數(shù)值分析復(fù)習(xí)提要(6-1)

/提綱

1、高斯消去法、全選主元消去法、列選主元消去法、LU分解、對(duì)稱矩陣的分解，對(duì)稱正定矩陣的分解，三對(duì)角陣的追趕法。?2、向量空間距離的概念（向量范數(shù)、矩陣范數(shù))、譜半徑?3、解線性方程組的迭代方法:Ｊacｏbi迭代、Gauss-Sｅidｅl迭代方法,及其收斂性

４、求最大(?。┨卣髦档膬绶ㄅc反冪法要點(diǎn)?１、對(duì)于線性方程組?

如果的所有順序主子式，則高斯消去法可以完成。其過程如下?將方程組的第一行乘加到第，消去中除了第一行之外的第一列元素,得到

其中??得到一個(gè)等價(jià)的方程組?將方程組的第二行乘加到第,消去中除了第一、二行之外的第二列元素，得到

?其中

依此類推,可以得到一般的表達(dá)式??如果只滿足,那么就得在消去之前調(diào)整元素的大小，將絕對(duì)值最大的元素做為消去除法中的分母。即要保證,這樣得到的方法稱為全選主元素方法，為了減小選擇主元過程的運(yùn)算量,只保證，這樣得到的方法稱為列選主元方法。

２、三角分解,設(shè)為階矩陣，如果的順序主子式,則可唯一分解為一個(gè)單位下三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣的乘積,且這種分解是唯一的。即?

其中?

?于是原來的方程組可以寫成??令，則求解原方程組可分兩步完成，首先由求出,這只要

?再?gòu)?，求出，這只要?

３、對(duì)稱正定矩陣的三解分解（也稱Cｈolｅｓky分解）如果為階對(duì)稱正定矩陣,則存在一個(gè)實(shí)的非奇異下三角陣使，當(dāng)限定的對(duì)角元素為正時(shí),這種分解是唯一的.即??其中。于是解線性方程組可以能過以下三個(gè)步驟完成?（1）計(jì)算,這只要對(duì)，計(jì)算?

(2)令，對(duì)求出，這只要

?（3）對(duì),求出，這只要??４、為了避免上面計(jì)算時(shí)的開方運(yùn)算，可以將原來的算法改成

，這種分解對(duì)于所有的對(duì)稱矩陣都是成立的。顯然對(duì)于對(duì)稱正定矩陣也是成立的。其過程可以寫為

其中?

方程組求解過程：

?5、追趕法，如果方程組中的是一個(gè)三對(duì)角陣,即?

則它的ＬU分解為?

其中

原方程的求解過程為:令,??注:這樣的方程有唯一解,且數(shù)值穩(wěn)定的一個(gè)充分條件是是對(duì)角占優(yōu)的。

６、向量、矩陣的范數(shù)

（１）向量的－范數(shù):

（2)向量的１－范數(shù)：

（3）向量的2—范數(shù):

(4）矩陣的算子范數(shù)：

(5）矩陣的－范數(shù)：，也稱行和范數(shù)

（６)矩陣的１－范數(shù):，也稱列和范數(shù)?(７）矩陣的２—范數(shù)：，為矩陣的最大特征值。

７、譜半徑:;注意譜半徑一些重要結(jié)論：?（1)譜半徑,是的任意范數(shù)的下界;

（2)若，則

（３)設(shè)，則的充分必要條件是

8、將寫成等價(jià)的形式，如果則，對(duì)，做迭代

得到的向量序列在范數(shù)意義下有極限,且，即.選擇不同的等價(jià)表達(dá)式可以得到不同的迭代格式。其中最簡(jiǎn)單的兩種是Ｊａcobi迭代與Gaｕss—Ｓeidel迭代。?9、Jacobｉ迭代?將方程組寫成

?從第ｉ個(gè)方程解出，即

?對(duì)應(yīng)的迭代格式為：??寫成矩陣形式就有?

為了得到更直觀的表達(dá)式，將寫為??于是?

稱為Ｊａｃobi迭代矩陣，其收斂的充公必要條件是

9、Gaｕsｓ-Seidel迭代?其原理是在Jacｏbi迭代的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來的。其分量形式可以寫為?

