集合復(fù)數(shù)與常用邏輯用語

第1講集合、復(fù)數(shù)與常用邏輯用語(對應(yīng)學(xué)生用書第1頁)1.(2022·全國Ⅰ卷,文1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B等于(A)(A){0,2} (B){1,2} (C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故選A.2.(2022·全國Ⅱ卷,文2)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},則A∩B等于(C)(A){3} (B){5} (C){3,5} (D){1,2,3,4,5,7}解析:A∩B={1,3,5,7}∩{2,3,4,5}={3,5}.故選C.3.(2022·全國Ⅲ卷,文1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},則A∩B等于(C)(A){0} (B){1}(C){1,2} (D){0,1,2}解析:因?yàn)锳={x|x-1≥0}={x|x≥1},所以A∩B={1,2}.故選C.4.(2022·全國Ⅱ卷,文1)i(2+3i)等于(D)(A)3-2i (B)3+2i(C)-3-2i (D)-3+2i解析:i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.故選D.5.(2022·全國Ⅲ卷,文2)(1+i)(2-i)等于(D)(A)-3-i (B)-3+i (C)3-i (D)3+i解析:(1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.故選D.6.(2022·全國Ⅰ卷,理3)設(shè)命題p:?n∈N,n2>2n,則p為(C)(A)?n∈N,n2>2n (B)?n∈N,n2≤2n(C)?n∈N,n2≤2n (D)?n∈N,n2=2n解析:根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題,知p:?n∈N,n2≤2n,故選C.1.考查角度(1)集合:考查集合的含義與基本運(yùn)算,通常與不等式的解集、函數(shù)的定義域等問題進(jìn)行綜合.(2)復(fù)數(shù):考查復(fù)數(shù)的概念、四則運(yùn)算和幾何意義,以考查四則運(yùn)算為核心.(3)常用邏輯用語:考查命題、充分必要條件、邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞等基本問題.2.題型及難易度選擇題、填空題,難度較小.(對應(yīng)學(xué)生用書第1~3頁)集合【例1】(1)(2022·廣西三校聯(lián)考)如果集合M={x|y=5x-20(A){x|0<x<4} (B){x|x≥4}(C){x|0<x≤4} (D){x|0≤x≤4}(2)(2022·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知集合A={x|3x2-4x+1≤0},B={x|y=4x(A)34,1 (B)3(C)13,34 (D)1(3)(2022·陜西延安模擬)全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={x|x2-1=0},則圖中陰影部分所表示的集合為()(A){-1,0,1} (B){-1,0}(C){-1,1} (D){0}解析:(1)因?yàn)?x-20≥0,所以x≥4,則M={x|x≥4},而N={x|x>0},所以M∩N={x|x≥4}.故選B.(2)因?yàn)锳={x|3x2-4x+1≤0}=x13≤x≤1B={x|y=4x-3}={x|4x-3≥0}=x所以A∩B=x13≤x≤1∩xx≥34=x3(3)B={x|x2-1=0}={-1,1},陰影部分表示的集合為?U(A∪B),A∪B={-2,-1,1,2},?U(A∪B)={0},故選D.(1)集合試題以集合的運(yùn)算為核心,解題時首先求出涉及的集合,再根據(jù)集合運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行具體運(yùn)算.(2)注意A∩B,A∪B,(?UA)∩B,A∩(?UB),?U(A∪B)等的Venn圖表示.熱點(diǎn)訓(xùn)練1:(1)(2022·湖南湘潭聯(lián)考)設(shè)全集U=R,集合A={x|log2x≤2},B={x|(x-2)(x+1)≥0},則A∩(?UB)等于()(A)(0,2) (B)[2,4](C)(-∞,-1) (D)(-∞,4](2)(2022·廣州綜合模擬)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=2x+1},則A∩B中元素的個數(shù)為()(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:(1)集合A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4},B={x|(x-2)(x+1)≥0}={x|x≤-1或x≥2},?UB={x|-1<x<2}.所以A∩(?UB)={x|0<x<2}=(0,2).故選A.(2)因?yàn)锳∩B=(x,y)x=(=(0,1),-45,-3所以A∩B中含2個元素.故選B.