知識(shí)點(diǎn)28全等三角形2022

第一批一、選擇題1.（2022·濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵∠AOB=∠COD，∴∠AOC=∠BOD，又∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，故①正確；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如圖，設(shè)OA與BD相交于N，又∵∠ANM=∠BNO，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)O分別作AC和BD的垂線，垂足分別是E，F(xiàn)，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO平分∠BMC，故④正確；在△AOC中，∵OA＞OC，∴∠ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在△OCM和△OBM中，∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③錯(cuò)誤，所以①②④正確．故選B．2.3.4.5.67.8.910.11.12.二、填空題16．（2022·嘉興）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個(gè)平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為cm2．【答案】，【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°,∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm,如圖，當(dāng)點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，得△E'D'F'，過(guò)點(diǎn)D'作D'N⊥AC于點(diǎn)N，作D'M⊥BC于點(diǎn)M,∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°,∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F',∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）,∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM,∴CD'平分∠ACM,即點(diǎn)E沿AC方向下滑時(shí)，點(diǎn)D'在射線CD上移動(dòng)，∴當(dāng)E'D'⊥AC時(shí)，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm,∴當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A滑動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm.如圖，連接BD'，AD'，∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C,∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N,當(dāng)E'D'⊥AC時(shí)，S△AD'B有最大值，∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．故答案為：（24﹣12），（24+36﹣12）.18．（2022·株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在直線x＝1處放置反光鏡I，在y軸處放置一個(gè)有缺口的擋板II，缺口為線段AB，其中點(diǎn)A(0，1)，點(diǎn)B在點(diǎn)A上方，且AB＝1，在直線x＝﹣1處放置一個(gè)擋板III，從點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡I反射后，通過(guò)缺口AB照射在擋板III上，則落在擋板III上的光線的長(zhǎng)度為．第18題【答案】【解析】如圖，落在擋板III上的光線的長(zhǎng)度為MN的長(zhǎng)度,對(duì)應(yīng)的反光鏡I的邊界點(diǎn)分別為點(diǎn)P和點(diǎn)Q，根據(jù)光線的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,從而證明△APF≌△OPF，所以AO=2AF=2OF，∴AF=,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1，所以NE=2，∵AQ⊥y軸，∴PQ=AF=,由題意知，△AEM≌△AQP，所以ME=PQ=,所以MN=NE-ME=2-=.3.4.5.67.8.910.解答題23．（2022·武漢，23，20分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，M是BC上一點(diǎn)，連接AM（1）如圖1，若n＝1，N是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CN與AM垂直，求證：BM＝BN（2）過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AM，P為垂足，連接CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q①如圖2，若n＝1，求證：②如圖3，若M是BC的中點(diǎn)，直接寫出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示）【解題過(guò)程】（1）證明：延長(zhǎng)AM交CN于點(diǎn)H，∵AM與CN垂直，∠ABC＝90°，∴∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90°，∴∠BAM＝∠BCN．∵n＝1，∠ABC＝90°，∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBN．∴△ABM≌△CBN，∴BM＝BN．（2）①證明：過(guò)點(diǎn)C作CD第21題圖【解題過(guò)程】證明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°.∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D.∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E.又∵AB=AE，∴△ABC≌△EAD.19．（2022·黃岡）如圖，ABCD是正方形，E是CD邊上任意一點(diǎn)，連接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分別為F，G.求證：BF－DG＝FG.【解題過(guò)程】（2022安徽）如圖，點(diǎn)E在□ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE.求證：△BCE≌△ADF；（2）設(shè)□ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T，求的值.EEFCBAD【解題過(guò)程】解：（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)FA與CB交于點(diǎn)M，∵AD∥BE，∴∠FAD=∠M，又∵AF∥BE，∴∠M=∠EBC，∴∠FAD=∠EBC，同理得∠FDA=∠ECB，在△BCE和△ADF中，∵∠EBC=∠FAD，BC=AD，∠ECB=∠FDA，∴△BCE≌△ADF；………………4分MMEFCBA圖1D（2）如圖2，連接EF，由（1）知△BCE≌△ADF，∴AF=BE，又AF∥BE，于是四邊形ABEF為平行四邊形，∴S△AEF=S△AEB，同理S△DEF=S△DEC，∴T=S△AEB+ S△DEC，另一方面，T=S△AED+S△ADF=S△ACD+S△BCE，∴S=S△AEB+S△DCE+S△AED+S△BCE=2T，于是，=2.