寫成矩陣形式為:

?這里的B稱為Gauss—Seｉdel迭代矩陣，其收斂的充分必要條件是。?１0、驗(yàn)證迭代過程收斂性的兩種重要手段:

因?yàn)?，雖然可以驗(yàn)證迭代矩陣的譜半徑與１的大小的關(guān)系來判斷迭代過程的收斂性，但由于譜半徑的計(jì)算并非一件容易的事情,這里有兩個(gè)判斷迭代收斂性的充分但不必要條件：?(1)若迭代矩陣的某種范數(shù)小于１,那么迭代是收斂的（注：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生要求掌握它的證明過程）

（2)若線性方程組系數(shù)矩陣是對(duì)角占優(yōu)的,那么Jａcobｉ迭代與Gａuｓs—Seidel迭代都是收斂的。?(３）若線性方程組系數(shù)矩陣是弱對(duì)角占優(yōu)，且不可約的，那么Jaｃobｉ迭代與Gausｓ-Seidｅl迭代都是收斂的。(選讀）示例?１、用Ｇauss消去法、全選主元方法、列選主元方法求解方程組

?解:（１）用Gauss消去法求解

第一行乘加到第二行，第一行乘加到第三行,可以得到

?第二行乘6加到第三行，可以得到

從第3行求出，從第二行求出,從第一行求出

(2)用全選主元方法

將方程組寫成矩陣方式有?

在矩陣中找到絕對(duì)值最大者，將交換到所在的位置，可得?

對(duì)應(yīng)用Gauss消去過程，??再做一次消去法,得

?解得?

請(qǐng)同學(xué)們自行演算下面兩題?（1）用Gauss全選主元方法求下列方程組的解:

，參考解：

（２)用列選主元法求矩陣?

的行列式。參考答案：?２、用ＬU分解的方法求下列兩個(gè)方程組的解

與?解：由于兩個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是一樣的。把上面的兩個(gè)線性方程組寫為：??其中?

作的LU分解，有?

其中

?所以

令可以求得??令可以求得??注：LU分解的最大的好處在于求解的方程組序列,只要做一次LU分解，然后多次回代計(jì)算即可求解。要注意掌握.?３、求解線性方程組

?解：（1)用Gaｕss消去法可以不用交換行與列,參照前面的例子,自己演算。

(２）把它寫成矩陣的形式有??顯然它是對(duì)稱的,容易計(jì)算它的三個(gè)順序主子式??所以是一個(gè)對(duì)稱正定的。故可以分解為

用兩個(gè)矩陣相乘比較對(duì)應(yīng)元素的方法，可以求得L中的各個(gè)元素（具體過程,請(qǐng)同學(xué)們自己演算）：

令求得

（３）也可以分解為?容易計(jì)算

?由求得?由求得

注：在解答過程中，演算過程要體現(xiàn)。

４、用追趕法求解如下三對(duì)角方程組:

解:設(shè)?

由兩矩陣乘積比較對(duì)應(yīng)元素，可計(jì)算出兩個(gè)矩陣的各個(gè)元素?

求解

?得

再求解

?得?５、證明用Ｊaｃｏbi迭代求下列方程組必收斂，并取，計(jì)算它的前５個(gè)近似解

?解：Jaｃobi迭代的矩陣為??由于，故迭代收斂，前五個(gè)迭代計(jì)算結(jié)果如下：?0。2０00０。13０00.46６7?0。２１９３0.13６7０。４867

0．22４70.14250.４97６?0。2２８００．1４470.5032

0.2２96０.１459０。5058?參考真值為：０。2３110.1４７1０.5084?6、利用Gａuss－Sｅｉdeｌ迭代求解下列方程組，并討論收斂性??解：由Gauss—Ｓeiｄel迭代矩陣??因?yàn)?，所以G－S迭代收斂。迭代公式為

請(qǐng)大家取自行計(jì)算它的前五個(gè)迭代結(jié)果。并與參考真值比較。

7、考察Jacobi迭代與Ｇａusｓ—Ｓeidel迭代求解方程組

?的收斂性?解:對(duì)于此方程組，寫成矩陣形式為

對(duì)于此方程組,Jaｃｏｂi迭代的迭代矩陣為

?其特征多項(xiàng)式為

?于是它的特征值為。故，說明Ｊacoｂi迭代不收斂。?對(duì)于此方程組的Gauss—Ｓｅideｌ迭代矩陣為

?其特征值為,故，所以G－S迭代收斂。

注：要充分理解收斂的判斷條件,在求解線性方程組的時(shí)候要充分利用方程組的特征.?８、如果有線性方程組的系數(shù)矩陣為??討論用Ｊａcｏbi迭代與Ｇauss-Seidel迭代求解線性方程組的收斂性，選擇收斂速度最快的一種迭代格式。?解題提示:分別求出兩種迭代式的迭代矩陣,計(jì)算它們的譜半徑，依據(jù)譜半徑的大小判斷收斂性，根據(jù)譜半徑的大小，選擇譜半徑最小的.具體過程請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

9、填空題

(1），則，，?（2)，則，

(３）設(shè),為使可分解為，其中為對(duì)角線元素為正的下三角形矩陣，的取值范圍取，則.?（4）已知方程組，則解此方程組的Jａcｏbｉ迭代法收斂。?(5）用G—S迭代法解方程組,其中為實(shí)數(shù)，方法收