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PAGEPAGE9章末檢測(五)函數(shù)應(yīng)用(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.利用二分法求方程log3x=5-x的近似解,可以取一個(gè)區(qū)間()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)解析:選D設(shè)函數(shù)f(x)=log3x-(5-x),因?yàn)閒(3)=1-2=-1<0,f(4)=log34-1>0,所以f(3)·f(4)<0,由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上至少存在一個(gè)零點(diǎn),故求方程log3x=5-x的近似解可取區(qū)間(3,4).故選D.2.函數(shù)f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))-x2+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3解析:選C令f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))-x2+1=0,得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))=x2-1,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即y=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))與y=x2-1的交點(diǎn)個(gè)數(shù),如圖所示,由圖可知有兩個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)f(x)=eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))-x2+1有兩個(gè)零點(diǎn).3.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的部分對應(yīng)值如下表:x-3-2-101234f(x)6m-4-6-6-4n6不求a,b,c的值,判斷方程ax2+bx+c=0的兩根所在區(qū)間是()A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞)解析:選A因?yàn)閒(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)內(nèi)必有根.又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)內(nèi)必有根.4.已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一個(gè)解,則實(shí)數(shù)λ的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,8)C.-eq\f(7,8) D.-eq\f(3,8)解析:選C∵f(2x2+1)+f(λ-x)=0,∴由f(x)為奇函數(shù)得f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),∴由題可知方程2x2+1=x-λ有唯一解,即2x2-x+1=-λ有唯一解.又2x2-x+1=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,4)))eq\s\up12(2)+eq\f(7,8),∴可知-λ=eq\f(7,8),∴λ=-eq\f(7,8).5.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+2,x>a,,x2+5x+2,x≤a.))若方程f(x)-2x=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[-1,1) B.[-1,2)C.[-2,2) D.[0,2]解析:選B令g(x)=f(x)-2x,則由題意可得函數(shù)g(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-x+2,x>a,,x2+3x+2,x≤a))恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).如圖,結(jié)合函數(shù)y=-x+2與y=x2+3x+2的圖象可知-1≤a<2.故選B.6.一位設(shè)計(jì)師在邊長為3的正方形ABCD中設(shè)計(jì)圖案,他分別以A,B,C,D為圓心,beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<b≤\f(3,2)))為半徑畫圓,形成了如圖所示的圖形,則圖形中實(shí)線部分總長度的最小值為()A.π B.2πC.3π D.4π解析:選C由題意知實(shí)線部分的總長度l=4(3-2b)+2πb=(2π-8)b+12eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<b≤\f(3,2))),l是關(guān)于b的一次函數(shù),因?yàn)?π-8<0,所以l=(2π-8)b+12在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(3,2)))上單調(diào)遞減,因此當(dāng)b取eq\f(3,2)時(shí),l取得最小值,所以lmin=(2π-8)×eq\f(3,2)+12=3π.7.已知函數(shù)f(x)=2|x|+x2+a有唯一的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為()A.1 B.-1C.0 D.-2解析:選B設(shè)函數(shù)g(x)=2|x|+x2,因?yàn)間(-x)=g(x),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù).因?yàn)間(x)=2|x|+x2在[0,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,0)上單調(diào)遞減,所以g(x)≥g(0)=1.因?yàn)閒(x)=2|x|+x2+a有唯一的零點(diǎn),所以-a=1,即a=-1.8.設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x-[x],x≥0,,f(x+1),x<0,))其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.若直線y=kx+k(k>0)與函數(shù)y=f(x)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),\f(1,3)))解析:選D如圖,作出函數(shù)f(x)的圖象和y=kx+k的大致圖象,由題意,有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k+k<1,,3k+k≥1,))解得eq\f(1,4)≤k<eq\f(1,3).故選D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.函數(shù)f(x)=x3+3x-2的一個(gè)正零點(diǎn)所在的區(qū)間不可能是()A.