2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章概率第2節(jié)古典概型教師用書文北師大版

PAGEPAGE1第二節(jié)古典概型[考綱]1.理解古典概型及其概率計算公式.2.會用列舉法計算一些隨機(jī)事件所包含的根本領(lǐng)件數(shù)及事件發(fā)生的概率．1．古典概型具有以下兩個特征的隨機(jī)試驗的數(shù)學(xué)模型稱為古典概型(古典的概率模型)．(1)試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果；(2)每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的可能結(jié)果數(shù),試驗的所有可能結(jié)果數(shù))＝eq\f(m,n).1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽〞屬于古典概型，其根本領(lǐng)件是“發(fā)芽與不發(fā)芽〞．()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面〞“一正一反〞“兩個反面〞，這三個結(jié)果是等可能事件．()(3)從－3，－2，－1,0,1,2中任取一數(shù)，取到的數(shù)小于0與不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在邊長為2的正方形內(nèi)任取一點，這點到正方形中心距離小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)以下試驗中，是古典概型的個數(shù)為()①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；③從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率．A．0 B．1C．2 D．3B[由古典概型的意義和特點知，只有③是古典概型．]3．(2022·全國卷Ⅲ)小敏翻開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，那么小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A.eq\f(8,15) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,30)C[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件總數(shù)有15種．∵正確的開機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).]4．(2022·全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，那么稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，那么這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)C[從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).應(yīng)選C.]5．甲、乙兩名運發(fā)動各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運動服中選擇1種，那么他們選擇相同顏色運動服的概率為________．eq\f(1,3)[甲、乙兩名運發(fā)動選擇運動服顏色的情況為(紅，紅)，(紅，白)，(紅，藍(lán))，(白，白)，(白，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(藍(lán)，紅)，共9種．而同色的有(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共3種．所以所求概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).]簡單古典概型的概率(1)(2022·佛山質(zhì)檢)5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為()A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1(2)(2022·全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，那么紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)(1)B(2)C[(1)記3件合格品分別為A1，A2，A3,2件次品分別為B1，B2，從5件產(chǎn)品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10種可能．其中恰有一件次品有6種可能，由古典概型得所求事件概率為eq\f(6,10)＝0.6.(2)從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，應(yīng)選C.][規(guī)律方法]1.計算古典概型事件的概率可分三步，(1)計算根本領(lǐng)件總個數(shù)n；(2)計算事件A所包含的根本領(lǐng)件的個數(shù)m；(3)代入公式求出概率P.2．用列舉法寫出所有根本領(lǐng)件時，可借助“樹狀圖〞列舉，以便做到不重、不漏．[變式訓(xùn)練1](1)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，那么這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)(2)(2022·江蘇高考)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，那么出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是____．(1)C(2)eq\f(5,6)[(1)設(shè)正方形的四個頂點分別是A，B，C，D，中心為O，從這5個點中，任取兩個點的事件分別為AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10種，其中只有頂點到中心O的距離小于正方形的邊長，分別是AO，BO，CO，DO，共有4種．所以所求事件的概率P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).(2)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲2次，所有等可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36種情況．設(shè)事件A＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10”，其對立事件eq\x\to(A)＝“出現(xiàn)向上的點數(shù)之和大于或等于10”，eq\x\to(A)包含的可能結(jié)果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6種情況．所以由古典概型的概率公式，得P(eq\x\to(A))＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，所以P(A)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).]復(fù)雜古典概型的概率(2022·山東高考)某兒童樂園在“六一〞兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖10-2-1所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.獎勵規(guī)那么如下：圖10-2-1①假設(shè)xy≤3，那么獎勵玩具一個；②假設(shè)xy≥8，那么獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準(zhǔn)備參加此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比擬小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．[解]用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，那么根本領(lǐng)件空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以根本領(lǐng)件總數(shù)n＝16.3分(1)記“xy≤3”為事件A，那么事件A包含的根本領(lǐng)件數(shù)共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).5分(2)記“xy≥8”為事件B，“3<xy<8”為事件C.那么事件B包含的根本領(lǐng)件數(shù)共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).8分事件C包含的根本領(lǐng)件數(shù)共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).10分所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.12分[規(guī)律方法]1.此題易錯點有兩個：(1)題意理解不清，不能把根本領(lǐng)件列舉出來；(2)不能恰當(dāng)分類，列舉根本領(lǐng)件有遺漏．2．求較復(fù)雜事件的概率問題，解題關(guān)鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉(zhuǎn)化為概率模型，必要時將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的和，或者先求其對立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蠼猓甗變式訓(xùn)練2](2022·濰坊質(zhì)檢)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)參加演講社團(tuán)85未參加演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率；(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率.【導(dǎo)學(xué)號：66482463】[解](1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，2分故至少參加上述一個社團(tuán)的共有45－30＝15人，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個社團(tuán)的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).5分(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個.8分根據(jù)題意，這些根本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．事件“A1被選中且B1未被選中〞所包含的根本領(lǐng)件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2個.10分因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝eq\f(2,15).12分古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用(2022·全國卷Ⅱ)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579(1)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比擬兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；圖10-2-2(2)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級〞．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求C的概率．[解](1)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下：2分通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比擬集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比擬分散.5分(2)記CA1表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意〞；CA2表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意〞；CB1表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意〞；CB2表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意〞；那么CA1與CB1獨立，CA2與CB2獨立，CB1與CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2.∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).8分又根據(jù)莖葉圖知P(CA1)＝eq\f(16,20)，P(CA2)＝eq\f(4,20)，P(CB1)＝eq\f(10,20)，P(CB2)＝eq\f(8,20).10分因此P(C)＝eq\f(10,20)×eq\f(16,20)＋eq\f(8,20)×eq\f(4,20)＝eq\f(12,25)＝0.48.12分[規(guī)律方法]1.此題求解的關(guān)鍵在于作出莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖準(zhǔn)確提煉數(shù)據(jù)信息，考查數(shù)據(jù)處理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．2．有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是關(guān)鍵．[變式訓(xùn)練3]海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)假設(shè)在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．[解](1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，2分所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×eq\f(1,