2021-2022學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2021-2022學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可求解.【詳解】，故中元素的個(gè)數(shù)是4故選：C2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以；故選：C3．已知命題；命題，則下列為真命題的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先判斷命題的真假，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以為假命題；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以為真命題；所以為真命題.故選：B.4．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】根據(jù)題意得：，所以，解得.故選：A.5．雙曲線的一條漸近線為，則其焦距為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線漸近線方程和的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題易知，而，所以，焦距．故選：D．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（

）A．y＝f(x)的遞增區(qū)間為，k∈ZB．C．成立的區(qū)間可以為D．y＝f(x)其中一條對(duì)稱軸為【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，應(yīng)用五點(diǎn)法求得，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)區(qū)間、解不等式判斷A、B、C，代入法判斷對(duì)稱軸.【詳解】由題設(shè)，，則，故，若，則，由，則，，由，滿足要求，不妨設(shè)，所以；若，則，由，則，，由，滿足要求，不妨設(shè)，則.綜上，，B錯(cuò)誤；令，，可得，，所以遞增區(qū)間為，，A錯(cuò)誤；，則，，所以，，當(dāng)有，C正確；，故不是對(duì)稱軸，D錯(cuò)誤.故選：C7．展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出展開(kāi)式通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出參數(shù)后代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在中，令，可得，在中，令，可得，因此，展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：B.8．在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D9．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用定義域和奇偶性排除選項(xiàng)D，再利用特殊值排除選項(xiàng)A、C.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)D；又，所以排除選項(xiàng)A；又，所以排除選項(xiàng)C.故選：B．10．已知，在中任取一點(diǎn)，則事件“”發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幾何概型的面積類型即可求出答案.【詳解】如圖，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部的區(qū)域，其面積為，事件“”表示點(diǎn)，落在為頂點(diǎn)得正方形及其內(nèi)部，其面積為，故概率為：.故選：C.11．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.若的平均數(shù)與方差相等，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義以及題目所給的條件，求出與的關(guān)系表達(dá)式，將看作關(guān)于的函數(shù)，求函數(shù)最大值即可.【詳解】由題意可得，則.因?yàn)椋?，解?令，設(shè)，則，從而，；故選：A.12．已知，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)可證，又，可得，即可證．【詳解】解：由令，則，當(dāng)，；當(dāng)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且則，因此，所以又因?yàn)?，所以，得故，?綜上，.故選：B二、填空題13．已知向量，且，則________．【答案】4【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得故答案為?4．“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩(shī)經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動(dòng)中開(kāi)展了“五經(jīng)”知識(shí)講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則《詩(shī)經(jīng)》、《春秋》分開(kāi)排的情況有________種．【答案】【分析】由于《詩(shī)經(jīng)》、《春秋》分開(kāi)排，先將《周易》、《尚書》、《禮記》進(jìn)行排列，然后再把《詩(shī)經(jīng)》、《春秋》插入到4個(gè)空位中即可得到答案【詳解】先將《周易》、《尚書》、《禮記》進(jìn)行排列，共有種排法再?gòu)漠a(chǎn)生的4個(gè)空位中選2個(gè)安排《詩(shī)經(jīng)》、《春秋》，共有種排法所以滿足條件的情形共有種．故答案為：15．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】9【分析】方法一：先根據(jù)角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得條件，再利用基本不等式即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】角平分線定義＋三角形面積公式＋基本不等式由題意可知，,由角平分線定義和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，即，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.故答案為：.［方法二］：角平分線性質(zhì)＋向量的數(shù)量積＋基本不等式由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得向量式．因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即，亦即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．［方法三］：解析法＋基本不等式如圖5，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，．因?yàn)锳，D，C三點(diǎn)共線，則，即，則有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分線定理＋基本不等式在中，，同理．根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理知，即，兩邊平方，并利用比例性質(zhì)得，整理得，當(dāng)時(shí)，可解得．當(dāng)時(shí)，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在與中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如圖6，作，交的延長(zhǎng)線于E．易得為正三角形，則．由，得，即，從而．下同方法一．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求出最小值，思路常規(guī)也簡(jiǎn)潔，是本題的最優(yōu)解；方法二：利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)建向量的等量關(guān)系，再利用數(shù)量積得到的關(guān)系，最后利用基本不等式求出最值，關(guān)系構(gòu)建過(guò)程運(yùn)算量較大；方法三：通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，由三點(diǎn)共線得等量關(guān)系，由基本不等式求最值；方法四：通過(guò)解三角形和角平分線定理構(gòu)建等式關(guān)系，再由基本不等式求最值，計(jì)算量較大；方法五：多次使用正弦定理構(gòu)建等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，中間轉(zhuǎn)換較多；方法六：由平面幾何知識(shí)中的相似得等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，求解較為簡(jiǎn)單．16．已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為，則球心O到平面的距離為_(kāi)__________．【答案】【分析】先由三角形面積公式及正弦定理求得外接圓半徑，再由球的表面積求出球的半徑，由勾股定理計(jì)算距離即可.【詳解】設(shè)的邊長(zhǎng)為，外接圓半徑為，則，解得，由正弦定理可得，解得.設(shè)球O的半徑為，則，解得，則球心O到平面的距離為.故答案為：.三、解答題17．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，然后由已知條件列方程求出，從而可求出通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，從而得，然后利用錯(cuò)位相減法求【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，得，解得，所以；（2）由（1）可得，所以，，，所以，所以.18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，，．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）證明出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作且，證明出平面，然后以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，，所以，則，又，，所以平面，

