-新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE12空間向量的坐標與空間直角坐標系新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.掌握空間向量的正交分解及坐標表示直觀想象2.掌握空間向量線性運算的坐標表示數(shù)學(xué)運算3.掌握空間向量數(shù)量積的坐標表示，并利用數(shù)量積判斷兩向量的共線與垂直數(shù)學(xué)運算、直觀想象我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題》中指出：“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡單講就是形與數(shù)，歐幾里得幾何體系的特點排除了數(shù)量關(guān)系……，對于研究空間形式，你要真正的‘騰飛’，不通過數(shù)量關(guān)系，我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”，也就是坐標系的引入，使得幾何問題“代數(shù)化”，為了使得空間幾何“代數(shù)化”，我們引入了坐標及其運算．[問題](1)設(shè)m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何運算？(2)空間直角坐標系中，點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|eq\o(AB,\s\up7(→))|如何表示？知識點一空間中向量的坐標及運算1．空間中向量的坐標(1)單位正交基底：如果空間向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是單位向量，且這三個向量兩兩垂直；(2)單位正交分解：在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解；(3)向量p的坐標：在單位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，則稱有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)為向量p的坐標，記作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都成為p的坐標分量．2．空間向量的運算與坐標的關(guān)系設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)；(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))；(5)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))).3．空間向量的坐標與空間向量的平行、垂直設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則(1)a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b＝()A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)答案：B2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，則x的值為()A．－2 B．2C．3 D．－3解析：選A∵b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.3．已知{e1，e2，e3}是單位正交基底，則向量p＝2e1＋3e2＋e3的坐標為________，q＝－e1＋e2－2e3的坐標為________．答案：(2，3，1)(－1，1，－2)知識點二空間直角坐標系1．空間直角坐標系(1)空間直角坐標系：在空間中任意選定一點O作為坐標原點，選擇合適的平面先建立平面直角坐標系xOy，然后過O作一條與xOy平面垂直的數(shù)軸z軸，這樣就建立了空間直角坐標系Oxyz；(2)相關(guān)概念：點O叫作坐標原點，x軸，y軸，z軸叫作坐標軸．通過每兩個坐標軸的平面叫作坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．空間向量坐標的應(yīng)用若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2).(1)AB＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2)；(2)若M為線段AB的中點，M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在空間中，過x軸，y軸的平面叫作xOy平面．()(2)空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標一定是(0，b，c)的形式．()(3)空間直角坐標系中，在xOz平面內(nèi)的點的坐標一定是(a，0，c)的形式．()(4)空間直角坐標系中，點(1，eq\r(3)，2)關(guān)于yOz平面的對稱點為(－1，eq\r(3)，2).()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．在空間坐標系中，點A(2，－1，2)在坐標平面xOy內(nèi)的投影坐標為________．答案：(2，－1，0)3．空間兩點P1(1，2，3)，P2(3，2，1)之間的距離為________．解析：|P1P2|＝eq\r(（－2）2＋02＋22)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)空間向量的坐標運算[例1](1)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD′，D′C′，BC的中點，以{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA′,\s\up7(→))}為基底，求下列向量的坐標．①eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))；②eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(DG,\s\up7(→))．(2)已知空間四點A，B，C，D的坐標分別是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝eq\o(AB,\s\up7(→))，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))．求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q).[解](1)①eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))；eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))；eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′D′,\s\up7(→))＋eq\o(D′F,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1)).②eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))；eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))；eq\o(DG,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0)).(2)由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，1，3)，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))＝(2，0，－6).①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.eq\a\vs4\al()用坐標表示空間向量的步驟(1)(2)空間向量進行坐標運算的規(guī)律是首先進行數(shù)乘運算，再進行加法或減法運算，最后進行數(shù)量積運算，先算括號里，后算括號外．[跟蹤訓(xùn)練]已知O為坐標原點，A，B，C三點的坐標分別為(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求點P的坐標，使：(1)eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))；(2)eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))).解：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，6，－3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－4，3，1)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝(6，3，－4).(1)eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(6，3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2)).(2)設(shè)點P的坐標為(x，y，z)，則eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1，z－2).∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2.))即x＝5，y＝eq\f(1,2)，z＝0，則點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)，0)).空間中點的坐標確定及應(yīng)用[例2]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標．并求GH的長度．[解]建立如圖所示的空間直角坐標系．點E在z軸上，它的x坐標，y坐標均為0，而E為DD1的中點，故其坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))).過F作FM⊥AD于點M，F(xiàn)N⊥DC于點N，由平面幾何知FM＝eq\f(1,2)，F(xiàn)N＝eq\f(1,2)，則F點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).點G在y軸上，其x，z坐標均為0，又GD＝eq\f(3,4)，故G點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)).過H作HK⊥CG于點K，由于H為C1G的中點，故HK＝eq\f(1,2)，CK＝eq\f(1,8).∴DK＝eq\f(7,8)，故H點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2))).|GH|＝eq\r(（0－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(7,8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(17),8).eq\a\vs4\al()1．建立空間直角坐標系時應(yīng)遵循以下原則(1)讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內(nèi)；(2)充分利用幾何圖形的對稱性．2．求某點的坐標時，一般先找出這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個坐標，再找出它在另一軸上的射影(或者通過它到這個坐標平面的距離加上正負號)，確定第三個坐標．3．