復(fù)數(shù)【例2】(1)(2022·山東濰坊三模)若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=(2+i)(3-4i),則|z|等于()(A)5 (B)3 (C)5 (D)25(2)(2022·四川成都一模)對于兩個復(fù)數(shù)α=1-i,β=1+i,有下列四個結(jié)論:①αβ=1;②αβ=-i;③αβ=1;④α2+β(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(3)(2022·安徽江南十校二模)已知復(fù)數(shù)z滿足z2=12+16i,則z的模為()(A)20 (B)12 (C)25 (D)23解析:(1)由題意z(2-i)=(2+i)(3-4i)=10-5i,則z=10-5i(2)對于兩個復(fù)數(shù)α=1-i,β=1+i,αβ=(1-i)·(1+i)=2,故①不正確;αβ=1-i1+i=(αβ=|-i|=1,故③α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,故④正確.故選C.(3)設(shè)z=a+bi,a,b∈R,則由z2=12+16i,得a2-b2+2abi=12+16i,則a2-b2即|z|=a2+b2=(1)復(fù)數(shù)的考查核心是四則運(yùn)算,特別是乘法和除法運(yùn)算,解題中首先要確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性.(2)含有單個復(fù)數(shù)z的方程類似實(shí)數(shù)中解一元一次方程,直接求解即可,如果方程中含有z,z,|z|,z2等,就要設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),然后利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的方程組,求出a,b后再得出復(fù)數(shù)z.熱點(diǎn)訓(xùn)練2:(1)(2022·安徽合肥一中最后一卷)已知a∈R,i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z,若z=a+3i,z·z=4,則a等于()(A)3 (B)-3(C)7或-7 (D)1或-1(2)(2022·江西南昌二模)若實(shí)數(shù)x,y滿足x1+(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限(3)(2022·河北石家莊二模)若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-i,其中i為虛數(shù)單位,則|z|等于()(A)2 (B)3 (C)2 (D)3解析:(1)由z=a+3i,得z=a-3i,又z·z=4,可得a2+3=4,所以a=±1,故選D.(2)因?yàn)閤1+所以x+y+yi=(1+i)(2+i)=1+3i,所以x解得y=3,x=-2.則x+yi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(-2,3)位于第二象限.故選B.(3)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),則2z+z=2x+2yi+x-yi=3x+yi=3-i,則x=1,y=-1,所以z=1-i,所以|z|=2,故選C.常用邏輯用語考向1命題與充要條件【例3】(1)(2022·安徽蕪湖5月模擬)以下命題正確的個數(shù)是()①函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在,若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則p是q的必要不充分條件;②實(shí)數(shù)G為實(shí)數(shù)a,b的等比中項(xiàng),則G=±ab;③兩個非零向量a與b,若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角;④平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(2)(2022·豫南九校質(zhì)考二)命題p:x,y∈R,x2+y2<2,命題q:x,y∈R,|x|+|y|<2,則p是q的()(A)充分非必要條件(B)必要非充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析:(1)若f'(x0)=0,則x=x0不一定是f(x)的極值點(diǎn),若x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則f'(x0)=0,故p是q的必要不充分條件,故①正確;實(shí)數(shù)G為實(shí)數(shù)a,b的等比中項(xiàng),則G=±ab,故②正確;兩個非零向量a與b,若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或夾角為π,故③錯誤;平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)點(diǎn)不在直線上時叫拋物線,當(dāng)點(diǎn)在直線上時,為直線,故④錯誤.故選B.(2)如圖,不等式x2+y2<2,表示圖中圓面O(不包括邊界),不等式|x|+|y|<2表示正方形ABCD內(nèi)部.可知p?q,q?/p.故選A.(1)命題真假的判斷需要綜合運(yùn)用所學(xué)知識,在判斷命題真假時要特別注意各種特殊情況,如a·b>0時,a,b的夾角為銳角或者0,b2=ac時,如果b=0,a,c至少有一個為0時,a,b,c就不能成等比數(shù)列等.(2)要善于從集合的觀點(diǎn)理解充分條件和必要條件,如果滿足p的對象的集合是滿足q的對象的集合的真子集,則p是q的充分不必要條件、q是p的必要不充分條件,如果滿足p,q的對象的集合相等,則p,q互為充要條件,如果滿足p,q的對象的集合互不包含,則p既不是q的充分條件也不是必要條件.