2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)教師用書：第6章 6.26.2.4向量的數(shù)量積含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書：第6章6.26.2.4向量的數(shù)量積含解析6。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．平面向量的數(shù)量積．(重點(diǎn))2．投影向量的概念．（難點(diǎn)）3．向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的乘法的區(qū)別．(易混點(diǎn)）1．通過平面向量的物理背景給出向量數(shù)量積的概念和幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過向量數(shù)量積的運(yùn)算學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).大力士拉車，沿著繩子方向上的力為F，車的位移是s，力和位移的夾角為θ.問題：該大力士所做的功是多少？1．兩向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b，O是平面上的任意一點(diǎn),作eq\o(OA,\s\up7(→））＝a，eq\o(OB,\s\up7(→））＝b，則∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角．（2)特例：①當(dāng)θ＝0時(shí)，向量a，b同向．②當(dāng)θ＝π時(shí),向量a，b反向．③當(dāng)θ＝eq\f(π,2）時(shí),向量a,b垂直，記作a⊥b。2．平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ，把數(shù)量|a｜|b｜·cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積），記作a·b，即a·b＝｜a||b｜c(diǎn)osθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.思考1:向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同?[提示］兩個(gè)向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量,向量線性的結(jié)果是向量．3．投影向量設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量,eq\o(AB，\s\up7（→）)＝a，eq\o（CD，\s\up7（→))＝b,過eq\o（AB，\s\up7（→）)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B,分別作eq\o(CD，\s\up7(→)）所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1，\s\up7(→)），這種變換為向量a向向量b投影,eq\o（A1B1,\s\up7（→)）叫做向量a在向量b上的投影向量．4．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1）a·e＝e·a＝|a｜c(diǎn)osθ.（2）a⊥b?a·b＝0。（3）當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝｜a｜｜b｜；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a|｜b｜.特別地，a·a＝｜a|2或｜a|＝eq\r（a·a）。(4)｜a·b|≤｜a||b｜。5．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)（λa)·b＝λ(a·b）＝a·(λb)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c。思考2：a·（b·c)＝（a·b)·c成立嗎？［提示](a·b)·c≠a·（b·c），因?yàn)閍·b,b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以（a·b）·c與向量c共線，a·（b·c）與向量a共線．因此，（a·b)·c＝a·（b·c）在一般情況下不成立．拓展：1．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，a·b>0且a，b不共線；兩個(gè)向量a,b的夾角為鈍角時(shí),a·b〈0且a，b不共線．2．?dāng)?shù)量積的定義中要注意兩向量的夾角一定要同起點(diǎn)．兩向量夾角的范圍是[0，π]．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)（1)若a·b＝0，則a＝0或b＝0. （）(2)若λa＝0，則λ＝0或a＝0。 （)（3）若a2＝b2，則a＝b或a＝－b。 （）（4)若a·b＝a·c，則b＝c. （)［答案]（1）×（2)√（3）×(4）×2．已知單位向量a，b，夾角為60°，則a·b＝（)A．eq\f(1,2）B．eq\f(\r（，3）,2）C．1D．－eq\f(1，2)A[a·b＝1×1×cos60°＝eq\f（1，2）。]3．已知向量a，b滿足|a|＝1,|b｜＝4，且a·b＝2,則a與b的夾角θ為()A．eq\f（π,6)B．eq\f(π,4）C．eq\f(π，3)D．eq\f（π,2）C［由條件可知，cosθ＝eq\f（a·b，|a||b|)＝eq\f(2，1×4)＝eq\f（1，2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π，3）.]4．已知向量a,b滿足|a｜＝2，|b|＝eq\r（3）,且a與b的夾角為60°，那么a·b＝________。eq\r（3)[a·b＝|a||b｜c(diǎn)os60°＝2×eq\r(3)×eq\f(1，2)＝eq\r(3）.]平面向量的數(shù)量積運(yùn)算【例1】（1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．