（全國通用）2023高考數學一輪復習第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系教師用書文新人教A版

PAGEPAGE1第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系————————————————————————————————[考綱]1.能根據給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.初步了解用代數方法處理幾何問題的思想．1．判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系：d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數法：聯(lián)立直線l與圓C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，計算判別式Δ＝b2－4ac，Δ>0?相交，Δ＝0?相切，Δ<0?相離．2．圓與圓的位置關系設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0).方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數法：聯(lián)立兩個圓的方程組成方程組的解的情況相離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數解相交|r2－r1|<d<r1＋r2兩組不同的實數解內切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數解內含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解1．(思考辨析)判斷以下結論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)“k＝1〞是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交〞的必要不充分條件．()(2)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數解，那么兩圓外切．()(3)如果兩圓的圓心距小于兩半徑之和，那么兩圓相交．()(4)假設兩圓相交，那么兩圓方程相減消去二次項后得到的二元一次方程是公共弦所在直線的方程．()[解析]依據直線與圓、圓與圓的位置關系，只有(4)正確．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關系為()A．內切 B．相交C．外切 D．相離B[兩圓圓心分別為(－2,0)，(2,1)，半徑分別為2和3，圓心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴兩圓相交．]3．(2022·合肥調研)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，那么b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D[由圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圓心(1,1)，半徑為1，所以eq\f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.]4．在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為__________．eq\f(2\r(55),5)[圓心為(2，－1)，半徑r＝2.圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(55),5).]5．(2022·全國卷Ⅰ)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，假設|AB|＝2eq\r(3)，那么圓C的面積為________．4π[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圓心C(0，a)，半徑r＝eq\r(a2＋2).|AB|＝2eq\r(3)，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0－a＋2a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.]直線與圓的位置關系(1)(2022·豫南九校聯(lián)考)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關系是()【導學號：31222298】A．相交 B．相切C．相離 D．不確定(2)假設點P(1,2)在以坐標原點為圓心的圓上，那么該圓在點P處的切線方程為__________．(1)A(2)x＋2y－5＝0[(1)法一：∵圓心(0,1)到直線l的距離d＝eq\f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq\r(5).故直線l與圓相交．法二：直線l：mx－y＋1－m＝0過定點(1,1)，∵點(1,1)在圓C：x2＋(y－1)2＝5的內部，∴直線l與圓C相交．(2)∵以原點O為圓心的圓過點P(1,2)，∴圓的方程為x2＋y2＝5.∵kOP＝2，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,2).由點斜式可得切線方程為y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.][規(guī)律方法]1.(1)利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關系；(2)注意靈活運用圓的幾何性質，聯(lián)系圓的幾何特征，數形結合，簡化運算．如“切線與過切點的半徑垂直〞等．2．與弦長有關的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構成直角三角形進行求解．[變式訓練1](1)(2022·山西忻州模擬)過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，那么該切線的方程為()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2022·全國卷Ⅲ)直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，那么|CD|＝__________.(1)B(2)4[(1)依題意知，點(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點．∴圓心(1,0)與切點(3,1)連線的斜率為eq\f(1,2).因此切線的斜率k＝－2.故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.(2)由圓x2＋y2＝12知圓心O(0,0)，半徑r＝2eq\r(3).∴圓心(0,0)到直線x－eq\r(3)y＋6＝0的距離d＝eq\f(6,\r(1＋3))＝3，|AB|＝2eq\r(12－32)＝2eq\r(3).過C作CE⊥BD于E.