………………10分EEFCBA圖2D1.（2022·樂(lè)山）如圖，線段、相交于點(diǎn),,.求證：.證明：在和中，，, ≌，故.2.（2022·淄博）已知，在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠E＝∠C．證明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC,即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C．18．（2022浙江省溫州市，18，8分）（本題滿分8分）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）當(dāng)AD⊥BC，AE=1，CF=2時(shí)，求AC的長(zhǎng)．【解題過(guò)程】（1）∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF；（2）∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.25．(2022·泰州,25題,12分)如圖,線段AB＝8,射線BG⊥AB,P為射線BG上一點(diǎn),以AP為邊作正方形APCD,且C、D與點(diǎn)B在AP兩側(cè),在線段DP取一點(diǎn)E,使∠EAP＝∠BAP,直線CE與線段AB相交于點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)A、B不重合).(1)求證:△AEP≌△CEP;(2)判斷CF與AB的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(3)求△AEF的周長(zhǎng).第25題圖【解題過(guò)程】(1)∵四邊形APCD正方形,∴DP平分∠APC,PC＝PA,∴∠APD＝∠CPD＝45°,又因?yàn)镻E＝PE,∴△AEP≌△CEP(SAS);(2)CF⊥AB．理由如下:∵△AEP≌△CEP,∴∠EAP＝∠ECP,∵∠EAP＝∠BAP．∴∠BAP＝∠FCP,∵∠FCP+∠CMP＝90°,∠AMF＝∠CMP,∴∠AMF+∠PAB＝90°,∴∠AFM＝90°,∴CF⊥AB;第25題答圖(1)(3)過(guò)點(diǎn)C作CN⊥PB．可證得△PCN≌△APB,∴CN＝PB＝BF,PN＝AB,∵△AEP≌△CEP,∴AE＝CE,∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB＝16.第25題答圖(2)23．（2022·紹興）如圖1是實(shí)驗(yàn)室中的一種擺動(dòng)裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動(dòng)臂長(zhǎng)AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，擺動(dòng)臂DM可繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，AD=30，DM=10.（1）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：①當(dāng)A,D,M三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求AM的長(zhǎng)；②當(dāng)A,D,M三點(diǎn)在同一直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，求AM的長(zhǎng).（2）若擺動(dòng)臂AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D的位置由△ABC外的點(diǎn)D1轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點(diǎn)D2處，連結(jié)D1D2，如圖2，此時(shí)∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的長(zhǎng).【解題過(guò)程】24．（2022·蘇州，24，8）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上．AE=AB，將線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF的位置．使得∠CAF=∠BAE.連接EF，EF與AC交于點(diǎn)G.(1)求證：EF=BC；(2)若∠ABC=65°．∠ACB=28°，求∠FGC的度數(shù)第24題圖【解題過(guò)程】（1）證明：∵線段AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC=AF，∴∠CAF=∠BAE.∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE.即∠EAF=∠BAC．在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF，∠BAC=∠EAF，AC=AF，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF=BC(2)解：∵AE=AB，∴∠AEB=∠ABC=65°，∵△ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC=65°，∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°，∵∠FGC是△EGC的外角，∠ACB=28°，∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=50°+28°=78°.18．（2022·嘉興）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得結(jié)論“AE＝CF”成立，并加以證明．【答案】見(jiàn)解題過(guò)程【解題過(guò)程】添加條件：BE=DF或DE=BF或AE證明：在矩形ABCD中，ABBE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF.24．（2022山東煙臺(tái)，24，11分）【問(wèn)題探究】(1)如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，，點(diǎn)B，D在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：；②若，，則線段AD的長(zhǎng)為．【拓展延伸】(2)如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，，，，，，將△DEC繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．【解題過(guò)程】（1）本題的答案是①②4探究過(guò)程如下：①因?yàn)椤鰽BC和△DEC均為等腰直角三角形，所以，，所以，在△ACD與△BCE中，因?yàn)?，，，所以△ACD≌△BCE，所以,因?yàn)樗?，所以即所以，所以．②由①可得△ACD≌△BCE，所以,在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，設(shè)，則，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即線段AD的長(zhǎng)為4．