-新教材高中數(shù)學第五章函數(shù)應用1.2利用二分法求方程的近似解學案北師大版必修第一冊

PAGEPAGE7利用二分法求方程的近似解新課程標準解讀核心素養(yǎng)探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算電視臺某欄目中有一個猜商品價格的游戲，規(guī)則如下：給出一種商品讓參賽者猜價格，主持人給出提示語“高了”或“低了”．例如參賽者猜某種商品的價格為100元，主持人說“高了”．參賽者又猜50元，主持人說“低了”．參賽者再猜80元，主持人說“低了”．這樣一直猜下去，直到猜中為止．[問題](1)我們怎么猜才能盡快猜中價格呢？(2)這種思路能不能運用到求方程的近似解中呢？知識點一二分法1．滿足精度ε的近似解設eq\o(x,\s\up6(^))是方程f(x)＝0的一個解，給定正數(shù)ε，若x0滿足|x0－eq\o(x,\s\up6(^))|<ε，就稱x0是滿足精度ε的近似解．2．二分法對于一般的函數(shù)y＝f(x)，x∈[a，b]，若函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)的曲線，f(a)·f(b)<0，則每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的求方程近似解的方法稱為二分法．eq\a\vs4\al()1．用二分法求函數(shù)零點近似值的方法僅適用于函數(shù)的變號零點(曲線通過零點，且在零點兩側函數(shù)值異號)，對函數(shù)的不變號零點(曲線通過零點，且在零點兩側函數(shù)值不異號)不適用．如求函數(shù)f(x)＝(x－1)2的零點近似值就不能用二分法．2．用二分法求函數(shù)零點的近似值，定初始區(qū)間時要盡可能地找到含有零點的較小的區(qū)間，這樣可以減少用二分法的次數(shù)，減少計算量．1．觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是()答案：A2．下列函數(shù)中不能用二分法求零點近似值的是________(填序號)．①f(x)＝3x；②f(x)＝x2＋1；③f(x)＝lnx；④f(x)＝|x－1|.答案：②④知識點二二分法求函數(shù)零點近似值的步驟eq\a\vs4\al()二分法求函數(shù)零點近似值口訣定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷．1．用二分法求方程的近似解，精確度為ε，則終止條件為()A．|x1－x2|>ε B．|x1－x2|<εC．x1<ε<x2 D．x2<ε<x1答案：B2．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經計算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________．答案：(0，0.5)f(0.25)二分法概念的理解[例1](1)下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點的是()(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1，3)內的根，取區(qū)間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區(qū)間是________．[解析](1)根據(jù)零點存在定理，對于D，在零點的左右附近，函數(shù)值不改變符號，所以不能用二分法求函數(shù)零點，故選D.(2)設f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零點所在的區(qū)間為(1，2)，∴下一個有根的區(qū)間是(1，2)．[答案](1)D(2)(1，2)eq\a\vs4\al()二分法的適用條件判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用．[跟蹤訓練]在用二分法求函數(shù)f(x)零點的近似值時，第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，則第三次所取的區(qū)間可能是()A．[1，4] B．[－2，1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析：選D∵第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的區(qū)間可能為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)).用二分法求方程的近似解[例2](鏈接教科書第146頁例4)求方程lnx＝2－x的近似解(精確度為0.1)．[解]分別畫出函數(shù)y＝lnx和y＝2－x的圖象，如圖所示，在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等，因此，這個點的橫坐標就是方程lnx＝2－x的解．由函數(shù)y＝lnx與y＝2－x的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lnx＝2－x有唯一解，且這個解在區(qū)間(1，2)內．設f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點即方程lnx＝2－x的解，記為x0，則有：f(1)<0，f(2)>0?x0∈(1，2)；f(1.5)<0，f(2)>0?x0∈(1.5，2)；f(1.5)<0，f(1.75)>0?x0∈(1.5，1.75)；f(1.5)<0，f(1.625)>0?x0∈(1.5，1.625)；f(1.5)<0，f(1.5625)>0?x0∈(1.5，1.5625)．