（2）如圖,在?ABCD中,|eq\o（AB，\s\up7(→)）｜＝4，｜eq\o(AD，\s\up7（→))｜＝3，∠DAB＝60°,求:①eq\o(AD，\s\up7(→))·eq\o（BC,\s\up7（→）)；②eq\o(AB，\s\up7（→)）·eq\o（DA，\s\up7（→）).[解](1)(a＋2b)·(a＋3b）＝a·a＋5a·b＋6b·b＝｜a|2＋5a·b＋6｜b|＝｜a｜2＋5｜a｜｜b｜c(diǎn)os60°＋6｜b|2＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192.（2)①因?yàn)閑q\o（AD，\s\up7（→）)∥eq\o（BC,\s\up7（→)）,且方向相同，所以eq\o（AD，\s\up7(→）)與eq\o(BC,\s\up7（→)）的夾角是0°,所以eq\o(AD，\s\up7（→））·eq\o（BC，\s\up7(→)）＝｜eq\o（AD,\s\up7（→））|｜eq\o（BC,\s\up7(→））｜·cos0°＝3×3×1＝9.②因?yàn)閑q\o（AB,\s\up7(→）)與eq\o（AD，\s\up7(→)）的夾角為60°，所以eq\o（AB，\s\up7(→））與eq\o（DA，\s\up7（→)）的夾角為120°，所以eq\o(AB，\s\up7（→))·eq\o(DA，\s\up7(→）)＝|eq\o(AB，\s\up7(→）)|｜eq\o（DA，\s\up7(→））｜·cos120°＝4×3×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)）)＝－6。求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]．（2)分別求|a｜和｜b｜。(3)求數(shù)量積，即a·b＝|a|｜b|cosθ，要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×"連接，也不能省略．［跟進(jìn)訓(xùn)練］1．(1)已知｜a|＝2,|b|＝3，a與b的夾角θ為60°,求:①a·b；②(2a－b）·（a＋3b(2)設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為eq\r（，2),eq\o(AB，\s\up7（→))＝c，eq\o（BC,\s\up7（→）)＝a，eq\o（CA,\s\up7(→）)＝b，求a·b＋b·c＋c·a.［解]（1）①a·b＝｜a|｜b｜c(diǎn)osθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b）·(a＋3b）＝2a2＋5a·b＝2｜a｜2＋5a·b－3|b｜2＝2×22＋5×3－3×32（2）∵|a|＝｜b|＝|c｜＝eq\r(，2),且a與b,b與c，c與a的夾角均為120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝eq\r（，2）×eq\r(，2）×cos120°×3＝－3.與向量模有關(guān)的問題【例2】(1）已知向量a,b的夾角為60°，｜a｜＝2,｜b｜＝1，則|a＋2b｜＝________。(2）已知向量a與b夾角為45°，且｜a｜＝1,|2a＋b｜＝eq\r（10）,求｜b|。［思路探究］靈活應(yīng)用a2＝|a｜2求向量的模．(1）2eq\r（3）［｜a＋2b|2＝（a＋2b）2＝｜a｜2＋2·|a|·|2b｜·cos60°＋（2｜b｜)2＝22＋2×2×2×eq\f（1,2）＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b｜＝eq\r(12）＝2eq\r(3).］（2）[解］因?yàn)椋?a＋b｜＝eq\r(10),所以（2a＋b)2所以4a2＋4a·b＋b又因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為45°且｜a|＝1，所以4×12＋4×1×｜b｜×eq\f(\r(2),2)＋｜b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2）|b｜－6＝0，解得｜b｜＝eq\r（2）或|b｜＝－3eq\r(2）(舍去）．求向量的模的常見思路及方法（1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a｜2，勿忘記開方．(2）a·a＝a2＝｜a｜2或｜a|＝eq\r(a2),此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．（3）一些常見的等式應(yīng)熟記，如（a±b）2＝a2±2a·b＋b2，（a＋b)·（a－b）＝a2－b2［跟進(jìn)訓(xùn)練］2．若向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|a－2b｜＝eq\r（7），則|b｜＝（）A．eq\f(1，2)B．eq\f(\r(7),2）C．1D．2C［設(shè)向量a，b的夾角為θ,因?yàn)閨a－2b|2＝|a|2＋4|b｜2－4|a｜｜b|cosθ，又θ＝120°,｜a｜＝1，｜a－2b|＝eq\r（7）,所以7＝1＋4|b|2＋2|b｜，解得|b|＝－eq\f（3,2）(舍去)或|b|＝1.故選C．］與向量垂直、夾角有關(guān)的問題[探究問題]1．設(shè)a與b都是非零向量，若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？［提示]a⊥b?a·b＝0。2．|a·b|與｜a|｜b|的大小關(guān)系如何?為什么？對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？［提示]｜a·b|≤|a｜｜b｜，設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝|a｜｜b｜c(diǎn)osθ。兩邊取絕對(duì)值得：｜a·b｜＝|a｜｜b｜|cosθ｜≤｜a｜|b|。當(dāng)且僅當(dāng)|cosθ|＝1，即cosθ＝±1,θ＝0°或π時(shí)，取“＝"，所以|a·b｜≤｜a｜|b|，cosθ＝eq\f(a·b,｜a｜|b｜）?！纠?】（1)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，則k的取值范圍為________．