考向2邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞【例4】(1)(2022·湖南益陽聯(lián)考)已知命題p:若復(fù)數(shù)z滿足(z-i)(-i)=5,則z=6i;命題q:復(fù)數(shù)1+i1+2i(A)(p)∧(q) (B)(p)∧q(C)p∧(q) (D)p∧q(2)(2022·湖南益陽4月調(diào)研)已知命題p:“?a≥0,a4+a2≥0”,則命題p為()(A)?a≥0,a4+a2<0 (B)?a≥0,a4+a2≤0(C)?a0<0,a04+a02<0 (D)?a0≥0,解析:(1)因?yàn)?z-i)(-i)=5,所以z=5-所以命題p為真,因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部是實(shí)數(shù),所以命題q為假.故選C.(2)由已知,命題p為全稱命題,其否定需由特稱命題來完成,并將其結(jié)論否定,即p:?a0≥0,a04+(1)“或”命題一真即真、“且”命題一假即假、“非”命題一真一假.(2)對含有量詞的命題進(jìn)行否定時注意:只改全稱量詞為存在量詞、存在量詞為全稱量詞,并否定結(jié)論,特別注意不要否定量詞后面的內(nèi)容,如本例(2)中不要否定?a≥0中的a≥0.熱點(diǎn)訓(xùn)練3:(1)(2022·陜西省西工大附中六模)下列說法正確的是()(A)“若a>1,則a2>1”的否命題是“若a>1,則a2≤1”(B)在△ABC中,“A>B”是“sin2A>sin2B”的必要不充分條件(C)“若tanα≠3,則α≠π3(D)?x0∈(-∞,0),使得3x0<(2)(2022·廣東珠海一中聯(lián)考)下列選項(xiàng)中,說法正確的是()(A)若a>b>0,則lna<lnb(B)向量a=(1,m),b=(m,2m-1)(m∈R)垂直的充要條件是m=1(C)命題“?n∈N*,3n>(n+2)·2n-1”的否定是“?n∈N*,3n≥(n+2)·2n-1”(D)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的,則命題“若f(a)·f(b)<0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)”的逆命題為假命題(3)(2022·河北省石家莊二中模擬)已知函數(shù)f(x)=x1+|x|+ex,則x1+x2>0是f(x1)+f(x2)>f(-x(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件解析:(1)A中的否命題應(yīng)該是:“若a≤1,則a2≤1”,故A不正確;選項(xiàng)B,在△ABC中,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB,應(yīng)該是充要條件,故B不正確;C中,“若tanα≠3,則α≠π3”的逆否命題“若α=π3,則tanα=D中,由指數(shù)函數(shù)y=34x的性質(zhì)可知,x0∈得34

x0>1,即3(2)函數(shù)f(x)=lnx是增函數(shù),a>b>0,所以lna>lnb,選項(xiàng)A錯誤;a⊥b?a·b=0?(1,m)·(m,2m-1)=0?m+m(2m-1)=0?m=0,選項(xiàng)B錯誤;C項(xiàng)中命題的否定是?n∈N*,3n≤(n+2)·2n-1,選項(xiàng)C錯誤;D中命題的逆命題是已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的,若f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn),則f(a)f(b)<0,由反例“f(x)=x2,x∈(-1,1)”可知逆命題是錯誤的,是一個假命題.故選D.(3)令h(x)=x1+當(dāng)x>0時,h(x)=x1+x=1-而h(0)=0,故h(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)=x1+|x易知f(-x)是減函數(shù),令g(x)=f(x)-f(-x),知g(x)是增函數(shù),則x1+x2>0?x1>-x2?g(x1)>g(-x2)?f(x1)-f(-x1)>f(-x2)-f(x2)?f(x1)+f(x2)>f(-x1)+f(-x2).故選C.【例1】(1)(2022·福建龍巖4月質(zhì)檢)已知集合A={x|x2-ax≤0,a>0},B={0,1,2,3},若A∩B有3個真子集,則a的取值范圍是()(A)(1,2] (B)[1,2)(C)(0,2] (D)(0,1)∪(1,2](2)(2022·河南名校壓軸考)已知集合A={x|x>a},B={x|x2-4x+3≤0},若A∩B=B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()(A)(3,+∞) (B)[3,+∞)(C)(-∞,1] (D)(-∞,1)(3)(2022·浙江教育聯(lián)盟5月適應(yīng)考)已知集合A={1,2},B={x|x2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,則a等于()(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2解析:(1)A={x|x2-ax≤0,a>0}={x|0≤x≤a},B={0,1,2,3},由A∩B有3個真子集,可得A∩B有2個元素,所以1≤a<2,即a的取值范圍是[1,2),故選B.(2)由題得B={x|1≤x≤3}.因?yàn)锳∩B=B,所以B?A,所以a<1.故選D.(3)因?yàn)锳={1,