江蘇省泰州市中考數(shù)學試題-(解析版)

2019年江蘇省泰州市中考數(shù)學試卷及答案

（考試時間120分鐘，滿分150分）

請注意：1.本試卷選擇題和非選擇題兩個部分，

2.所有試題的答案均填寫在答題卡上，答案寫在試卷上無效，

3.作圖必須用2B鉛筆，并請加黑加粗。

第一部分選擇題（共18分）

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符

合題目要求的，選擇正確選項的字母代號涂在答題卡相應的位置上）

1.-1的相反數(shù)是（）

A.±1B.-1C.0D.1

【答案】D.

【解析】

【分析】

根據(jù)相反數(shù)的意義，直接可得結論.

【詳解】解：-1的相反數(shù)是1.

故選：D.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的意義.理解a的相反數(shù)是-a,是解決本題的關鍵.

2.下列圖形中的軸對稱圖形是（）

【解析】

根據(jù)軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合。因此:

A、不是軸對稱圖形，不符合題意；

B、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，不符合題意。

故選B.

【點睛】本題考查了軸對稱的定義.理解軸對稱的定義，是解決本題的關鍵.

3,方程2x?+6x—1=0的兩根為X]、X2,則X1+X2等于（）

A.16B.6C.-3D.3

【答案】C.

【解析】

試題分析：???一元二次方程2x2+6x—1=0的兩個實根分別為X”X2,由兩根之和可得;

-6Q

..X[+X2=--=3,

2

故答案為：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系.熟記公式是解決本題的關鍵.

4.小明和同學做“拋擲質地均勻的硬幣試驗”獲得的數(shù)據(jù)如下表（）

拋擲次數(shù)100200300400500

正面朝上的頻數(shù)5398156202244

若拋擲硬幣的次數(shù)為1000,則“正面朝上”的頻數(shù)最接近

A.200B.300C.500D.800

【答案】C.

【解析】

試題分析：拋擲質地均勻的硬幣可能出現(xiàn)的情況為：正，反.

,隨著次數(shù)的增多，頻數(shù)越接近于一半。

故答案為：C.

【點睛】本題考查了頻數(shù)的定義，了解頻數(shù)的意義是解決本題的關鍵.

5.如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的頂點上，則4ABC

的重心是（）

A.點DB.點E

C.點FD.點G

【答案】A.

【解析】

試題分析：三角形三條中線的條點叫重心，重心到對邊中點的距離是它到頂點距離的一半。

二由網(wǎng)格點可知點D是三角形的重心.

故答案為：A.

【點睛】本題考查了重心的定義，掌握重心的性質是解決本題的關鍵.

6.若2a—3b=—1,則代數(shù)式4a2—6ab+3b的值為()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B.

【解析】

試題分析：首先對前面兩項提取公因式2a,然后把2a—3b=-1代入即可求解.

詳解：原式=2a(2a—3b)+3b=2aX(-1)+3b=—(2a—3b)=—(—1)=1.

故答案為：B.

【點睛】本題主要考查的是因式分解的方法，屬于基礎題型，掌握代數(shù)式的變換是解決本題的關鍵.

第二部分非選擇題(共132分)

二、填空題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.)

7.計算：(Jt—1)。=.

【答案】1.

【解析】

試題分析：(a#))(Jt—1)1.

故答案為：1

【點睛】本題主要考查的是零次幕的定義，掌握公式的意義是解決本題的關鍵.

8.若分式一―有意義，則x的取值范圍是

2x-l

【答案】x\.

2

【解析】

試題分析：求分式中的x取值范圍，就是求分式有意義的條件，根據(jù)分式分母不為0的條件，要使」一

2x-l

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須2x—19，

2

【點睛】本題主要考查分式有意義的條件，，掌握分式有意義，分母不為0這一條件，是解決本題的關鍵.

9.2019年5月28日，我國“科學”號遠洋科考船在最深約為11000m的馬里亞納海溝南側發(fā)現(xiàn)了近10

片珊瑚林，將11000用科學記數(shù)法表示為.

【答案】i.ixi(y*.