平面，所以，又，，所以平面．（2）解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作且，平面，平面，則，且，故平面，以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面，平面，則，，，則，所以，且，，則，則、、，，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，，則，因此，二面角的正弦值為.19．2022年2月4日，第24屆北京冬奧會(huì)在國(guó)家體育館隆重開(kāi)幕，本屆冬奧會(huì)吸引了全球91個(gè)國(guó)家和地區(qū)的2892名冰雪健兒前來(lái)參賽.各國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)健兒在“一起向未來(lái)”的愿景中，共同詮釋“更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)”的奧林匹克新格言，創(chuàng)造了一項(xiàng)又一項(xiàng)優(yōu)異成績(jī)，中國(guó)隊(duì)9金4銀2銅收官，位列金牌榜第三，金牌數(shù)和獎(jiǎng)牌數(shù)均創(chuàng)歷史新高.中國(guó)健兒在賽場(chǎng)上努力拼搏，激發(fā)了全國(guó)人民參與冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情，憨態(tài)可掬的外貌加上富有超能量的冰晶外殼的吉祥物“冰墩墩”備受大家喜愛(ài).某商場(chǎng)舉行“玩摸球游戲，領(lǐng)奧運(yùn)禮品”的促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定：顧客在該商場(chǎng)一次性消費(fèi)滿300元以上即可參加摸球游戲.摸球游戲規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的袋子中裝有10個(gè)大小相同、四種不同顏色的小球，其中白色、紅色、藍(lán)色、綠色小球分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)，每個(gè)小球上都標(biāo)有數(shù)字代表其分值，白色小球上標(biāo)30、紅色小球上標(biāo)20、藍(lán)色小球上標(biāo)10、綠色小球上標(biāo)5.摸球時(shí)一次只能摸一個(gè)，摸后不放回.若第一次摸到藍(lán)色或綠色小球，游戲結(jié)束，不能領(lǐng)取奧運(yùn)禮品；若第1次摸到白色小球或紅色小球，可再摸2次.若摸到球的總分不低于袋子中剩下球的總分，則可免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品.(1)求參加摸球游戲的顧客甲能免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品的概率；(2)已知顧客乙在第一次摸球中摸到紅色小球，設(shè)其摸球所得總分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)；(2)分布列見(jiàn)解析，.【分析】（1）分甲第一次摸到白球或者紅球兩種情況討論，利用互斥事件的概率和古典概型的概率公式求解；（2）由條件可知，再求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.【詳解】（1）解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個(gè)球的顏色若都是紅色，或者一紅一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運(yùn)禮品，其概率為；若甲第1次摸到紅球，再摸2個(gè)球的顏色若是一白一紅，一白一藍(lán)即可領(lǐng)取奧運(yùn)禮品，其概率為；

所以顧客甲能免費(fèi)領(lǐng)取奧運(yùn)禮品的概率為.（2）解：由條件可知，，，，，，，，，于是的分布列為：7060555045403530其數(shù)學(xué)期望為.20．已知橢圓方程為，若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．(1)求該拋物線的方程；(2)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點(diǎn)，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；最小值為64，此時(shí)直線l的方程為【分析】（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)，從而可求得的值，求出，進(jìn)而可得拋物線的方程，（2）由題意可得直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，將直線方程代入拋物線方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求出，從而可表示出的面積，進(jìn)而可求出其最小值【詳解】（1）由橢圓，知．又拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．所以，則．所以拋物線的方程為．（2）由拋物線方程知，焦點(diǎn)．易知直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由消去y并整理，得．．設(shè)，，則，．對(duì)求導(dǎo)，得，∴直線AP的斜率，則直線AP的方程為，即．同理得直線BP的方程為．設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與BP的方程，即．，點(diǎn)P到直線AB的距離，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以面積的最小值為64，此時(shí)直線l的方程為．21．已知函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)．求，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)a=；增區(qū)間為，減區(qū)間為．(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域，利用，求得a=，從而確定出函數(shù)的解析式，再解不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；（2）方法一：結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可以確定當(dāng)時(shí)，，之后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得，利用不等式的傳遞性，證得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，則，解得：，故．易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，由解得：；由解得：，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮法當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的最小值點(diǎn).故當(dāng)時(shí)，.因此，當(dāng)時(shí)，.［方法二］：【通性通法】隱零點(diǎn)討論因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以．設(shè)，則．所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．［方法三］：分離參數(shù)求最值要證時(shí)，即，則證成立．令，則．令，則，由知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．所以，而，所以恒成立，原命題得證．［方法四］：隱零點(diǎn)討論＋基本不等式，結(jié)合與的圖像，可知有唯一實(shí)數(shù)解，不妨設(shè)，則．易知在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．所以．由，得．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以．［方法五］：異構(gòu)要證明，即證，即證明，再證明即可．令，．設(shè)，則．若時(shí)，在上恒成立，所以；若時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．所以為的極小值點(diǎn)，則．因?yàn)?，所以，所以．令．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以為的極小值點(diǎn)．則，所以，即．所以．［方法六］：高階函數(shù)借位構(gòu)建有界函數(shù)．令，則．令．顯然為定義域上的增函數(shù)．又，故當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得．即在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，故．即恒成立，而恒成立．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）方法一：利用的范圍放縮，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值，是該題