第24計(jì) 杠桿開(kāi)門(mén) 以輕撥重

3--x3--x數(shù)學(xué)破題36計(jì)●名義

第24計(jì)

杠桿開(kāi)門(mén)

以輕撥重派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四兩砣撥千斤鼎用的是智杠桿原理，以輕撥重，要考慮兩個(gè)因素：一是支力；二是支點(diǎn).支，從解題人的學(xué)科知識(shí)中尋找；支點(diǎn)，從解題人的思想方法中尋其實(shí)，智的體現(xiàn)，集中于支點(diǎn)的尋找，找得越巧越省.支點(diǎn)中的點(diǎn)在哪里本開(kāi)場(chǎng)就點(diǎn)到成功去問(wèn)“芝麻數(shù)學(xué)中的好點(diǎn)多著呢！重合點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)，極限點(diǎn)，中心點(diǎn)，定比分點(diǎn)，??，要有盡有關(guān)鍵是，你面臨的那個(gè)具體問(wèn)題，你看中了哪個(gè)亮點(diǎn)！●例范

【例】正四面體的高線長(zhǎng)為4求其外接球的體【分】說(shuō)操曹操就剛剛拿出來(lái)杠桿，要扛”的東西就來(lái)線段AB的心在其中點(diǎn)M點(diǎn)如B各放個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則其點(diǎn)M會(huì)了個(gè)正三角形ABC的心在它的中線上C點(diǎn)放1個(gè)點(diǎn)，中點(diǎn)M處有2個(gè)點(diǎn)，故重心G會(huì)了3質(zhì)點(diǎn)，按杠桿原理CGGM至于正四面體中心在哪里？這還用得算嗎？【解】設(shè)四面體的頂點(diǎn)為V底面中心為，四面體中心為.由桿原理O在GV的四等分點(diǎn)上，即3因此，正四面體的外半徑Rh4故正四面體體積為

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πRπ.【點(diǎn)】如派力士去解此題，他將是：①先解2個(gè)直角三角形求得“斜高列方程求外半精力過(guò)剩者，這當(dāng)然是一樂(lè).【】斜率是

直線l左移3個(gè)位，再上移1個(gè)位時(shí)，恰回原來(lái)的位置，這直線的（

1B.-33

D.3【思】本的題之口在哪兒?取殊點(diǎn).支點(diǎn)選在原點(diǎn)（0）左移單位，上移1個(gè)位得M-3，1于是kl==OM

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選A【點(diǎn)】?jī)纱_定一條直，而斜率相等的一切不同直線都平行，這就是本題解法的依據(jù)，或“道理”.試：什么樣的直線平行移動(dòng)后，可以不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)呢？既如此，取特殊點(diǎn)原點(diǎn)，以達(dá)到杠桿開(kāi)門(mén)，以輕撥重之目即是最實(shí)惠的選【例】（·上海卷）若函數(shù)(的圖象可由函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆針旋轉(zhuǎn)

2

得到，則f()=

()AB.10CD【解】本題杠在兒取特點(diǎn)在+1)的圖象上取一點(diǎn)A（9繞

3313222BCB3313222BCBC.原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得B-1，9入各選項(xiàng)，僅A合，∴選A【點(diǎn)】函的圖象都是的集合，以點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)取代圖形的旋轉(zhuǎn)，已經(jīng)夠特殊的了，而在無(wú)窮無(wú)盡的點(diǎn)中，敏銳的找到（9轉(zhuǎn)得（樣絕妙的特征點(diǎn)，從而輕而易舉地找出正確的答案，這難道不痛快淋漓的嗎？【例4】如）所示，在多面體中，已知面ABCD是長(zhǎng)為3的方形，∥AB

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面AC的離為2則該多面體的體積是（）例4題圖

92

B.5D.

152【思】用殊圖形如（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使連AF、DF.EF面ADE.∵V·EF·=2

×3×2=2V=·DE·=··3∴V選FABCDABCD【點(diǎn)】本正是1999年倒大批考生的全國(guó)高考多數(shù)考生感到難的原因是直接對(duì)原圖進(jìn)行割補(bǔ)，因而計(jì)算繁雜其實(shí)，在不影響題設(shè)這個(gè)大前的條件下，讓圖形特殊、再特殊使能用最簡(jiǎn)單的方式求體積還要講道理嗎？君不見(jiàn)底等高的一切錐體等積，歷經(jīng)了幾千年考驗(yàn)的祖暅原理，難道還不算經(jīng)典道理嗎？●

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

動(dòng)點(diǎn)A在曲線

x

22

yn

22

=1上BC為曲線的左、右焦點(diǎn)，ABC∠A、∠、∠C的邊a,b,c滿足a=10，，則

cot的值是（）2

1142

D.1已知0<x<y<a<1，則有（）A.logB.0<log(xy)<1C.1<logD.logaaa設(shè){}公為首為等比數(shù)列，是前n項(xiàng)，對(duì)任意的n∈，點(diǎn)（S，n+n）()n+1

348B1cos1711nn，則348B1cos1711nn，則y=-+1，點(diǎn),A.在直線y=ax-b上C.在直線y=bx-a上

在線y=bx+a上D.在直線上函數(shù)|x|,x［ππ］大致圖像是（）第4題1.A取殊形雙線焦點(diǎn)為B）,C(5,0)c-b=6∴，曲線方程為：離心率e=.

16取特殊位置AC⊥BC則有A?∴AC=從而

cosB=

sinB=，而＝°

第1題圖151∴tan=·cot45=.228417

取特殊值.x=,y=,a=滿足0<x<y<a<1.4則log(xy)=loga

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=5.定ABC取特殊值取則=2各