【解析】

試題分析：科學記數(shù)法的表示形式為axl(r的形式，其中10a|VlO,n為整數(shù).確定n的值時，要看把原

數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值>10時，n是正

數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，n是負數(shù).11000=1.IxlO4,

故答案為：l.lxlO4.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axion的形式，其中l(wèi)5|a|<10,n為

整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

x<1

10.不等式組《_的解集為

x<-3---------

【答案】x<-3.

【解析】

試題分析：由不等式組的解集可知，“同小取小”，從而得出結果.

故答案為：x<-3.

【點睛】本題考查求不等式組解集的性質，熟練得出不等式組的解集是解題關鍵.

11.八邊形的內(nèi)角和為.

【答案】1080.

【解析】

試題分析：本題考查了三角形的內(nèi)角和公式，代入公式（n-2）xl80°,即可求得.

/.（8-2）x180°=1080.

故答案為：1080.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和公式，掌握公式熟練運算是解題關鍵.

12.命題“三角形的三個內(nèi)角中至少有兩個銳角”是（填“真命題”或“假命題”）.

【答案】真命題.

【解析】

試題分析：因為三角形的內(nèi)角和為180。這一定值，若只有一個內(nèi)角是銳角,則另外兩角必為直角或鈍角，從而

三角形的內(nèi)角和超過180。,所以不可能只有一個是銳角，即三個內(nèi)角中至少有兩個銳角就真命題.

故答案為：真命題.

【點睛】本題考查了三角形三個內(nèi)角之間的關系,及內(nèi)角和為180°這一定值.從而利用反證法，即可得出結論.

13.根據(jù)某商場2018年四個季度的營業(yè)額繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，其中二季度的營業(yè)額為1000萬

元，則該商場全年的營業(yè)額為萬元.

【答案】5000.

【解析】

試題分析：用I減去其他季度所占的百分比即可得到二季度所占的百分比，再用1000除以它所占的百分

比，即可求得商場全年的營業(yè)額.

試題解析：扇形統(tǒng)計圖中二季度所占的百分比=1-35%-25%-20%=20%,

所以1000^20%=5000.

故答案為：5000.

【點睛】本題考查扇形統(tǒng)計圖，能夠從圖形中得到有用信息是解題關鍵.

14.若關于x的方程/+2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則，〃的取值范圍是

【答案】m<l

【解析】

試題分析：根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根可以得到有關m的不等式，解得即可，但要注意二次

項系數(shù)不為零.

【詳解】二?關于x的方程/+2x+m=()有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△=4-4m>0

解得：m<l,

的取值范圍是mVl.

故答案為：m<1.

【點睛】本題考查了根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=()時方程有兩個相等的

實數(shù)根；當4<0時，方程無實數(shù)根.

15.如圖，分別以正三角形的3個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形.若正

三角形邊長為6cm,則該萊洛三角形的周長為cm.

【答案】12n.

【解析】

試題分析：運用扇形弧長公式右闞進行代入計算.

180

〃成120TTx6

【詳解】V1=----=---------=4n,.,.471X3=12n.第15題圖

180180

故答案為：12貝.

【點睛】本題考查了扇形弧長公式，掌握公式熟練運算是解題關鍵.

16.如圖，。0的半徑為5,點P在。0上，點A在。。內(nèi)，且4P=3,過點A作4尸的垂線交于。。點8、

C.設PB=x,PC=y，則y與X的函數(shù)表達式為.

【答案】y=—.

【解析】

試題分析:如圖，連接P0并延長交。O于點N,再連接BN,第16題圖

證明△PBNS/XPAC,由相似三角形對應邊成比例可得出y與X的函數(shù)表達式.

【詳解】如圖，連接P0并延長交。O于點N,連接BN,

；PN是直徑，；./PBN=90°.

VAP1BC,

ZPAC=90。，

.?.NPBN=NPAC,

又；/PNB=/PCA,

/.△PBN^APAC,

.PBPN

PAPC

故答案為:

【點睛】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定和性質.本題的關鍵是輔助的構造及根據(jù)圓周角定理證

明△PBNS/\PAC.

三、解答題（本大題共10小題，滿分102分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要的文字說

明、證明過程或演算步驟）

【答案】⑴3百；（2）x=4.