如下圖，那么|CE|＝|AB|＝2eq\r(3).∵直線l的方程為x－eq\r(3)y＋6＝0，∴kAB＝eq\f(\r(3),3)，那么∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°.∴|CD|＝eq\f(|CE|,sin60°)＝eq\f(|AB|,sin60°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.]圓與圓的位置關系(2022·山東高考)圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，那么圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是()A．內切 B．相交C．外切 D．相離B[法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0))得兩交點為(0,0)，(－a，a)．∵圓M截直線所得線段長度為2eq\r(2)，∴eq\r(a2＋－a2)＝2eq\r(2).又a>0，∴a＝2.∴圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2.又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1，∴|MN|＝eq\r(0－12＋2－12)＝eq\r(2).∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴兩圓相交．法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴M(0，a)，r1＝a.∵圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2eq\r(2)，∴圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a2－2)，解得a＝2.以下同法一．][規(guī)律方法]1.圓與圓的位置關系取決于圓心距與兩個半徑的和與差的大小關系．2．假設兩圓相交，那么兩圓的公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項得到．3．假設兩圓相交，那么兩圓的連心線垂直平分公共弦．[變式訓練2]假設⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，那么線段AB的長度是__________．4[由題意⊙O1與⊙O在A處的切線互相垂直，那么兩切線分別過另一圓的圓心，∴O1A⊥OA.又∵|OA|＝eq\r(5)，|O1A|＝2eq\r(5)，∴|OO1|＝5.又A，B關于OO1對稱，∴AB為Rt△OAO1斜邊上高的2倍．又∵eq\f(1,2)·OA·O1A＝eq\f(1,2)OO1·AC，得AC＝2.∴AB＝4.]直線與圓的綜合問題(2022·江蘇高考改編)如圖8-4-1，在平面直角坐標系xOy中，以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點A(2,4)．(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標準方程；(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC＝OA，求直線l的方程．圖8-4-1[解]圓M的標準方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圓心M(6,7)，半徑為5.1分(1)由圓心N在直線x＝6上，可設N(6，y0)．因為圓N與x軸相切，與圓M外切，所以0<y0<7，圓N的半徑為y0，從而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.4分因此，圓N的標準方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分

(2)因為直線l∥OA，所以直線l的斜率為eq\f(4－0,2－0)＝2.設直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，那么圓心M到直線l的距離d＝eq\f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq\f(|m＋5|,\r(5)).8分因為BC＝OA＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，而MC2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2，所以25＝eq\f(m＋52,5)＋5，解得m＝5或m＝－15.故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.12分[規(guī)律方法]1.(1)設出圓N的圓心N(6，y0)，由條件圓M與圓N外切，求得圓心與半徑，從而確定圓的標準方程．(2)依據平行直線，設出直線l的方程，根據點到直線的距離公式及勾股定理求解．2．求弦長常用的方法：①弦長公式；②半弦長、半徑、弦心距構成直角三角形，利用勾股定理求解(幾何法)．[變式訓練3]在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為圓心的圓與直線：x－eq\r(3)y＝4相切．(1)求圓O的方程；(2)假設圓O上有兩點M，N關于直線x＋2y＝0對稱，且|MN|＝2eq\r(3)，求直線MN的方程．[解](1)依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線x－eq\r(3)y＝4的距離，那么r＝eq\f(4,\r(1＋3))＝2.所以圓O的方程為x2＋y2＝4.5分(2)由題意，可設直線MN的方程為2x－y＋m＝0.那么圓心O到直線MN的距離d＝eq\f(|m|,\r(5)).7分由垂徑分弦定理，得eq\f(m2,5)＋(eq\r(3))2＝22，即m＝±eq\r(5).10分所以直線MN的方程為2x－y＋eq\r(5)＝0或2x－y－eq\r(5)＝0.12分[思想與方法]1．直線與圓的位置關系表達了圓的幾何性質和代數方程的結合，解題時要抓住圓的幾何性質，重視數形結合思想方法的應用．2．計算直線被圓截得的弦長的常用方法：(1)幾何方法：運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算．(2)代數方法：弦長公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).[易錯與防范]1．求圓的弦長問題，注意應用圓的性質解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質，可以用勾股定理或斜率之積為“－1〞列方程來簡化運算．2．過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，假設僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．