第三講 函數(shù)的性質(zhì)講義

xaaaaxxxxaaaaxxx第二講第3課時

函數(shù)的質(zhì)義函數(shù)的單調(diào)性基過一單性1定如函數(shù)y＝(x)對于于定義域內(nèi)某區(qū)間上的任意兩個自變量的值xx，當(dāng)x<時①有，稱)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個；都有，則稱fx在這個區(qū)間上是減函數(shù)，而這個區(qū)間稱函數(shù)的一個.若函數(shù)fx)在整個定義域l內(nèi)有唯一的一個單調(diào)區(qū)間，則()稱為.．判單性方：(1)定法，其步驟為：①；；.(2)導(dǎo)法函＝)在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上可導(dǎo)(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；②若，f()在這個區(qū)間上是減函.二單性有結(jié)1．若f(),(x均為增(減函數(shù)，則(＋g()函數(shù)；2．若f()增減函數(shù)，則－f(x)為；3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有的調(diào)性；4．復(fù)合函數(shù)yf[g()]是義在上的數(shù)，若f()與g(x)單調(diào)相同，則f[g(x為，fx),g()的調(diào)性相反，則)]為.5．奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單性，偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性.典例例1.已知函數(shù)f(x)=a+

xx

(a＞，明：函數(shù)f(x)在-1,+∞上為增函證方一任,x∈(-1,+),不妨設(shè)x＜,則x-x＞＞且＞∴(又∵+1＞+1＞0,∴

x(2)(xxx(x(xx

＞于是f(x)-f(x)=

a

+

xxx

＞

故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為函.f

＞在-1，∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+）上為增函.方法三∵＞∴y=a為函，又y=

xx

，在（-1，∞）上也是增函.∴y=a+在-1，+∞）上為函.x變訓(xùn)1討論函數(shù)fx）=x+（＞0）的單調(diào).x解方法一顯f（）奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f（x在（，∞上的單調(diào)性，設(shè)x＞＞則f(x)-f(x)=（）（+）=(x-x）∴當(dāng)0＜x＜≤

a

時，

axx

＞1,

則f（）-f（x）0，即f(x＜f(x),故f（）在（，

a

］上是減函.當(dāng)x＞≥時，0＜第1頁共6頁

ax

＜，f（）（）＞0,即f(x)f(x),

a44-(x)=23a44-(x)=23故f（）［

a

，∞上是增函數(shù)∵（）奇函數(shù)，∴（）別在（∞-

a

a

，∞）上為增函數(shù)；f（）分別在［-

a

，

a

］上為減函.方法二由

f

=1-=0可得x=±x

a當(dāng)x＞或x-時，f

＞∴（）別在（，+a］上是增函數(shù).同理0＜＜或＜＜時

f

＜即f（）別在（，aa，）上是減函.例2.判斷函數(shù)f(x)=在義域上的單.解函的定義域為≤-1或x≥1},則f(x)=x,可分解成兩個簡單函.f(x)=

u(x)()

=x-1的形.當(dāng)x≥時u(x)為增函數(shù)，

u(x)

為增函數(shù).∴（）

在［1，∞上增函數(shù)當(dāng)x≤-1時（x)減函數(shù)，

u()

為減函數(shù)，∴f(x)=在-∞,-1］上為減函.變訓(xùn)2求函數(shù)y=

log

（4x-x）單調(diào)區(qū).解由4x-x＞，得函數(shù)的定義域是，）令t=4x-x，y=logt.∵t=4x-x=-（x-2）+4，∴t=4x-x

的單調(diào)減區(qū)間是2，4區(qū)是0，］.又logt在（0，∞）上是減函數(shù)∴函數(shù)y=

（）單調(diào)減區(qū)間是（0，調(diào)增區(qū)間是，4).例3.求下列函數(shù)的最與值域：（）

x

;(2)y=x+;(3)y=x

(2)

.解1由≥函數(shù)定義域為［，t=3+2x-x=4-(x-1)∴∈0，4

t

∈［0，2從而，當(dāng)時，y=2，x=-1或x=3時，y=4.值域為［2，］(2)方法一函y=x+是義為x|x0}的奇函數(shù)故其圖象關(guān)于原點對稱,故只討論xx＞0時,即可知x＜時最.∴當(dāng)x＞0時,y=x+≥x