【解析】

試題分析

（1）根據(jù)算術平方根性質去括號直接計算即可；

（2）觀察可得最簡公分母是（x-2）,方程兩邊同乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解.

【詳解工⑴（我7”灰

=aX癡_J；X后

=4V3-V3

=3百.

2x—53x—3

（2）---------+3=---------

x—2x—2

2x-5+3（x—2）=3x—3

2x—5+3x—6=3x—3

2x=8

x=4

經(jīng)檢驗x=4是原方程的解.

【點睛】（1）考查了解二次根式的運算；（2）解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整

式方程求解；另外解分式方程一定注意要驗根.

18.（本題滿分8分）

PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5PM的顆粒物，它對人體健康和大氣環(huán)境造成不良影響.下表是根

據(jù)（全國城市空氣質量報告）中的部分數(shù)據(jù)制作的統(tǒng)計表，根據(jù)統(tǒng)計表回答下列問題：

2017年、2018年7?12月全國338個地區(qū)及以上城市平均濃度統(tǒng)計表：

（單位：pm/m2）

月份

789101112

年份

2017年272430385165

2018年232425364953

（1）2018年7?12月PM”平均濃度的中位數(shù)為pm/m\

（2）“扇形統(tǒng)計圖”和“折線統(tǒng)計圖”中，更能直觀地反映2018年7?12月PM”平均濃度變化過程和

趨勢的統(tǒng)計圖是；

（3）某同學觀察統(tǒng)計表后說：“2018年7?12月與2017年同期相比，空氣質量有所改善”。請你用一句話

說明該同學得出這個結論的理由。

【答案】（1）36；（2）折線統(tǒng)計圖；；（3）理由是：由表觀察2018年7?12月與2017年同期相比，

2018年PM2.5平均濃度有所下降，從而可知這些城市空氣質量得到了很好的改善.

19.（本題滿分8分）

小明代表學校參加“我和我的祖國”主題宣傳教育活動，該活動分為兩個階段，第一階段有“歌曲演唱”、

“書法展示”、“器樂獨奏”3個項目（依次用A、B、C表示），第二階段有“故事演講”、“詩歌朗

誦”2個項目（依次用E表示），參加人員在每個階段各隨機抽取一個項目完成.用畫樹狀圖或列表的

方法列出小明參加項目的所有等可能的結果，并求小明恰好抽中B、。兩個項目的概率.

【答案】--

6

【解析】

試題分析：畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率公式求解；

開始

詳解：樹狀圖如下：

第一階段A

第二階段D

由樹狀圖可知，所有等可能的結果有6種，恰好抽中B、。兩個項目只有1種；

AP（恰好抽中8、。兩個項目的）A

6A

【點睛】本題考查樹狀圖或列表法求概率的方法.

20.（本題滿分8分）如圖，△ABC中，NC=90°,AC=4,BC=8,

（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線;（保留作圖痕跡，不要求寫作法）C1--------------------------------AB

（2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點D,求BD的長.第2。題圖

A

【答案】⑴詳見解析；（2）BD=5.

【解析】

試題分析

⑴略；

（2）由垂直平分線可得AD=BD,設所求線段BD長為x,則CD=（8-x）,在直角三角形ACD中運用勾

股定理可求得.

【詳解】解：⑴略;

（2）由作圖可知AD=BD,設BD=x,

VZC=90°,AC=4,BC=8,則CD=(8-x),

由勾股定理可得：AC2+CD2=AD2;

/.42+x2=(8-x)2；

解得：x=5.

ABD=5.

【點睛】本題考查了線段的垂直平分的性質、勾股定理的運用等知識：熟練掌握垂直平分線性質及運用勾

股定理是解題的關鍵.

21.（本題滿分10分）某體育看臺側面的示意圖如圖所示，觀眾區(qū)AC的坡度i=l:2,頂端C離水平地

面AB的高度為10m,從頂棚的口處看￡處的仰角。=18。30',豎直的立桿上C、D兩點間的距離為

4m,E處到觀眾區(qū)底端A處的水平距離AF為3m,求：

（1）觀眾區(qū)的水平寬度AB；

（2）頂棚的E處離地面的高度EF.