課時分層訓練(四十八)直線與圓、圓與圓的位置關系A組根底達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，那么直線ax＋by＝1與圓O的位置關系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定B[由題意知點在圓外，那么a2＋b2>1，圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，故直線與圓相交．]2．(2022·山西太原模擬)假設圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，那么m＝()A．21 B．19C．9 D．－11C[圓C1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，因為圓C2的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圓C2的圓心為C2(3,4)，半徑r2＝eq\r(25－m)(m<25)．從而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.兩圓外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9.]3．圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，那么實數a的值是()A．－2 B．－4C．－6 D．－8B[由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圓心坐標為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2)，所以22＋(eq\r(2))2＝2－a，解得a＝－4.]4．(2022·浙江金麗衢十二校模擬)過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，那么△OAB外接圓的方程是()【導學號：31222299】A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20A[由題意知，O，A，B，P四點共圓，所以所求圓的圓心為線段OP的中點(2,1)．又圓的半徑r＝eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.]5．(2022·河北衡水中學三模)圓C：(x－1)2＋y2＝25，那么過點P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是()【導學號：31222300】A．10eq\r(13) B．9eq\r(21)C．10eq\r(23) D．9eq\r(11)C[易知最長弦為圓的直徑10.又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|＝eq\r(2)，∴最短弦的長為2eq\r(r2－|PC|2)＝2eq\r(25－2)＝2eq\r(23).故所求四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×10×2eq\r(23)＝10eq\r(23)]．二、填空題6．圓C1：x2＋y2－6x－7＝0與圓C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B兩點，那么線段AB的中垂線方程為________________.【導學號：31222301】x＋y－3＝0[∵圓C1的圓心C1(3,0)，圓C2的圓心C2(0,3)，∴直線C1C2的方程為x＋yAB的中垂線即直線C1C2，故其方程為x＋y7．假設直線3x－4y＋5＝0與圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點，且∠AOB＝120°(O為坐標原點)，那么r＝__________.2[如圖，過點O作OD⊥AB于點D，那么|OD|＝eq\f(5,\r(32＋－42))＝1.∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.]8．(2022·安徽十校聯(lián)考)圓C：(x＋2)2＋y2＝4，直線l：kx－y－2k＝0(k∈R)，假設直線l與圓C恒有公共點，那么實數k的最小值是__________．－eq\f(\r(3),3)[圓心C(－2,0)，半徑r＝2.又圓C與直線l恒有公共點．所以圓心C(－2,0)到直線l的距離d≤r.因此eq\f(|－2k－2k|,\r(k2＋1))≤2，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).所以實數k的最小值為－eq\f(\r(3),3).]三、解答題9．點A(1，a)，圓x2＋y2＝4.(1)假設過點A的圓的切線只有一條，求a的值及切線方程；(2)假設過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為2eq\r(3)，求a的值．[解](1)由于過點A的圓的切線只有一條，那么點A在圓上，故12＋a2＝4，∴a＝±eq\r(3).2分當a＝eq\r(3)時，A(1，eq\r(3))，易知所求切線方程為x＋eq\r(3)y－4＝0；當a＝－eq\r(3)時，A(1，－eq\r(3))，易知所求切線方程為x－eq\r(3)y－4＝0.5分(2)設過點A的直線方程為x＋y＝b，那么1＋a＝b，即a＝b－1，8分又圓心(0,0)到直線x＋y＝b的距離d＝eq\f(|b|,\r(2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|b|,\r(2))))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝4，那么b＝±eq\r(2).因此a＝b－1＝±eq\r(2)－1.12分10．(2022·唐山模擬)定點M(0,2)，N(－2,0)，直線l：kx－y－2k＋2＝0(k為常數)．(1)假設點M，N到直線l的距離相等，求實數k的值；(2)對于l上任意一點P，∠MPN恒為銳角，求實數k的取值范圍．[解](1)∵點M，N到直線l的距離相等，∴l(xiāng)∥MN或l過MN的中點．∵M(0,2)，N(－2,0)，∴直線MN的斜率kMN＝1，MN的中點坐標為C(－1,1).3分又∵直線l：kx－y－2k＋2＝0過定點D(2,2)，∴當l∥MN時，k＝kMN＝1；當l過MN的中點時，k＝kCD＝eq\f(1,3).綜上可知，k的值為1或eq\f(1,3).6分(2)∵對于l上任意一點P，∠MPN恒為銳角，∴l(xiāng)與以MN為直徑的圓相離，即圓心(－1,1)到直線l的距離大于半徑，10分∴d＝eq\f(|－k－1－2k＋2|,\r(k2＋1))>eq\r(2)，解得k<－eq\f(1,7)或k>1.12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．直線l：kx＋y－2＝0(k∈R)是圓C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0的對稱軸，過點A(0，k)作圓C的一條切線，切點為B，那么線段AB的長為()A．2 B．2eq\r(2)C．3 D．2eq\r(3)D[由圓C：x2＋y2－6x＋2y＋9＝0得(x－3)2＋(y＋1)2＝1，那么C(3，－1)．依題意，圓C的圓心(3，－1)在直線kx＋y－2＝0上，所以3k