4

=4，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2時得當(dāng)x＜時，y≤-4,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取得.綜上函數(shù)的值域為-∞，］∪［，∞最.方法二任,x,且x＜,因為f(x)-f(x)=x+

44(x)(x4)x

,

所以當(dāng)x≤或x≥2時f(x)增當(dāng)＜＜0＜x＜時，f(x)遞減.故x=-2時，=f(-2)=-4,x=2，f(x)=f(2)=4,所以所求函數(shù)的值域為-∞，-4∪［，∞最（?。┲担ǎ┖瘮?shù)式變形為y=

(x(x(0

,可視為動點（x,0）定點（，2-2）距離之和，連結(jié)AB，則直線AB與x軸交點（橫坐標(biāo)）即為所求的最小值.y=|AB|=

(0

，可求得x=時，y=

13

.顯然無最大值.故值域為［

，∞）.變訓(xùn)3在經(jīng)濟中，函數(shù)的邊際函數(shù)Mf(x)定為Mf（）（x+1）（.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置生產(chǎn)（＞）臺的收入函數(shù)為（=3單位：)其成本函數(shù)為C（x）=500x+4（單位：元潤收入與成本之差第2頁共6頁

xxx4xxx4（）利潤函數(shù)P（）及邊際利潤函數(shù)MP（（）潤函數(shù)P（）與邊際利函數(shù)MP）是否具有相同的最大值？解1P（）=R（）-C（）（3000x-20x）（500x+4000）+2500x-4（∈1，100］x∈）MP（）（）（）（）+2500x+1-4000--20x+2500x-4000）=2480-40x（∈［1，100］∈）（）（）=-20(x-

)

+74125，當(dāng)x=62或63時，=74120（）因為MP（x）480-40x是減數(shù)，所以當(dāng)時，MP(x)=2440(元）.因此，利潤函數(shù)P（）與邊際利潤函數(shù)（）不具有相同的最大.例2009·西池模擬）已知定義在區(qū)間，+∞上的函數(shù)f(x)滿足f(且當(dāng)x＞時，＜

xx

)

=f(x)-f(x)，（）f(1)的值；（）斷f(x）的單調(diào)性；（）f(3)=-1,解不等式f(|x|)-2.解1令＞代入得f(1)=f(x)-f(x)=0,故f(1)=0.（）取x,x∈(0,+∞，且xx,＞由于當(dāng)x1時，f(x)0,x所以f()＜即f(x)-f(x)＜因此)f(x),x所以函數(shù)f(x)在間0,+∞上單調(diào)遞減函.（）f()=f(x)-f(x)得)=f(9)-f(3),而所f(9)=-2.x由于函數(shù)f(x)在間（∞上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴＞9或x＜因此不等式的解集{x|x＞或x＜變訓(xùn)4函數(shù)f(x)任意的a、∈R,有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當(dāng)x＞時f(x)1.（）證f(x)是R上的增函；（）f(4)=5,解不等式f(3m-m-2)3.解1設(shè)∈，且x,則x-x＞∴f(x-x)＞f(x)-f(x)=f((x)+x)-f(x)=f(x-x)+f(x)-1-f(x)=f(x-x)-1＞∴（）＞f(x).即是R上增函數(shù)（）f（）（）（）+f（2）-1=5，∴（）=3，∴原不等式可化為f(3m-m-2)＜∵f(x)是R上增函數(shù)，∴3m-m-2＜解得-＜＜,故解集為-1,）3小:．證明一個函數(shù)在區(qū)間D上增減函的方法有：定義法其過程是：作差——變形——判斷符號而最常用的變形是將和形式的結(jié)構(gòu)變?yōu)榉e的形式的結(jié)構(gòu)(2)求導(dǎo)法.其過程是：求導(dǎo)——判斷函數(shù)的符號——下結(jié).2．確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方有(1)察法；(2)象法（即通過畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，確定單調(diào)區(qū)間定法(4)導(dǎo).注意：單調(diào)區(qū)間一定要在定義域.3．含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性；一類是給定單調(diào)性求參數(shù)范圍解是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式合義域求出參數(shù)的取值范圍第3頁共6頁