（sinl8030‘比0.32,tan1803O,七0.33,結果精確到0.1m）

【答案】（1）AB=20m;

（2）EF=21.6m.

試題分析：（1）由在RsABC中，AC的坡度i=l：2,BC=10m,即可求得答案;

（2）首先過點D作DGLEF于點G,然后在RtADEG中，求得EG,繼而求得答案.

試題解析：（1）在RtAABCE中，

VAC的坡度1=1：2,BC=10m,

BC_1

.?.AB=20m;

答：觀眾區(qū)的水平寬度AB為20m.

(2)如圖過點D作DGLEF于點G,

AF=3m,

；.FB=23m;

DG=23m;

在RtADEG中，

EG

Vtana=——，a=18°30',

DG

EG

tan18°30'=-----,

DG

：.EG=DGXtanl8030,

弋23X0.33

=7.59

^7.6m,

，EF=7.6+10+4=21.6m.

答：頂棚的E處離地面的高度EF為21.6m.

考點：解直角三角形的應用及仰角問題.

22.（本題滿分10分）

如圖，在平面直角坐標系xoy中，二次函數(shù)圖像的頂點坐標為（4,-3）,該圖像與x軸相交于點

A、B,與y軸相交于點C,其中點A的橫坐標為1.

（1）求該二次函數(shù)的表達式；

（2）求tanNABC.

io7

【答案】（1）y=-x2-—x+—；

333

（2）tanZABC=—.

3

試題分析：（1）由頂點坐標（4,-3）,可設二次函數(shù)的表達式為y=a（x-4）2—3;再由點A的橫坐標為

1.可求得二次函數(shù)的表達式;

（2）由（1）求得點C、點B的坐標，從而得出OC、OB的長，從而可求得tan/ABC.

試題解析：（1）?.?頂點坐標為（4,-3）

，可設二次函數(shù)的表達式為y=a(x-4)2-3；

又：點A的橫坐標為1,縱坐標為0,

,0=a(l-4)2-3,

1

a=—,

3

(x-4)2-3,

即y——x1——x+—.

333

7

(2)由(1)可得當x=0時，y=一，

3

當y=0時，-(x—4)2—3=0,

求得Xl=l,X2=7,

7

二點C的坐標為(0,一),點B的坐標為(7,0).

3

7

，OC=-,OB=7,

3

OC1

tanZABC=----=—.

OB3

【點睛】考查用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的性質，三角函數(shù)的應用.解題的關鍵是求出線段

OC,OB的長.

23.(本題滿分10分)

小李經(jīng)營一家水果店，某日到水果批發(fā)市場批發(fā)一種水果.經(jīng)了解，一次性批發(fā)這種水果不得少于

100kg,超過300kg時，所有這種水果的批發(fā)單價均為3元/kg.圖中折線表示批發(fā)單價y(元/kg)與質量

x(kg)的函數(shù)關系.

(1)求圖中線段AB所在直線的函數(shù)表達式；

(2)小李用800元一次可以批發(fā)這種水果的質量是多少？

【答案】(l)y=-O.Olx+6(100^x^300).(2)200kg.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題意，由單價是5元/kg,可賣出100kg；單價是3元/kg,可賣出300kg,

可得單價y(元/kg)與質量x(kg)的函數(shù)關系;

(2)根據(jù)題意當單價y與質量x的關系可得方程。

【詳解】(1)依題意：設線段AB所在直線的函數(shù)表達式為：y=kx+b,

將點A(100,5),B(300,3)代入得:

'5=100"。僅=-0.01

<cccc,；解得：《

3=300%+b[b=6

y=-0.01x+6(100WxW300).

答：線段AB所在直線的函數(shù)表達式為y=-0.01x+6(100^x^300).

(2)依題意有：(-O.Olx+6)?x=800,

求得：xi=200,X2=400(舍)，

答：小李用800元一次可以批發(fā)這種水果的質量200kg.

【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用等知識，正確利用單價x總量=總價得出

方程是解題關鍵.

24.（本題滿分10分）

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，D為弧AC的中點，過點D作DE〃AC,交BC

的延長線于點E.

