矩形中的翻折問題教學(xué)探析

矩形中的翻折問題教學(xué)探析上海市紫陽中學(xué)：許州圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中的三種基本運(yùn)動，而在圖形的翻折運(yùn)動中，矩形的翻折問題是一類比較常見的問題。矩形翻折后的圖形形態(tài)各異，而往往又融入了豐富的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，不僅考察了學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能，而且考察了學(xué)生的探究能力、空間想象能力、抽象思維能力、邏輯推理能力等等。這類問題往往綜合性比較強(qiáng)，時常需要綜合運(yùn)用軸對稱、全等、勾股定理、相似等知識通過轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解決，它對學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力的要求比較高。本文是對初中階段矩形中的各類翻折問題的教學(xué)進(jìn)行初探，希望能幫助學(xué)生能找到解決此類問題的有效途徑和方法。一、折痕經(jīng)過矩形的兩個頂點(diǎn)可利用直角三角形的勾股定理加以解決。例題1：如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在D′處，求重疊部分△AFC的面積。解：設(shè)CF=x，則BF=8-x，∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DAC=∠ACF∵△ACD′是△ACD翻折得到，∴∠DAC=∠FAC∴∠ACF=∠FAC∴FA=FC=x在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2∴42+(8-x)2=x2∴x=5∴S△ACF=CF·AB=×5×4=10【分析】：此題是矩形翻折問題中的特殊情況，也就是折痕為矩形的對角線。在此題中，利用翻折的軸對稱以及平行線的內(nèi)錯角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到等腰三角形△AFC，進(jìn)而利用線段的轉(zhuǎn)化，將已知與未知的線段統(tǒng)一到直角三角形△ABF，從而利用直角三角形的勾股定理和方程思想建立方程加以解決。實(shí)際上，當(dāng)矩形在翻折過程中，有部分翻折到矩形外部的時候，經(jīng)常會出現(xiàn)等腰三角形等的圖形，重合部分一般會是一個以折痕為底邊的等腰三角形，也要充分加以利用。二、折痕經(jīng)過矩形的一個頂點(diǎn)可利用直角三角形的勾股定理或相似三角形加以解決。1、翻折的一個頂點(diǎn)落在矩形的一條邊上例題2：如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，點(diǎn)E在CD邊上。將△ADE沿著AE翻折后，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F正好落在邊BC上，求DE的長。解法一：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠C=90°,AD=BC=10,CD=AB=8∵△AEF是△ADE翻折得到的∴AF=AD=10，EF=DE在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2∴BF=6∴FC=4在Rt△ABF中，F(xiàn)C2+CE2=EF2∴42+（8-DE）2=DE2∴DE=5解法二：∵四邊形ABCD是矩形∴∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=10,CD=AB=8∵△AEF是△ADE翻折得到的∴AF=AD=10，∠D=∠AFE=90°在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2∴BF=6，∴FC=4∵∠AFC=∠B+∠BAF即∠AFE+∠EFC=∠B+∠BAF且∠AFE=∠B=90°∴∠EFC=∠BAF∴△ABF∽△FCE∴∴CE=3∴DE=5【分析】：解法一是利用矩形和翻折的性質(zhì)，將所求和已知的線段轉(zhuǎn)化為到一個直角三角形（Rt△CEF）中，從而利用直角三角形的勾股定理和方程思想建立方程加以解決。解法二是充分利用了矩形中原有的直角和翻折之后圖形的直角的相互關(guān)系，形成“一線三直角”的相似類型，從而利用兩個直角三角形的相似關(guān)系和方程思想建立方程加以解決。2、翻折的一個頂點(diǎn)不落在矩形的邊上例題3：如圖，在矩形ABCD中，AD=15，點(diǎn)E在邊DC上，將△ADE沿著AE翻折后，點(diǎn)D落到點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD，垂足為點(diǎn)G，AD=3GD，求DE的長。解法一：作EH⊥FG于H，如圖，設(shè)DE=x，∵翻折后點(diǎn)D落到點(diǎn)F，∴AF=AD=15，EF=DE=x，∵AD=3GD，∴DG=5，∴AG=10，在Rt△AFG中，F(xiàn)G=可證四邊形DEHG為矩形，∴HG=DE=x，HE=GD=5，∴HF=FG-HG=,在Rt△FHE中，∵HE2+HF2=EF2，∴，∴，即DE解法二：MMN過點(diǎn)F作AD平行線交AB、CD于點(diǎn)M、N因?yàn)锳D=15，AD=3GD所以MF=AG=10，F(xiàn)N=GD=5在Rt△AMF中，AF=AD=15，MF=10，所以AM=設(shè)DE=x，那么NE=由△AMF∽△FNE，得所以解得x=【分析】：更一般的情況，在已有的直角三角形中不能解決問題的時候，我們可以通過添加輔助線來構(gòu)建適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，從而再利用直角三角形的勾股定理進(jìn)一步解決問題（解法一）。或是通過化歸思想，把圖形轉(zhuǎn)化為已有的能解決的模型。通過添加平行線，相當(dāng)于在矩形AMND中，將△ADE沿著AE進(jìn)行翻折，翻折后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)F正好落在矩形AMND的邊MN上（例題2的模型），從而利用兩個直角三角形的相似關(guān)系和方程思想進(jìn)一步加以解決。三、折痕不經(jīng)過矩形的頂點(diǎn)可利用直角三角形的勾股定理或相似三角形加以解決。例題4：如圖，長方形ABCD中，AB=9，BC=6，將長方形折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)F重合，折痕為EH，求線段BE的長。解：∵將長方形折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)F重合，∴EF=AE=9-BE，∵BF=BC=3，在Rt△BEF中，EF2=BE2+BF2，即（9-BE）2=BE2+32，解得：BE=4．【分析】：此種解法就是將所求線段和已知線段轉(zhuǎn)化到一個直角三角形——Rt△BEF中，從而利用直角三角形的勾股定理和方程思想建立方程加以解決。另外，從圖形的角度進(jìn)行觀察，此種類型的圖形中有三個直角三角形，分別是Rt△BEF、Rt△FCI、Rt△HGI，而這三個直角三角形都是相似的，可以根據(jù)不同題目的要求和條件，選用適當(dāng)?shù)闹苯侨切蔚南嗨脐P(guān)系和方程思想來進(jìn)一步解決問題。如果是更一般的情況，可以通過添加輔助線，轉(zhuǎn)化為上題的情況。例題5：如圖，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝2CE，將矩形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C′、D′處，且點(diǎn)C′、D′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，D′F與BE交于點(diǎn)G．設(shè)AB＝，求△EFG的周長。解：連接BC′，作FH⊥BC于H，如圖所示則D′在BC′上，F(xiàn)H=AB=，由翻折的性質(zhì)得，CE=C′E，∵BE=2CE，∴BE=2C′E，又∵∠C′=∠C=90°，∴∠EBC′=30°，∵∠FD′C′=∠D=90°，∴∠BGD′=60°，∴∠FGE=∠BGD′=60°，∵AD∥BC，∴∠AFG=∠FGE=60°，∴∠EFG=（180°-∠AFG）=（180°-60°）=60°，∴△EFG是等邊三角形，∴EF=FG=EG，∠FEG=60°，在Rt△EFH中，EF=∴△EFG的周長=3E