因為|1.5625－1.5|＝0.0625<0.1，所以方程lnx＝2－x的近似解可取為1.5625.eq\a\vs4\al()用二分法求函數(shù)零點的近似值應遵循的原則(1)需依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計值的方法完成)；(2)取區(qū)間端點的中點c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是(m，c)還是(c，n)，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值．[跟蹤訓練]用二分法求2x＋x＝4在[1，2]內的近似解(精確度為0.2)．參考數(shù)據(jù)如下表：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：令f(x)＝2x＋x－4，則f(1)＝2＋1－4＝－1<0，f(2)＝22＋2－4＝2>0.用二分法逐次計算，列表如下：區(qū)間精確度區(qū)間中點值xnf(xn)的值及符號(1，2)|2－1|＝1x1＝1.5f(x1)≈0.33>0(1，1.5)|1.5－1|＝0.5x2＝1.25f(x2)≈－0.37<0(1.25，1.5)|1.5－1.25|＝0.25x3＝1.375f(x3)≈－0.035<0∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，∴2x＋x＝4在[1，2]內的近似解可取為1.375.二分法的實際應用舉例[典例]乒乓球是我國的國球，其地位是其他球類無法比擬的．乒乓球是兩個半圓的球粘成的，好的乒乓球在黏合時是加熱的，所以里面有塑料和膠水的氣味．乒乓球雖小，但打時的速度快，變化多，技術要求高，特別是對判斷力的鍛煉，要求運動員眼疾手快，抓住稍縱即逝的機會，對培養(yǎng)頑強拼搏的精神很有好處．因此，乒乓球已經成為一項世界性、普遍性的體育運動．現(xiàn)有a個乒乓球，從外觀上看完全相同，除了1個乒乓球質量不符合標準外，其余的乒乓球質量均相同．你能盡快把這個“壞乒乓球”找出來嗎？用一架天平，限稱b次，并說明此乒乓球是偏輕還是偏重．[問題探究]1．當a＝12，b＝3時，該如何稱？提示：第一次，天平左右各放4個乒乓球，有兩種情況：(1)若平，則“壞乒乓球”在剩下的4個乒乓球中．第二次，取剩下的4個乒乓球中的3個乒乓球為一邊，取3個好乒乓球為另一邊，放在天平上．①若仍平，則“壞乒乓球”為剩下的4個乒乓球中未取到的那個乒乓球，將此乒乓球與1個好乒乓球放上天平一看，即知“壞乒乓球”是偏輕還是偏重；②若不平，則“壞乒乓球”在取出的3個乒乓球之中，且知是輕還是重．任取其中2個乒乓球放在天平上，無論平還是不平，均可確定“壞乒乓球”．(2)若不平，則“壞乒乓球”在天平上的8個乒乓球中，不妨設右邊較重．從右邊4個乒乓球中取出3個乒乓球置于一容器內，然后從左邊4個乒乓球中取3個乒乓球移入右邊，再從外面好乒乓球中取3個乒乓球補入左邊．看天平，有三種可能．①若平，則“壞乒乓球”是容器內3個乒乓球之一且偏重；②若左邊重，“壞乒乓球”已從一邊換到另一邊．因此，“壞乒乓球”只能是從左邊移入右邊的3個乒乓球之一，并且偏輕；③若右邊重，據(jù)此知“壞乒乓球”未變動位置，而未被移動過的乒乓球只有兩個(左右各一)，“壞乒乓球”是其中之一(暫不知是輕還是重)．顯然對于以上三種情況的任一種，再用一次天平，即可找出“壞乒乓球”，且知其是輕還是重．2．若“壞乒乓球偏輕”，當a＝26時，求b的最大值．提示：將26枚乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質量小的那13個乒乓球里面；從這13個乒乓球中拿出1個，然后將剩下的12個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平衡，則“壞乒乓球”一定是拿出的那一個，若天平不平衡，則“壞乒乓球”一定在質量小的那6個乒乓球里面；將這6個乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，則“壞乒乓球”一定在質量小的那3個乒乓球里面；從這3個乒乓球中任拿出2個，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一個即是“壞乒乓球”，若天平不平衡，則質量小的那一枚即是“壞乒乓球”．綜上可知，最多稱4次就可以發(fā)現(xiàn)這個“壞乒乓球”．[遷移應用]將“a個乒乓球”改為“從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點”，現(xiàn)某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快找出故障的發(fā)生點，一般最多需要檢查多少個接點？解：先檢查中間的1個接點，若正常，則可斷定故障在其另一側的7個接點中，然后檢查這一段中間的1個接點，若仍正常，則可斷定故障在其另一側的3個接點中，最后只需檢查這3個接點中間的1個，即可找出故障所在．故一般最多只需檢查3個接點．1．以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是()解析：選A能夠利用二分法求近似值的零點，其兩則的函數(shù)值必須異號，故選A.2．用二分法求函數(shù)f(x)在(a，b)內的唯一零點時，精確度為0.001，則結束計算的條件是()A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001解析：選B據(jù)二分法的步驟知當區(qū)間長度|b－a|小于精確度ε時，便可結束計算．3．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3－2x－1的零點時，若零點所在的初始區(qū)間為(1，2)，則下一個有解區(qū)間為()A．(1，2) B．(1.75，2)C．(1.5，2) D．(1，1.5)解析：選C已知函數(shù)f(x)＝x3－2x－1，因為f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，f(1.5)＝－eq\f(5,8)<0，所以下一個有解區(qū)間是(1.5，2)．4．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個零點(正數(shù))附近的函