（2）解：情況1：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)的圖形如圖（1）所示，第24題答圖（1）第24題答圖（1）因?yàn)樗运?，因?yàn)?，，所以在△ACD與△BCE中，因?yàn)椋?，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因?yàn)樗?，所以即所以，在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，設(shè)，則，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，線段AD的長(zhǎng)為．情況2：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)的圖形如圖（2）所示，第24題答圖（2）第24題答圖（2）因?yàn)樗运?，因?yàn)?，，所以在△ACD與△BCE中，因?yàn)?，，所以△ACD∽△BCE，所以,，所以因?yàn)樗?，所以即所以，在Rt△DCE中，由勾股定理得，，在Rt△ACD中，由勾股定理得，，設(shè)，則，所以，在Rt△ABD中，由勾股定理得，，即解得或（舍去），所以,即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，線段AD的長(zhǎng)為．綜上可知，線段AD的長(zhǎng)為或．17．（2022·山西）已知,如圖,點(diǎn)B,D在線段AE上,AD＝BE,AC∥EF,∠C＝∠F,求證:BC＝DF.第17題圖【解題過(guò)程】∵AD＝BE,∴AD－BD＝BE－BD,∴AB＝DE,∵AC∥EF,∴∠A＝∠E,在△ABC和△EDF中,∠C＝∠F,∠A＝∠E,AB＝ED,∴△ABC≌△EDF,∴BC＝DF.3.4.5.67.8.910.11.12.13.14.15.1617.18.1920.21.22.23.24.25.2627.28.2930.31.32.33.34.35.3637.38.39第二批一、選擇題6（2022·菏澤）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝4，CF＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1，故選B．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)二、填空題12.（2022·齊齊哈爾）如圖，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E,BF=CE,點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，若使△ABC≌△DEF，則還需添加的一個(gè)條件是（只填一個(gè)即可）【答案】AB=DE(或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF)【解析】由已知條件證明兩三角形全等的條件已經(jīng)具有一邊一角對(duì)應(yīng)相等，需要添加的條件要么是夾已知角的邊，構(gòu)造SAS全等，要么添加另外的任一組角構(gòu)造ASA或AAS,或者間接添加可以證明這些結(jié)論的條件即可.【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定19（2022·菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】83．【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長(zhǎng)CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，在△ADH與△BCD中，CD=DH∠ADH=∠BDC∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH=3AH＝43∴CD＝23，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2×12×4×23故答案為：83．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形三、解答題23.（2022·河北）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.邊AD與邊BC交于點(diǎn)P(不與點(diǎn)B，C重合)，點(diǎn)B、E在AD異側(cè).I為△APC的內(nèi)心.(1)求證：∠BAD＝∠CAE；(2)設(shè)AP＝x，請(qǐng)用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；(3)當(dāng)AB⊥AC時(shí)，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m、n的值.第23題圖第23題備用圖【思路分析】（1）先證明△ABC≌△ADE，再利用全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）由PD=AD-AP=6-x可知當(dāng)AP最小時(shí)，PD最大，此時(shí)AP⊥BC，然后使用三角函數(shù)求最大值；（3）利用△APC的內(nèi)心的性質(zhì)用含有∠AIC的式子表示∠APC的度數(shù)，進(jìn)而利用其點(diǎn)P的位置得到其取值范圍，然后接不等式得到∠AIC的取值范圍，最后確定m、n的值.【解題過(guò)程】（1）在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAD＝∠CAE.（2）∵AD＝6，AP＝x，∴PD=AD-AP=6-x.∴當(dāng)AP最小時(shí)，PD最大，此時(shí)AP⊥BC.如圖所示：第23題答圖1又∵AB＝6，∠B＝30°，∴x=AP=AB=×6=3，∴=6-x=6-3=3.（3）∵AB⊥AC，∠B＝30°，∴∠ACB=60°.∵I為△APC的內(nèi)心，∴∠ACI=∠ACB=×60°=30°.∴∠PAC=2∠IAC=2（180°-30°-∠AIC）=300°-2∠AIC，∴∠APC=∠B+∠BAP=30°+90°-∠PAC=120°-（300°-2∠AIC）=2∠AIC-180°，∵30°＜∠APC＜120°，∴30°＜2∠AIC-180°＜120°，解得105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150.【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段的性質(zhì)、最短路線問(wèn)題、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)、一元一次不等式組的解法21．（2022·黃石）如圖，在中，，為邊上的點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作,且、相交于點(diǎn).（1）求證：（2）求證：【思路分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，由余角的性質(zhì)可得∠C＝∠BAD；（2）由“ASA”可證△ABC≌△EAF，可得AC＝EF．【解題過(guò)程】證明：（1）∵AB＝AE，D為線段BE的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90，°∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠C＝∠BAD（2）∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠AEB，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠FAE，且∠AEF＝∠BAC＝90°，AB＝AE，∴△ABC≌△EAF（ASA），∴AC＝EF．