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文檔簡介

1復變函數積分的定曲線.如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),則將C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.設曲線C的兩個端點為A與B如果將A到B的方向作為C的正方向則從B到A的方向就是C的負方向,并記作C.常將兩個端點中一個作為起點,另一個作為終點,沿該曲線前進時鄰近P點的曲線內部始終位2定義設函數w=f(z)定義在區(qū)域D內,C為在區(qū)線.把曲線C任意分成n個弧段,設分點為y

BA 3 Sn

)(zk

zk1)

)Δzkk k這里Δzkzkzk1記Δskzkzk1的長度有唯一極限,則稱其為f(z)沿曲線C的積分nf(z)dzlim

)Δzk

nk4f(z)dzlimnC

nnk

f(

)Δz

(3.1fz)dz表示沿C正向的積分Cfz)dz表示沿C反向的積分C沿閉曲線C的正向積分記作fz)dzC注當C是x軸上的區(qū)間axb而f(z)=u(x)時,5z=z(t)=x(t)+iy(t),t應于起點A及終點B,并且z’(t)0,<t<.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內處處連續(xù)則u(x,y)及v(x,y)均為D內的連續(xù)函數設k=k+ik因zk=6nf(k)Δnkn[u(k,k)iv(k,k)](Δnkn

iΔyk[u(k,k)Δkni[v(k,k)Δnk

v(k,k)Δyku(k,k)Δyk7由于u,v都是連續(xù)函數,根據線積分的存在定理,我們知道當n無限增大而弧段長度的最大值趨于零時不論對C的分法如何點(k,k)的取法如何上式右端的兩個和式的極限都是存在的.因此有Cf(z)dzCudxvdyiCvdx8當f(z)是連續(xù)函數而C是光滑曲線時, f(zdz是一定存在的.

f(z)dz可以通過兩個二元實變函數線積分來計算

,)9{u[x(t),y(t)]iv[x(t),y(t)]}{x(t)iy(t)}d f[z(t)]z(t)d所以f(zdz

f[z(t)]z(t)d 如果是由 而成,則我們定義f(z)dzf(z)dzf(z)dz·f(z)dz C計算zdz,其中C為原點到點3+4iC線段解:x=3t,y=4t, z=3t+i4t,在C上z=(3+4i)tdz=(3+4i)dt111zdz(34i)2tdt(34i)2td 1(34i)200

dC(zz

其中C為以z0為中心r為半徑的正向圓周n為整數 解C(zz(zz n10

2 irei rn1ei(n1) 2 rn

d r

2e 0d

2e 0C(zz)n0

r i

d2π2π22π2rn

(cosnisinn)d d 2π

n00|zz0|

(zz

n重要d

2π

n|zz0

(zz0

n注:這個結果以后經常要用到特點:與積分路線圓周的中心和半徑無關f(z)dz))

f(z)df(z)dz;(k[f(z)

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