（1）判斷DE與。。的位置關系，并說明理由；

（2）若。0的半徑為5,AB=8,求CE的長.

25

【答案】（1）;（2）CE=—.

4

【解析】

【分析】

（1）首先判斷DE與。O相切，連接OD可證得DE垂直O(jiān)D：

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質即可得到結論.

【詳解】（1）DE為。。的切線，

理由：連接OD,

：AC為。。的直徑，D為弧AC的中點，

弧AD=<CD,

.../A00=/C0￡>=90°,

又；DE〃AC,

:.NEDO=NAOD=90°,

；.DE為。。的切線.

(2)解：VDE^AC,

：.ZEDO=ZACD,

?.?/ACD=NABD

NDCE=/BA。，

...△DCEs^BAD,

CEDC

"~AD~~AB

?.?半徑為5,，AC=10,

?/D為弧AC的中點，

；.AD=CD=5痣

CE5五

5行一8

【點睛】

本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

25.(本題滿分12分)

如圖，線段AB=8,射線BG_LAB,P為射線8G上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C、D與點B

在AP兩側，在線段DP上取一點E,使直線CE與線段AB相交于點F(點F與點A、

B不重合).

(1)求證：4AEP合ACEP;Ji

(2)判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；\G

(3)求AAEF的周長.

第25題圖

【答案】(1)①證明見解析，(2)C凡LA&

⑶△AEF的周長為16.

【解析】

(1)證明：???四邊形APCD正方形，

：.DP平分NAPC,PC=PA,

：.ZAPD=ZCPD=45°,

???△AEPM△CEP.

(2)CF1.AB.

理由如下：*.?△AEP2△CEP,

：.ZEAP=ZECP,

ZEAP=ZBAP.

第25題圖

:.ZBAP=NFCP,

?：NFCP+/CMP=90°,NAMF=NCMP,

：.ZAMF+ZPAB=90°,

AZAFM=90°,

：.CFLAB.

(3)過點C作CNJ_PB.可證得^PCN些△APB,

:.CN=PB=BF,PN=AB,

?.?△AEPM△CEP,，AE=CE,

AAE+EF+AF

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

=2AB

=16.

【點睛】

本題考查了正方形性質、全等三角形的相關應用解題的關鍵.

26.(本題滿分14分)

m

已知一次函數(shù)yi=h+〃(〃<0)和反比例函數(shù)以=—(m>0,x>0),

x

(1)如圖1,若〃=—2,且函數(shù)yi、”的圖像都經(jīng)過點A(3,4).

①求m、攵的值；

②直接寫出當6>以時x的范圍；

n

(2)如圖2,過點P(1,0)作y軸的平行線I與函數(shù)”的圖像相交于點B,與反比例函數(shù)”=—

X

(x>0)的圖像相交于點C

①若上=2,直線/與函數(shù)y的圖像相交于點D,當點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等時，

求m—n的值；

②過點B作x軸的平行線與函數(shù)月的圖像相交與點E,當m-n的值取不大于1的任意實數(shù)時，點

B、C間的距離與點B、E間的距離之和“始終是一個定值，求此時k的值及定值

第26題圖

【答案】(1)①m=12；k—2.②x>3；(2)①m-n=l或m-n=4；②左=1,d—\.

【分析】

(1)①把點A(3,4)的坐標代入玖=一，即可求出的丫2函數(shù)表達式；從而得出m的值；再由"=一2,

X

和點A(3,4)的坐標代入〃可求得k.

②由函數(shù)圖像的性質可直接得出X的范圍；

(2)①由題意可設點。、點8、點C的坐標，再由題意得出方程.

②由題意可得出d關于鼠m的關系式，從而可求得結論.

ni

【詳解】(1)①。2=—,過點A(3,4).

X

m

：.4=—

3

.?.m=12?

又??,點A(3,4)9=丘+〃的圖象上，且〃=—2,

???4=3k—2,

:.k=2.

②由圖像可知當x>3時，力>)2

(2)①；直線？過點P(1,0),

：.D(1,2+n),B(1,m),C(1,n),

又?.?點B、C、D中的一點到另外兩點的距離相等，

；.BD=BC,或BD=DC;

.*.2+n-m=m-n;或m-(2+n)=2+n-n;

Am-n=1或m-n=4.