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)18．（2022·陜西）（本題5分）如圖，點(diǎn)E、F分別在菱形ABCD的邊DC、DA上，且．求證：．【思路分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可以得到菱形的四條邊相等，對(duì)角相等，從而可以證明△ADE≌△ABC，所以，故得證．【解題過(guò)程】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以，，在△AFB與△CEB中，因?yàn)?，，，所以△APE≌△ABP，所以．【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)定理、全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)．19（2022·南京）如圖，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，CE∥AB，AC與DE相交于點(diǎn)F．求證：△ADF≌△CEF．【思路分析】依據(jù)四邊形DBCE是平行四邊形，即可得出BD＝CE，依據(jù)CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．【解題過(guò)程】證明：∵DE∥BC，CE∥AB，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∴BD＝CE，∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴AD＝EC，∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，∴△ADF≌△CEF（ASA）．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定；平行四邊形的判定18.（2022·廣州）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，求證：△ADE≌CFE．【思路分析】利用AAS證明：△ADE≌CFE．【解題過(guò)程】證明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE與△CFE中：∵∠A=∠FCF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE（AAS）．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定18.（2022·南充）如圖，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【思路分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解題過(guò)程】（1）證明：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，在與中，，；（2）解：，，，．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)18.（2022·宜賓）如圖，，，．求證：．【思路分析】由“”可證，可得．【解題過(guò)程】解：證明：，且，【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)18.（2022·宜昌）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC邊于點(diǎn)E，連接DE．（1）求證：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度數(shù)．【思路分析】（1）由角平分線定義得出∠ABE＝∠DBE，由SAS證明△ABE≌△DBE即可；（2）由三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分線定義得出∠ABE＝∠DBE=12∠ABC＝15°，在△【解題過(guò)程】解：（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE，在△ABE和△DBE中，AB=DB∠ABE=∠DBE∴△ABE≌△DBE（SAS）；（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE=12∠在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理第三批一、選擇題第7題圖7．（2022·安順）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判斷△ABC≌△DEF的是（）第7題圖A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BF＝EC【答案】A【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，A、添加AB＝DE可利用AAS判斷△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；B、添加∠A＝∠D無(wú)法判斷△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)符合題意；C、添加AC＝DF可利用AAS判斷△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；D、添加BF＝EC可得BC＝EF，可利用ASA判斷△ABC≌△DEF，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定。判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．二、填空題14．（2022·襄陽(yáng)）如圖，已∠ABC＝∠DCB，添加下列條件中的一個(gè)：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能確定△ABC≌△DCB的是________(只填序號(hào))．答案：②解析：本題考查了全等三角形的判定方法.已知∠ABC=∠DCB，圖中有公共邊BC=CB，因而添加①∠A=∠D可用AAS證明全等，添加③可用SAS證明全等，添加②就變成了“邊邊角”，不能確定全等．15.（2022·邵陽(yáng)）如圖，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得，你添加的條件是．（不添加任何字母和輔助線）【答案】或或【解析】，，可以添加，此時(shí)滿足；添加條件，此時(shí)滿足；添加條件，此時(shí)滿足，故答案為或或；【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定三、解答題23.（2022·桂林）如圖，，，點(diǎn)在上．（1）求證：平分；（2）求證：．【解題過(guò)程】解：（1）在與中，即平分；（2）由（1）在與中，得【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)20.（2022·鎮(zhèn)江）如圖，四邊形中，，點(diǎn)、分別在、上，，過(guò)點(diǎn)、分別作的垂線，垂足為、．（1）求證：；（2）連接，線段與是否互相平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）證明：，，，，，，，，，在和中，，；（2）線段與互相平分，理由如下：連接、，如圖所示：由（1）得：，，，四邊形是平行四邊形，線段與互相平分．【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)16.（2022·云南）如圖，AB＝AD，CB＝CD.求證：∠B＝∠D.證明：在△ABC和△ADC