楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)ppt

關(guān)于楊輝三角與二項式系數(shù)的性質(zhì)ppt第1頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四一般地，對于n∈N*有二項定理:二項展開式中的二項式系數(shù)指的是哪些？共有多少個？45

下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？第2頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111對稱性第3頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四《詳解九章算法》中記載的表楊輝楊輝三角第4頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關(guān)系嗎？

3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?第5頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1②從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++第6頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．第7頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．這一性質(zhì)可直接由公式得到．圖象的對稱軸：第8頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四（2）增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定．

由：

可知，當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。第9頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四

因此，當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)、相等，且同時取得最大值。（2）增減性與最大值

第10頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四（3）各二項式系數(shù)的和

在二項式定理中，令，則：

這就是說，

的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：第11頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四

（1）

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下基本性質(zhì)：

（2）（4）

（3）當n為偶數(shù)時，最大

當n為奇數(shù)時，=且最大

（對稱性）第12頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四第0行

1第1行

11第2行

121第3行

1331第4行

1461第5行

151第6行

161561第n-1行

11

第n行

11……………

……………………

第7行

172121711035++++=3551520104“斜線和”=第13頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四第14頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四

125第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行

11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641……138132134如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？第8行

18285670562881

從第三個數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個數(shù)的和，

這就是著名的斐波那契數(shù)列，也稱為兔子數(shù)列。第15頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四斐波那契數(shù)列斐波那契

（11701250）

意大利商人兼數(shù)學(xué)家,他的著作《算盤書》中,首先引入阿拉伯數(shù)字，將“十進制”介紹給歐洲人認識，對歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展有深遠的影響。第16頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四例1

證明：在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令，則：

第17頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四已知求:(1)

；

(2)；

(3);(4)第18頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四變式:若將“只有第10項”改為“第10項”呢？解第19頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四類型：求展開式中系數(shù)最大的項方法:利用通項公式建立不等式組第20頁，共23頁，2023年，2月20日，星期四變式練習(xí)：在(3x-2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項;(2)系數(shù)絕對值最大的項.解:(2)設(shè)系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項.則

即3(r+1)>2(20-r)解得

2(21-r)>3r

所以當