2，2，第4時

函數(shù)的奇偶性基過．奇性①定：如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x都，稱()為奇函數(shù)；若，稱x)為函數(shù)如函數(shù)()不具有上述性質(zhì)，則f()不有.如函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則().②簡性質(zhì)：1）圖的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對.2）函fx具有奇偶性的必要條件是其定義域于對稱．與函周有的論①已知條件中如果出現(xiàn)(x)(x)

或()（、為非零常數(shù)，a可得出)

的周期為；②yf(x)

的圖象關(guān)于點(,0),(b

中心對稱或f(x

的圖象關(guān)于直線xa典例

軸對稱，均可以得到f()

周期例1.判下列函數(shù)的奇偶（）f(x)=

;(2)f(x)=log(x+)(x∈R);(3)f(x)=lg|x-2|.解1∵-101-x≥0,∴±1,即f(x)的定義域是-1，∵（），f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),故f(x)既奇函數(shù)又是偶函.（）法一易知f(x)的定義域為R，又∵f(-x)=log［

(2

］=log

1xx

=-log(x+x)=-f(x),∴f(x)是奇函數(shù).方法二易知f(x)的定義域為R又∵f（）（）=log［

()2

］+log(x+)=log1=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).（）|x-2|＞，x≠2.∴（）定義域x|x≠2}關(guān)于點不對稱，故為非奇非偶函.變訓(xùn)1判斷下列各函數(shù)的奇偶性：（）（）（）

22

；（）（）（）（）

lg(1)x

；(xx

(解1由≥，得定義域為-2，于點不對稱，故f（）為非奇非偶函.2（）得義域為-10）∪（0，）這時f（）

)lg(1)x2)x

.第4頁共6頁

11111111111111∵（）=-

lg1))(),()

∴（）偶函數(shù)（）＜時，（），-x＞1,（-x）=-（-x+2=x+2=f（x）x＞時，（）=-x+2，＜，f(-x)=x+2=f(x).-1≤≤時，f（）=0，≤≤1,f-x=0=f（）.∴對定義域內(nèi)的每個x都（）（）因此f（）是偶函數(shù)例已函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（）證f(x)是奇函數(shù)；（）果x∈R，（）0,并試求f(x)區(qū)間［，］的最值（）證：∵數(shù)定義域為R，定義域關(guān)于原點對.∵（）（）+f（y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).x=y=0,∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.f（）+f-x）=0得f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).（）解方法一設(shè)x,y∈，∵（x+y=f（+f（y∴（）（）=f（）x∈R，（）＜0,∴f(x+y)-f(x)＜0,f(x+y)f(x).∵x+y＞f(x)在（，∞上是減函又∵（x）為奇函數(shù)，f（），∴（）（∞∞上是減∴f（）為最大值f(6)為最小值.∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2f（）（2∴所求f(x)在間-2，］的最大值為，最小值-3.方法二設(shè)x＜,且x,x∈R.則f(x)=f［+(-x)］=f(x)=f(x)-f(x).∵-x＞∴f(x-x)＜∴f(x)-f(x)＜0.f(x)在R單調(diào)遞減.∴（）為最大值f（）最小.∵（）=-，2∴（）=-f（）（），（）3）=2f（）+f（∴所求f(x）在區(qū)間［，］的最大值為1，最小值-3.變訓(xùn)2已知f(x)的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(-,0)時f(x)=-xlg(2-x),求的解析.解∵（）奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),f(0)=0.當(dāng)x＞時，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),-f（）（2+x即f（）=-xlg(2+x)（＞）∴f(x)=即f(x)=-xlg(2+|x|)∈

))

(0),(0).例已函數(shù)f(x)的定義域為，且滿足f(x+2)=-f(x).（）證f(x)是周期函數(shù)；（）f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0x≤1時f(x)=求使在0，009］的所有x2個數(shù).（）證：∵f（x+2）（∴（）=-f（）=-［（（∴（）以4為周的周期函.（）解≤≤1時，f(x)=x,設(shè)1≤≤0,則0≤-x≤∴（）（-x）=-x.22∵f(x)是奇函數(shù)，f（-x）=-fx）∴（）x，即f(x)=x.2故f(x)=x(-1≤≤2第5頁共6頁

2

11110051111111111005111111又設(shè)1＜＜3,則1＜x-2＜1,∴f(x-2)=(x-2),2又∵f（x-2）（）））=--f-x（∴（）（x-22∴（）（x-2＜＜）2∴（）

x(1(x2由f(x)=