(3,4) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:選ABC因?yàn)閒(x)=x3+3x-2在R上是增函數(shù),所以f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).又因?yàn)閒(0)=-2<0,f(1)=2>0,所以f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn)在(0,1)內(nèi),所以f(x)的正零點(diǎn)不可能在(3,4),(2,3),(1,2)內(nèi).故選A、B、C.10.已知函數(shù)f(x)=2x-logeq\s\do9(\f(1,2))x,實(shí)數(shù)a,b,c滿足a<b<c,且f(a)f(b)f(c)<0,若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),則下列結(jié)論可能成立的是()A.x0>c B.x0<cC.x0>a D.x0<a解析:選ABC由于函數(shù)f(x)=2x-logeq\s\do9(\f(1,2))x為區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù),且a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,則有如下兩種情況:①f(a)<f(b)<f(c)<0;②f(a)<0<f(b)<f(c).又x0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),即f(x0)=0,故當(dāng)f(a)<f(b)<f(c)<0=f(x0)時(shí),由單調(diào)性,可得x0>c>b>a,當(dāng)f(a)<0=f(x0)<f(b)<f(c)時(shí),可得c>b>x0>a.故選A、B、C.11.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+2a,x<0,,x2-ax,x≥0.))若關(guān)于x的方程f(f(x))=0有8個(gè)不同的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的值可能為()A.-6 B.8C.9 D.12解析:選CD當(dāng)a≤0時(shí),f(x)=0僅有x=0一根,故f(f(x))=0有8個(gè)不同的實(shí)根不可能成立.當(dāng)a>0時(shí),畫出f(x)的大致圖象如圖所示,當(dāng)f(f(x))=0時(shí),f1(x)=-2a,f2(x)=0,f3(x)=a.又f(f(x))=0有8個(gè)不同的實(shí)根,故結(jié)合圖象可知f1(x)=-2a有3個(gè)不同的實(shí)根,f2(x)=0有3個(gè)不同的實(shí)根,f3(x)=a有2個(gè)不同的實(shí)根.由f1(x)=-2a有3個(gè)不同的實(shí)根,且y=x2-ax=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(a,2)))eq\s\up12(2)-eq\f(a2,4),可得-2a>-eq\f(a2,4),解得a>8.由f3(x)=a有2個(gè)不同的實(shí)根,可得a<2a,解得a>0.綜上可知,a>8.故選C、D.12.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意x∈R,都有f(x-1)=f(x+1),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-1,若函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>1)在區(qū)間(-1,3)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值可以是()A.1 B.3C.4 D.5解析:選CD由題意,函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-1,則當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),-x∈[0,1],函數(shù)f(x)=f(-x)=2-x-1,又對任意x∈R,都有f(x-1)=f(x+1),則f(x)=f(x+2),又函數(shù)g(x)=f(x)-loga(x+2)(a>1)在區(qū)間(-1,3)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x)與y=loga(x+2)的圖象在區(qū)間(-1,3)上有3個(gè)不同的交點(diǎn),又由f(1)=f(3)=1,則滿足loga(1+2)<1,且loga(3+2)≥1,解得3<a≤5,即實(shí)數(shù)a的取值可以是4,5.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)13.已知函數(shù)f(x)=e-x-2x-5的零點(diǎn)位于區(qū)間(m,m+1)內(nèi),則整數(shù)m的值為________.解析:因?yàn)閒(x)=e-x-2x-5為減函數(shù),f(-2)=e2-1>0,f(-1)=e-3<0,所以f(x)=e-x-2x-5存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0∈(-2,-1),所以m=-2.答案:-214.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-1,0≤x≤1,,2x2-8x+7,x>1,))則函數(shù)y=3[f(x)]2-f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________.解析:函數(shù)y=3[f(x)]2-f(x)的零點(diǎn)即方程3[f(x)]2-f(x)=0的根,即f(x)=0或f(x)=eq\f(1,3)的根.畫出函數(shù)f(x)的圖象和直線y=eq\f(1,3),如圖所示,由圖象可知方程f(x)=0有5個(gè)根,方程f(x)=eq\f(1,3)也有5個(gè)根,所以函數(shù)y=3[f(x)]2-f(x)的零點(diǎn)有10個(gè).答案:1015.若關(guān)于x的方程eq\f(|x|,x-2)=kx有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.解析:由題意可知k≠0,∵eq\f(|x|,x-2)=kx,∴kx2-2kx=|x|.當(dāng)x≥0時(shí),kx2-2kx=x,解得x=0或x=eq\f(2k+1,k),∴eq\f(2k+1,k)>0,∴k>0或k<-eq\f(1,2);當(dāng)x<0時(shí),kx2-2kx=-x,解得x=0(舍去)或x=eq\f(2k-1,k),∴eq\f(2k-1,k)<0,∴0<k<eq\f(1,2).綜上,可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))).答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))16.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.①當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付________元;②在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為________.