②由題意可知，B(1,m),C(1,n),

當yi=m時，kx+n=n\9

m-n

/.x=-------

k

ITI-n

即點E為(——0)

k

???d=BC+BE

1m-n

=根一〃+1+-------

k

={m-n)(l--)+1

k

Vm-n的值取不大于l的任意實數(shù)時，d始終是一個定值，

AI--=0

k

從而d=l.

【點睛】

考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，反比例次函數(shù)式，綜合性比較強，注意分類討論思想在解題中的應

用.

初中數(shù)學重要公式

1、幾何計數(shù):

⑴當一條直線上有n個點時，在這條直線上存在條線段.

（2）平面內(nèi)有"個點，過兩點確定一條直線，在這個平面內(nèi)最多存在條直線.

⑶如果平面內(nèi)有n條直線，最多存在個交點.

⑷如果平面內(nèi)有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個角.

2、AB//CD,分別探討下面四個圖形中N1R7與N必氏/PCD忸美系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

b.兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

c.兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（簡記為）.

e.斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（簡記為）.

4、坐標系中的位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，位似比為k,那么位

似圖形對應點的坐標的比等于.

5、"邊形的內(nèi)角和等于；多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個內(nèi)角中，最多能有—3一個鈍角，最多能有—3_個銳角.如果一個多邊形的邊數(shù)增加1,

那么這個多邊形的內(nèi)角和增加180—度.

4."邊形有條對角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊的鋪成

一片，就是平面圖形的.

［注意］要實現(xiàn)平面圖形的鑲嵌，必須保證每個拼接點處的角恰好能拼成。.

［總結］平面圖形的鑲嵌的常見形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個正三角形或個正四邊形或個正

六邊形.

（2）用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個正三角形和個正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個正三角形和個正六邊形或者用個正三角形

和個正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個正四邊形和個正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進行鑲嵌，設用m塊正三角形、n塊正方形、A塊正六邊形，則有60m

+90/?+120k=360,整理得>因為m、/?、k為整數(shù)，所以?n=,

k=,即用塊正方形，塊正三角形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法:

7、如圖：RtZ\A8C中，ZACB=90°,C0，A8于。,

則有:

⑴、ZACD=ZBZDCB=ZA

(2)由RtAZIBCsM/\ACD得到AO=ADAB

由RtA^BCsRtACBD得至IJBU=BDAB

由RtA^CDsRtACBD得到C?=ADB3

(3)、由等積法得到ABXCD=ACX8C

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形，S1+S2=S3都成立。

9、在解直角三角形時常用詞語:

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做,視線在水平線下方的叫做.

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度I之比叫,用字母i表示，即1=,把坡面與水平面

的夾角叫做,記作a,于是i==tana,顯然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.

10.正多邊形的有關計算

*“180°

邊長：a?=2R??sin-------周長：P?=n?a

nn

生、昨180°

邊心距：r=R?*cos------面積：S=-a?r?*n

nnnn

n-2X180°360°360°

內(nèi)角:外角:中心角:

nn

11、特殊銳角三角函數(shù)值

成比例。

如圖：a〃b〃c,直線/i,與/2分別與直線a、b、c相交與點4、8、C和D、E、F,

e七ABDEA.BDEBCEF

則有——=——,——=——,——=——

BCEFACDFACDF

（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比

例。如圖：△ABC中，DE//BC,DE與AB,AC相交與點D、E,則有：

AD_AEAD_AE_DEDB_EC

~DB~~EC'~^B~~AC~~BC'~AB~~AC

14、極差、方差與標準差計算公式：

①極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即:

極差=最大值-最小值；

②方差：

數(shù)據(jù)占、X2……，型的方差為$2,

③標準差：

數(shù)據(jù)X]、x2...,貓的標準差S,

則S=1L(玉_x)+(%2_x)+..+(x“—X

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大。

15、求拋物線的頂點、對稱軸的方法

①公式法：y=ax2+bx+c=c[x+^-\+竺￡z2_,頂點是(一2,皿_L),對稱軸

[2a)4a2a4a

是直線％=-2。

2ci

②配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=Q(x-〃)2+Z的形式，得到頂點為

(h,k)9對稱軸是直線x=hQ

③運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點

是頂點。

若已知拋物線上兩點。，y)、(&,y)(及y值相同)，則對稱軸方程可以表示為：X=土產(chǎn)