利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟[跟蹤訓(xùn)練]如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，點M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且為D1C解：如圖所示，分別以AB，AD，AA1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．由題意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，∵N為CD1的中點，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).∵M是A1C1的三等分點且靠近A1點∴M(1，1，2).由兩點間距離公式，得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\f(\r(21),2).空間向量的平行與垂直[例3]已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))．(1)若|c|＝3，c∥eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))．求c；(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.[解](1)因為eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝(－2，－1，2)，且c∥eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))，所以設(shè)c＝λeq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝eq\r(（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).(2)因為a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).故所求k的值為2或－eq\f(5,2).[母題探究](變條件)若將本例(1)中“c∥eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))”改為“c⊥a且c⊥b”，求c.解：a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，0，2).設(shè)c＝(x，y，z).由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＝0，,－x＋2z＝0.))解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1).eq\a\vs4\al()判斷空間向量垂直或平行的步驟(1)向量化：將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行；(2)向量關(guān)系代數(shù)化：寫出向量的坐標；(3)對于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根據(jù)兩向量坐標間的關(guān)系判斷兩向量是否垂直；根據(jù)x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)(x2，y2，z2都不為0)判斷兩向量是否平行．由空間向量垂直或平行求值只需根據(jù)垂直或平行的條件建立方程(組)求解即可．[跟蹤訓(xùn)練]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3，－\f(1,2)))，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(1,4))).求證：a⊥b，c∥d.證明：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，∴a·b＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×1＝0，∴a⊥b.∵c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3，－\f(1,2)))，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(1,4)))，∴c＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(1,4)))＝－2d，∴c∥d.利用坐標運算解決空間向量的夾角、距離[例4](鏈接教科書第19頁例3、第24頁例7)如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1(1)BN的長；(2)cos〈eq\o(BA1,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))〉的值．[解]如圖，以eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))所在的直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.(1)依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|eq\o(BN,\s\up7(→))|＝eq\r(（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2)＝eq\r(3)，∴線段BN的長為eq\r(3).(2)依題意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴eq\o(BA1,\s\up7(→))＝(1，－1，2)，eq\o(CB1,\s\up7(→))＝(0，1，2)，∴eq\o(BA1,\s\up7(→))·eq\o(CB1,\s\up7(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up7(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up7(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(BA1,\s\up7(→))·eq\o(CB1,\s\up7(→)),|eq\o(BA1,\s\up7(→))||eq\o(CB1,\s\up7(→))|)＝eq\f(\r(30),10).eq\a\vs4\al()1．利用向量數(shù)量積的坐標求兩向量夾角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點的坐標，進而獲得相關(guān)向量的坐標；(3)利用向量數(shù)量積的坐標公式求得向量的夾角．2．利用向量坐標求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；(2)求出線段端點的坐標；(3)利用兩點間的距離公式求出線段的長．[跟蹤訓(xùn)練]1．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，則eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))的夾角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C設(shè)eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))的夾角為θ.由題意得eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，1，0)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0，3，3)，∴cosθ＝eq\f(AC→·AB→,|AC→||AB→|)＝eq\f(3,\r(2)×3\r(2))＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°，故選C.2.如圖，已知邊長為6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中點，eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MA,\s\up7(→))，則線段OM的長為()A．3eq\r(2) B．eq\r(19)C．2eq\r(5) D．eq\r(21)解析：選B由題意可建立以D為坐標原點，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系(圖略)，則E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以|eq\o(OM,\s\up7(→))|＝eq\r(（6－3）2＋（0－3）2＋（4－3）2)＝eq\r(19)，即線段OM的長為eq\r(19)，故選B.向量概念的推廣我們已經(jīng)知道，(1)直線l以及這條直線上一個單位向量e，對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數(shù)x，使得a＝xe，此時稱x為向量a在直線l上的坐標，直線上的向量又稱為一維向量，用該坐標x即可表示a的方向，又可以求得|a|；(2)平面向量a可以用兩個有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示，即a＝(x，y)，(x，y)稱為平面向量a的坐標，此時的向量又稱為二維向量，用該坐標可以表示a的方向，也可求|a|；(3)空間向量a可用三個有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)表示，即a＝(x，y，z)，(x，y，z)稱為空間向量a的坐標，此時的向量a稱為三維向量，用該向量的坐標可以表示a的方向，也可求|a|.[問題探究]向量的概念可由一維推廣到二維、三維向量，那么對于現(xiàn)實生活中的實際問題，涉及到需要四個或四個以上的量來表示，此時向量的概念是否可以再進一步推廣？結(jié)論：用n元有序?qū)崝?shù)組(a1，a2，…，an)表示n維向量，它構(gòu)成了n維空間，a＝(a1，a2，…，an).對于n維空間的向量也可以定義加、減、數(shù)乘、數(shù)量積及模運算．設(shè)a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)，λa＝λ(a1，a2，…，an)＝(λa1，λa2，…，λan)，λ∈R，a·b＝(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，|a|＝eq\r(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))，n維空間中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)兩點間的距離|AB|＝eq\r(（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋…＋（an－bn）2).[遷移應(yīng)用]某班共有30位同學(xué)，則高一期末考試的五門課程成績可以用30個5維向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成績，i不同表示不同的同學(xué)，j不同表示不同的課程，如何用簡單明了的數(shù)學(xué)表達式表示該班五門課程各自平均成績．解：為了得到該班五門課程各自平均成績，只需將30個向量對應(yīng)坐標分別加起來，然后再乘以eq\f(1,30)，即即可，其中eq\f(1,30)eq\o(∑,\s\up6(30,i＝1))aij為第j門課程的平均成績．1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，則3a＋bA．(－2，－3，－2) B．(2，3，2)C．(－2，3，2