高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》教案附知識點歸納典型例題練習(xí)訓(xùn)練題新課標(biāo)人教A版選修2-2

選修2-2《數(shù)學(xué)概括法》教課設(shè)計一.教課內(nèi)容：數(shù)學(xué)概括法.要點、難點：數(shù)學(xué)概括法步驟：（1）（概括奠定）證明當(dāng)n取第一個值n0（n0N*）時命題建立。（2）（概括遞推）假定nk(kn0,kN*)時命題建立，證明當(dāng)nk1時命題也建立?！镜湫屠}】111111111[例1]nN*求證：2342n12nn1n22n。證明：11（1）n1，左122右，建立（2）假定nk時建立111111112342k12kk12k即：111111當(dāng)nk1時，左=22k12k2k12k2=右即nk1時，建立綜上所述，由（1）（2）對全部nN*命題建立。[例2]nN*求證：122232(2n1)(2n)22n(2n1)2證明：1）n1，左=4－18=－14=（—1）×2×7=右（2）假定nk時建立即：122232(2k1)(2k)22k(2k1)2當(dāng)nk1時左1.222.32(2k1)(2k)22k(2k1)2=右即：n=k+1時建立綜上所述由（1）（2）命題對全部nN*建立另解：令{an}中，a1122232∴an2n(6n1)[12n22n][例3]nN*(11)(11)(11)2n1求證：32n1證明：（1）n=1左=1+1=2=43右（2）假定n=k時建立(11)(11)(11)2k1即：32k12k1(11)2k2當(dāng)nk1時，左2k12k1欲證：左2(k1)1右2k22k3∴左側(cè)2k1∴nk1時建立綜上所述由（1）（2）對全部nN*命題建立N*，n111121[例4]關(guān)于n2，求證：2232n2n。證明：115321（1）n2，左4422右（2）假定n=k時建立1111212232k2k即：111112112232k2(k1)2k(k1)2當(dāng)nk1時，左=11(k1)12122kk(k1)k(k1)k1右即nk1時建立綜上所述由（1）（2）對全部nN*，n2命題建立[例5]關(guān)于nN*，求證：(x1)n1(x2)2n1，可被(x23x3)整除。證明：（1）n1，左(x1)2(x2)1x23x3建立（2）假定n=k時建立即：(x1)k1(x2)2k1(x23x3)f(x)當(dāng)nk1時，(x1)k2(x2)2k1nk1時建立綜上所述由（1）（2）對全部nN*[例6]求證：nN*，352n123n1可被17整除。證明：1）n=0，左=15+2=17建立2）假定n=k建立即352k123k117M，M∈N當(dāng)nk1時，352k323k425352k1823k1[例7]能否存在常數(shù)a,b,c使122232n(n1)21n(n1)(an2bnc)12對全部nN*恒建立。證明：令n1,2,3下證明對全部nN*122232n(n1)21n(n1)(3n211n10)12恒建立1）n=1時，明顯建立2）假定n=k時建立1k(k1)(3k211k10)(k1)(k2)2當(dāng)nk1時，左12nk1時建立綜上所述由（1）（2）對全部nN*命題建立{an}a1b(b2)an11(nN*)an[例8]數(shù)列知足，2an，求。a1b,a2112ba4132b,a32a22a343b解：2b32b，an(n1)(n2)b∴推斷n(n1)b證明：1）n=1建立2）假定n=k建立ak(k1)(k2)bk(k1)b即ak11k(k1)b當(dāng)nk2ak2[k(k1)b][(k1)(k2)b]1時，∴nk1建立an(n1)(n2)b綜上所述對全部nN*n(n1)b，建立a12p,an2pp20為常數(shù)），試判斷p能否為數(shù)列{an}中的一項。[例9]an1（p證明：a12p,a23,a34p23ann1p推斷n1）n1建立2）假定n=k建立p2p2k1ak12p2ppakk1akk，nk1時，p即k2pkpk2pk1k1建立綜上所述對全部nN*ann1p，n建立∴p不是an中的一項[例10]數(shù)列{an}知足a12,an1an1,annN*（1）求證：an2n1對全部nN*建立；bnann，nN*，試比較bn與bn（2）令1大小關(guān)系。（1）①n1,a123建立②假定n=k時建立，即ak2k1ak211ak222k312k3當(dāng)n=k+1時，ak2ak2∴ak12k3∴nk1時建立綜上所述由①②對全部nN*，an2n1an21an21212]an222n1nn1[anan2n（2）bn1bn∴nN*，bn1bn【模擬試題】1.用數(shù)學(xué)概括法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n13(2n1)(nN*)時，從n=k到n=k+1，左端需要增添的代數(shù)式為（）2(2k1)2k12k3A.2k1B.C.k1D.k11111n(nN*,n1)2.用數(shù)學(xué)概括法證明232n1時，第一步應(yīng)考證不等式（）112112213A.B.21113111323134C.D.21an2(a1)1aa2an11時，左3.用數(shù)學(xué)概括法證明：“1a”，在考證n端計算所得的項為（）A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a3f(n)111(nN*)1)f(n)等于（4.設(shè)n1n22n，那么f(n）111111A.2n1B.2n2C.2n12n2D.2n12n25.使不等式2nn21對隨意nk的自然數(shù)都建立的最小k值為（）A.26.若命題p(n)對n=k建立，則它對nk2也建立，又已知命題p(2)建立，則以下結(jié)論正確的選項是（）p(n)對全部自然數(shù)n都建立p(n)對全部正偶數(shù)n建立p(n)對全部正奇數(shù)n都建立p(n)對全部大于1的自然數(shù)n建立x11,x221127.數(shù)列{xn}知足3，且xn1xn1xn（n2），則xn（）2(2)n1(2)n2A.n1B.3C.3D.n28.已知數(shù)列{an}的前n項和Snn2an(n2)，而a11，經(jīng)過計算a2,a3,a4，猜想an（）2222A.(n1)2B.n(n1)C.2n1D.2n1f(x)ax3x21x[1,1]f(x)19.函數(shù)2的最大值不大于6，又42時，8（1）求a0a11,an1f(an)N*an1（2）設(shè)2，n，求證：n110.設(shè)a0為常數(shù)，an3n12an1,nN*證明對隨意nN*【試題答案】1.B2.B3.C4.D5.D6.Bfaa21()636f(1)a31a12288f1)a31(43289.證明：41（1）n=1a12建立（2）假定nk時建立ak1，當(dāng)n=k+1時，ak1ak(13ak)即k12∴nk1建立an1綜上所述對全部