解析:(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付(60+80)-10=130(元).(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元,當(dāng)y<120元時(shí),李明得到的金額為y×80%,符合要求;當(dāng)y≥120元時(shí),有(y-x)×80%≥y×70%恒成立,即8(y-x)≥7y,x≤eq\f(y,8),即x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,8)))eq\s\do7(min)=15(元).所以x的最大值為15.答案:①130②15四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)設(shè)函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-2,x∈[1,+∞),,x2-2x,x∈(-∞,1),))求函數(shù)g(x)=f(x)-eq\f(1,4)的零點(diǎn).解:求函數(shù)g(x)=f(x)-eq\f(1,4)的零點(diǎn),即求方程f(x)-eq\f(1,4)=0的根.當(dāng)x≥1時(shí),由2x-2-eq\f(1,4)=0得x=eq\f(9,8);當(dāng)x<1時(shí),由x2-2x-eq\f(1,4)=0得x=eq\f(2+\r(5),2)(舍去)或x=eq\f(2-\r(5),2).∴函數(shù)g(x)=f(x)-eq\f(1,4)的零點(diǎn)是eq\f(9,8)和eq\f(2-\r(5),2).18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2|x-1|-x+1.(1)請畫出函數(shù)f(x)的圖象;(2)根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象回答下列問題:①求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;②求函數(shù)f(x)的值域;③求關(guān)于x的方程f(x)=2在區(qū)間[0,2]內(nèi)解的個(gè)數(shù).解:(1)當(dāng)x-1≥0,即x≥1時(shí),f(x)=2(x-1)-x+1=x-1;當(dāng)x-1<0,即x<1時(shí),f(x)=2(1-x)-x+1=3-3x.f(x)的圖象如圖所示.(2)①函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1,+∞);函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,1].②函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞).③方程f(x)=2在區(qū)間[0,2]內(nèi)解的個(gè)數(shù)為1.19.(本小題滿分12分)某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎勵(lì)方案:當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時(shí),按銷售利潤的16%進(jìn)行獎勵(lì);當(dāng)銷售利潤超過10萬元時(shí),若超出A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進(jìn)行獎勵(lì).記獎金為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元).(1)寫出該公司激勵(lì)銷售人員的獎勵(lì)方案的函數(shù)模型;(2)如果業(yè)務(wù)員老張獲得5.6萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元?解:(1)由題意得y=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.16x,0<x≤10,,1.6+2log5(x-9),x>10.))(2)由x∈(0,10]時(shí),0.16x≤1.6,而y=5.6,可知x>10.∴1.6+2log5(x-9)=5.6,解得x=34(萬元).∴老張的銷售利潤是34萬元.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,證明a>0,并利用二分法證明方程f(x)=0在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.證明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,∴-b-c>c,即a>c.∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.取區(qū)間[0,1]的中點(diǎn)eq\f(1,2),則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=eq\f(3,4)a+b+c=eq\f(3,4)a+(-a)=-eq\f(1,4)a<0.∵f(0)>0,f(1)>0,∴函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),1))上各有一個(gè)零點(diǎn).又f(x)為二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn),∴f(x)=0在[0,1]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.(1)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí),求m的取值范圍;(2)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),且其中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1時(shí),求m的取值范圍.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以方程f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以2(m+1)≠0,Δ=16m2-4×2(m+1)(2m-1)>0,解得m<1且m≠-1.故m的取值范圍為{m|m<1且m≠-1}.(2)當(dāng)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),且其中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1時(shí),有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(m+1)>0,,f(1)<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2(m+1)<0,,f(1)>0,))解得-1<m<-eq\f(1,8),故m的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(-1<m<-\f(1,8))))).22.(本小題滿分12分)改革開放40年,我國衛(wèi)生事業(yè)取得巨大成就,衛(wèi)生總費(fèi)用增長了數(shù)十倍.衛(wèi)生總費(fèi)用
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