（2）已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直,a－4b與7a－2b互相垂直，求a與［思路探究］(1)兩個(gè)向量夾角為銳角等價(jià)于這兩個(gè)向量數(shù)量積大于0且方向不相同．（2)由互相垂直的兩個(gè)向量的數(shù)量積為0列方程，推出｜a｜與｜b|的關(guān)系，再求a與b的夾角．(1）（0,1）∪(1，＋∞)［∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角,∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(2，1）＋keeq\o\al(2,2）＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0。當(dāng)k＝1時(shí)，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意,舍去．綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1。](2)［解］由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（7a2＋16a·b－15b2＝0，①,7a2－30a·b＋8b2＝0,②))②－①得23b2－46a·b∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2∴|a|＝|b｜，∴cosθ＝eq\f(a·b，｜a｜｜b｜）＝eq\f（\f（1，2)b2，|b｜2)＝eq\f(1，2）.∵θ∈[0，π],∴θ＝eq\f（π,3）.1．將本例（1)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍．［解］∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角,∴(e1＋ke2）·（ke1＋e2)＝keeq\o\al(2,1）＋keeq\o\al(2，2)＋（k2＋1）e1·e2＝2k＜0,∴k＜0.當(dāng)k＝－1時(shí)，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1.2．將本例（1）中的條件“銳角”改為“eq\f（π,3)"，求k的值．[解］由已知得｜e1＋ke2|＝eq\r(e\o\al(2,1）＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2））＝eq\r(1＋k2)，｜ke1＋e2｜＝eq\r（k2e\o\al（2，1）＋2ke1·e2＋e\o\al（2,2))＝eq\r(k2＋1)，(e1＋ke2）·（ke1＋e2）＝keeq\o\al(2，1)＋keeq\o\al（2,2)＋（k2＋1)e1·e2＝2k，則coseq\f(π，3)＝eq\f(e1＋ke2ke1＋e2,|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq\f（2k,1＋k2）,即eq\f(2k,1＋k2）＝eq\f(1，2)，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq\f(4±\r（12），2）＝2±eq\r(3)。1．求向量夾角的方法(1)求出a·b,｜a｜，｜b|，代入公式cosθ＝eq\f(a·b，｜a｜｜b｜）求解．(2）用同一個(gè)量表示a·b，|a｜，｜b|,代入公式求解．（3）借助向量運(yùn)算的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求夾角．2．要注意夾角θ的范圍θ∈[0,π］,當(dāng)cosθ＞0時(shí)，θ∈eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）)）；當(dāng)cosθ＜0時(shí)，θ∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π，2），π）)，當(dāng)cosθ＝0時(shí)，θ＝eq\f（π,2).一、知識(shí)必備1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0≤θ＜eq\f(π,2)時(shí)），也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0，eq\f(π，2）＜θ≤π時(shí)），還可以為0（當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝eq\f（π,2）時(shí))．2．兩非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，求向量模時(shí)要靈活運(yùn)用公式|a｜＝eq\r（，a2）。二、方法必備1．求兩個(gè)非零向量a，b的夾角θ或其余弦值一般采用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b，｜a｜|b|)，根據(jù)題中條件分別求出|a|，|b|和a·b，確定θ時(shí)要注意θ∈［0,π]．2．由夾角范圍求參數(shù)的取值范圍一般利用以下結(jié)論：對(duì)于非零向量a，b，其夾角為θ，則θ∈eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)））?a·b＞0；θ∈eq\b\lc\（\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，2),π）)?a·b＜0，轉(zhuǎn)化為不等式(組）求解．1．在?ABCD中，∠DAB＝30°,則eq\o（AD，\s\up7（→）)與eq\o(CD，\s\up7(→））的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°D［如圖，eq\o(AD,\s\up7(→）)與eq\o（CD,\s\up7（→））的夾角為∠ABC＝150°.]2．已知單位向量a，b，則(2a＋b）·(2a－A．eq\r（3） B．eq\r（5）C．3 D．5C［由題意得(2a＋b)·（2a－b）＝4a2－3．已知平面向量a,b滿足a·(a＋b)＝