16、直線與拋物線的交點

2

①)軸與拋物線y=ax+8x+c得交點為。c)o

②拋物線與x軸的交點。

二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標X]、x2,是對應一元二次方程

ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判

別式判定：

a有兩個交點<=>(A>0)。拋物線與x軸相交；

b有一個交點(頂點在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；

c沒有交點o(△<0)o拋物線與x軸相離。

③平行于X軸的直線與拋物線的交點

同②一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等,

設縱坐標為則橫坐標是G?+8x+c=Z的兩個實數(shù)根。

④一次函數(shù)y=kx+n{kH0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)的圖像G的交點，

y=kx+n

由方程組',的解的數(shù)目來確定：

y=ax'+bx+c

a方程組;，兩組不同的解時=/與G有兩個交點；

b方程組只有一組解時o/與G只有一個交點；

c方程組無解時o/與G沒有交點。

⑤拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點為

A(x,,0).80，0),則=

圖形的定義、性質、判定

一、角平分線

性質：角的平分線上的點到角兩邊的相等.

判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在上.

二、線段垂直平分線

1.性質：線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離.

2.判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的上.

［點撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個端點距離相等的所有點的集合.

三、等腰三角形

定義、性質：

1.定義：有兩相等的三角形是等腰三角形.

2.性質：

⑴等腰三角形兩個腰.

⑵等腰三角形的兩個底角(簡寫成等邊對等角).

⑶等腰三角形的頂角,底邊上的,底邊上的________互相重合.

⑷等腰三角形是軸對稱圖形，有條對稱軸.

［注意］(1)等腰三角形兩腰上的高相等.

⑵等腰三角形兩腰上的中線相等.

⑶等腰三角形兩底角的平分線相等.

⑷等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

⑸等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行.

⑹等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

⑺等腰三角形底邊延長線上任意一點到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

判定：

1.定義法.

2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫為“等角對等邊“).

［注意］(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.

⑵一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

⑶一邊上的中線與三角形中這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

四、等邊三角形

1.等邊三角形的性質

⑴等邊三角形的三條邊都相等.

⑵等邊三角形的三個內(nèi)角都相等并且每一個角都等于60°.

⑶等邊三角形是軸對稱圖形，并且有條對稱軸.

［注意］等邊三角形具有等腰三角形的所有性質.

2.等邊三角形的判定

⑴三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.

⑵三個角相等的三角形是等邊三角形.

⑶有一個角等于60°的三角形是等邊三角形

五、直角三角形

1.定義：有一個角是直角的三角形是直角三角形.

2.直角三角形的性質

⑴直角三角形的兩個銳角.

⑵直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的.

⑶在直角三角形中，30°的角所對的邊等于斜邊的.

(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30度。

(5)、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為。、b,斜邊長為c,那么/+匕2=

3.直角三角形的判定

(1)、判定：如果一個三角形中有兩個角互余，那么這個三角形是三角形.

(2)、如果三角形的三邊長分別為a、b、C,滿足，2+b2=c2,那么這個三角形是三角形.

(3)、如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

(4)、直徑所對的圓周角是90度。

(5)、如果一個三角形的外心在三角形的一條邊上，那么這個三角形是直角三角形。

(6)、圓的切線垂直于過切點的半徑。

六、相似三角形

1.相似三角形的對應角,對應邊的比.相似多邊形對應角相等，對應邊的比.

相似多邊形周長的比等于.相似多邊形面積的比等于的平方.

2.相似三角形的周長比等于.

3.相似三角形的面積比等于相似比的.

［注意］相似三角形的對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比.

判定定理：

1.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.

2.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.

3.如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

［注意］直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形都相似.

七、位似圖形

1.定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫

做位似圖形，這個點叫做.

［注意］位似圖形是相似圖形的一個特例，位似圖形一定是相似圖形，相似圖形不一定是位似圖形.

2.位似圖形的性質

⑴位似