．

例4

求由擺線xtsint),y(1cos的一(0橫軸所圍圖形(圖6—11)的面積．

解

Aa(1costt)

2

20

2i)(令2

t2

)

2aa

20

4

20

oxa

2

34

2

．圖6—2)極坐標(biāo)的面積公式設(shè)圍成平面圖形的一條曲邊由極坐標(biāo)方程r(

給出，其r(

)

上連續(xù)曲rr

)與兩條射線

所圍成的圖形稱為曲邊扇形(圖—．試求這曲邊扇形的面積．26

212212rr

)

d

圖6—應(yīng)用微元法．取極角為積分變量，其變化區(qū)間為[

相應(yīng)于任一子區(qū)間[

的小曲邊扇形面積近似于半徑為r

)，中心為d

的圓扇形面積．從而得曲邊扇形的面積元素dA

12

r(所求面積為

12

r

例

求心形ra(1

)所圍圖形(圖—的面積．解

利用對稱性，所求面積為A

a

2

0a

20

4si

2

d

令)2

o

a

20

tdta

2

33442

2

．例6

求由兩曲r

r

cos2

圖6—所圍圖形(圖6—14)的面積解

聯(lián)立i25解得，．66利用對稱性，所求面積為

r

sinr2cos2

圖6—27

(

2d

1cos2d2

i1si4

6

12

．2.立體體積1)已知平行截面面積的立體體積設(shè)空間某立體夾在垂直于軸的兩平面x，()之間(圖6—15)ox

x

圖6—15以Ax示(x)，且垂直于軸的截面面積．(x)已知的連續(xù)函數(shù)，則相應(yīng)[a]的任一子區(qū)[x,]的薄片的體積近似于底面積為()，高dx的柱體體積．從而得這立體的體積元素A)所求體積為VA)dx．

例7

設(shè)有一截錐體高h(yuǎn)下底均為橢圓圓的軸長分別為2，B，求這截錐體的體積．解取截錐體的中心線t軸圖6—，即t為積分變量，其

o

t變化區(qū)間[]．[]上任取一tt且垂直t軸的截面面積記．容易算出

圖6—28

hxah所以這截錐體的體積為

Bt，t．hh

0

(

Bt)(bt)dth

6

[ab)]．2)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體是一類特殊的已知平行截面面積的立體，容易導(dǎo)出它的計算公式．例如由連續(xù)曲線y)，x[a,]繞軸轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體(圖17)．由于過x),垂直于軸截面是半徑等于()的圓，截面面積為()

f

(x)所以這旋轉(zhuǎn)體的體積為V

f

(x)dx．

f()oax

類似地，由連續(xù)曲線

圖6—17(),y,]繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V

()．

例8求底面半徑r，高的正圓錐體的體積．r解這圓錐體可看作由直線x，xh]繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成圖6—18)，所h以體積

h0

r2xdx3

h0

r

2

．y

rh

x

圖—

29

a．243a．243例9求由橢圓

2繞x軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積．a(chǎn)b解這個旋轉(zhuǎn)橢球體可看作由半個橢圓y

ba

a繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成．所以它的體積V

(2)dx(a2)dx2a034特別時得半徑r的球體體積3．球3.平面曲線弧長設(shè)有一曲線弧段，它的方程是yx)，a,]如果(x[,]上連續(xù)的導(dǎo)數(shù)則稱弧段AB是光滑的試求這段光滑曲線的長度．應(yīng)用定積分，即采用“分割、近似求和、取極限”的方法，可以證明：光滑曲線弧段是可求長的．從而保證我們能用簡化的方法，即微元法，來導(dǎo)出計算弧長的公式．如圖6—19所示，為積分變量，其變化區(qū)間為[a]相應(yīng)于[,]任一子區(qū)[,x]的一段弧的長度，可以用曲線在點(f())處切線上相應(yīng)的一直線段的長度來近似代替，這直線段的長度為()2dy)21y于是得弧長元素(也稱弧微分)ds

2

dx因此所求的弧長為

1

．

(5.10)

f(x)

ax

圖—30

2sindt．2sindt若弧段AB由參數(shù)2sindt．2sindt

xx(t)yy(

t

給出，其中x(ty(t)

