數(shù)學建模知識課件1p sxjmo

6.6模型誤差分析

一．模型誤差的客觀存在性希望建立的模型盡善盡美：

能“逼真”地模擬現(xiàn)實系統(tǒng)；

能“精確”地預測系統(tǒng)的未來情況；

能“準確”地控制系統(tǒng)；

得到問題的“最優(yōu)”解；…逼真、精確、準確、最優(yōu)、…良好愿望

數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界的理想化，不可能是真實世界的再現(xiàn)

任何數(shù)學模型在建立和使用的過程中，不可避免的產(chǎn)生模型誤差.

如：附加進數(shù)據(jù)測量誤差,舍入誤差和截斷誤差等.有必要對模型誤差進行分析，并給出估計.

常用“絕對誤差”和“相對誤差”來衡量誤差的大小程度：

絕對誤差=測量值－近似值相對誤差=絕對誤差/測量值與數(shù)量級有關(guān)

例6.6.1

用經(jīng)驗公式

作為土豆產(chǎn)量的近似估計公式,其誤差數(shù)值列表如下（參見p168表7.6）0.0010.0641.201960.0622.5638.4898－0.06－2.0334.50240.06相對誤差1.96絕對誤差

31.50施肥量問題

如何評價誤差數(shù)據(jù)？二．誤差分析各類誤差

數(shù)據(jù)測量誤差

截斷誤差

模型假設(shè)誤差

1．數(shù)據(jù)測量誤差*在建立模型之前應該盡量控制實驗數(shù)據(jù)的質(zhì)量,使之測量準確可靠.

*數(shù)據(jù)帶有無法消除的測量誤差時,應分析它對模型造成的影響,并對模型誤差進行估計.

例6.6.2

有高為100厘米的半球形容器中裝滿了水。從某一時刻開始，水從底部一個橫截面積為1平方厘米的小孔流出，可以隨時測出水面高度h。由水力學知，水從孔口流出的流量（即通過孔口橫截面的水的體積V對時間t的變化率)Q，有關(guān)系式

其中0.62為流量系數(shù),S是小孔口橫截面積，g為重力加速度.

由測出的水面高度h,可算得水流量,由于儀器所限，測出的高度值有±

0.1厘米的誤差,這會引起水流量Q的多大誤差？

100h水面高度h有誤差Δh

分析

水面高度誤差為Δh

，水流量誤差則為

在

h=50厘米處,代入Δh=0.1厘米,可算得絕對誤差為

相對誤差為在h=50厘米處的相對誤差為約為1‰.2.截斷誤差截斷誤差的來源：

1.用數(shù)值方法近似求解會產(chǎn)生截斷誤差；

2.函數(shù)近似產(chǎn)生截斷誤差；3.計算機運算的精度誤差；

應分析截斷誤差對模型的影響

例6.6.3廣義生日問題

一個班有30名學生,他們中至少有兩名同一天生日的概率p=?他們生日均不同日的概率為則p=1－q.一般化后,考慮下問題：求最小的整數(shù)n，使

f(n)≤q(給定)

對于給定的

x,f(n)是單調(diào)下降函數(shù)(序列),解：可采用求根方法—對分法q

當q=0.5時,對不同的x,可以算出n

的最小值n*，見表(P170表7.7)的前兩列.建立滿足f(n)≤q的最小值n*與x

之間的關(guān)系式.

方法一（最小二乘法）建立經(jīng)驗公式為方法二泰勒近似建立泰勒近似公式為方程的正根為當

q=0.5，建立泰勒近似公式為n=0.5+練習

對兩種近似求解方法,計算各個近似值的絕對誤差和相對誤差.泰勒近似式的誤差控制函數(shù)因其中注意到f(n)和g(n)都是單調(diào)下降函數(shù),選擇n*使g(n*)≥q≥g(n*+1)≥f(n*+1)，又若f(n*)≥q，則n*或n*＋1就是整數(shù)n滿足f(n)＜q的最小值.g(n)f(n)qn*n*+1若f(n*)=qf(n)≤q

，當n≥n*；若

f(n*)＞q對最小值n*點有即當n≥n*+1.

f(n*)＞q≥g(n*+1)≥f(n*+1)≥f(n)，3.模型假設(shè)誤差通過對數(shù)據(jù)進行分析可以判斷假設(shè)是否合理.

是用g(n)代換f(n)的誤差控制函數(shù),比值越接近于零，誤差越小.續(xù)例6.1.3施肥效果分析有人做了如下兩條假設(shè)：

*1在實驗中除施肥量,其他影響因子:如環(huán)境條件,種植密度,土壤肥力等,均處于同等水平；*2各次實驗獨立,誤差項ε均服從N(0,σ2).分析：從數(shù)據(jù)可見在實驗點實際重復了三次試驗.第七試驗水平問題：三次試驗的土豆產(chǎn)量分別為43.15，41.26，38.43（單位：t/ha）

按照假設(shè)這3次重復試驗產(chǎn)生的產(chǎn)量波動完全因隨機誤差所致.如何解釋這3個數(shù)據(jù)的波動？并且土豆產(chǎn)量滿足回歸方程合理嗎？分析：由3個數(shù)據(jù)計算得

30個試驗數(shù)據(jù)絕大多數(shù)落在區(qū)間(33.82,48.07)之內(nèi)

由施肥水平變化所引起的土豆產(chǎn)量的變動幅度不及隨機誤差產(chǎn)生的波動幅度大

.不合理不合理的原因：實際上三次重復試驗帶有系統(tǒng)誤差主要來源于土壤肥力,生長期的管理措施等多種試驗時的外界條件變化.

試驗設(shè)計中，把在試驗實施過程中外界環(huán)境條件的差異所造的系統(tǒng)偏差稱為區(qū)組效應.

施肥問題中,對應于每種營養(yǎng)素的10個施肥試驗點