有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且[

)]

2

)]

2

0．則弧長素，即微弧分為ds[

2

2dt，所以

[

)]

)]

．

(5.11)若弧段AB由極坐標(biāo)方程r(

)，

]給出，其r(

)

]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則應(yīng)用極坐標(biāo)xrcos

rsin

可得x

y

cos

利用公式(推出例

．r2r求懸鏈線yx到那一段的弧長(圖—．2

(5.12)解

x

2

代入公式(5.10)，

1

a0

x

dx

a

．

o圖6—

a

例在擺線x(tt，ycost)上求分?jǐn)[線第一拱(圖6—11)1:3的點的坐標(biāo)．解

t

時，點的坐(x(

),y(

))分?jǐn)[線第一拱成1:3．由于弧微分a

2

t)

2

2

2

ttdt2，2由公式(5.11)可得3

0

tt2231

解得

1，所．隨之有223x

)a，y(3

)

a2

．所求的點的坐標(biāo)((

3)a,a3例12

求阿基米德(Archimede)螺ra

(相應(yīng)于從0的段(6—21)的弧長．解r

ds(

2

2

a

代入公式(5.12)，

ras

a

d1ln(

)

2

圖6—4.

112變力沿線所作的功

)]．從物理學(xué)知道，若物體在作直線運動的過程中一直受與運動方向一致的常力F的作用，則當(dāng)物體有位移，力F所作的功為Fs現(xiàn)在我們來考慮變力沿直線作功問題．設(shè)某物體在力F的作用下沿x軸a動(圖—并設(shè)力F平行于軸且是x連續(xù)函數(shù)F(x)相應(yīng)[a]的任一子區(qū)[,x]我們可以()看作是物體經(jīng)過這一子區(qū)間時所受的力．因此功元素為dW(x)．所以當(dāng)物體沿x軸移動，作用在其上的力F(x)所作的功為(x)dx．F

(5.13)o

x

b

圖6—2232

1例1

用鐵錘將鐵釘擊入木板．設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板1，如果鐵錘每次打擊鐵釘所作的功相等，問錘擊第二次時，鐵釘又擊入多少？解

設(shè)鐵釘擊入木板的深度為，所受阻力fkx

(為比例常數(shù))鐵錘第一次將鐵釘擊入木板1cm，所作的功為

0

k

k2

．由于第二次錘擊鐵釘所作的功與第一次相等，故有1

kktd．2其中x為兩錘共將鐵釘擊入木板的深度．上式即k(x2．2解得x2，所以第二錘將鐵釘擊入木板的深度為．例

有一圓柱形大蓄水池，直徑為20米，高為30米，池中盛水半滿(即水深15)．求將水從池口全部抽出所作的功．解

建立坐標(biāo)系如圖—23所示．水深區(qū)間為[．相應(yīng)于[15,30]的任一子區(qū)[,x]水層，其高度，水的比重為千牛，所以功元素為odWxdx980．從而所作的功為

W

980

3015

x1036985(千焦．

圖6—定積分在物理中的應(yīng)用十分廣泛，如在計算物體的質(zhì)量、靜力矩與重心、液體壓力質(zhì)點的引力等問題可以應(yīng)用微元法予以分析處理種實例是不勝枚舉的要的是通過學(xué)習(xí)，使我們能熟練地運用這種方法，以不變應(yīng)萬變．33

bbsinxt習(xí)題六bbsinxt利定積分的幾何意義，說明下列各等式成立：

kdxk(

(k為常)

；

a

x

12

2)

(a)

；

a

a

2

2

dx

4

a

2

(a

．設(shè)體以速度

(a數(shù))

作直線運動，求物體從靜止開始經(jīng)過時間

T

以后所走過的路程．利定積分定義計算下列積分：

x

dx

；

e

dx

．比下列各對積分的大?。?/p>

xdx

和

x

dx

；

e

和

xdx

；

lndx

和

e

xdx

；

xdx

和

)dx

．

證下列不等式：

e；20221；

dxsinxx．0x2

；設(shè)

f(x

在

[a]

上連續(xù)證若

[a]

上，

f(x0

且

fx)0

則在

[a]上

f(x0

．解列各題：設(shè)