測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)

關(guān)于測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識(shí)第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五知識(shí)點(diǎn)一：誤差分類、性質(zhì)；衡量精度指標(biāo)第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5-1測(cè)量誤差的種類一、測(cè)量誤差的來(lái)源1）儀器（精密度、裝配、搬運(yùn)等）；2）觀測(cè)者（儀器安置,照準(zhǔn)讀數(shù)等;感覺(jué)器官的鑒別能力、工作態(tài)度、技術(shù)水平等）；3）外界環(huán)境條件（溫度、風(fēng)力、大氣折光等）如：觀測(cè)一段距離兩次，觀測(cè)值不完全相等等。故：測(cè)量誤差是不可避免的！

第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、測(cè)量誤差的種類按性質(zhì)分三類：1）粗差——特別大的誤差（錯(cuò)誤或異常值）記錯(cuò)、讀錯(cuò)或測(cè)錯(cuò)2）系統(tǒng)誤差——在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)中，數(shù)值大小或正負(fù)符號(hào)固定不變，或按一定規(guī)律變化的誤差，稱系統(tǒng)誤差。（如水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)i角誤差;鋼尺標(biāo)稱長(zhǎng)度不準(zhǔn)確等誤差）3）偶然誤差——在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)中，單個(gè)誤差出現(xiàn)沒(méi)有一定規(guī)律性，其數(shù)值大小和符號(hào)都不固定，表現(xiàn)出偶然，這種誤差乘為偶然誤差，又稱隨機(jī)誤差。（如：讀數(shù)誤差，照準(zhǔn)誤差等）第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測(cè)進(jìn)行檢核，并剔除；系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，采取適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法、檢校儀器或加改正數(shù)的方法抵消或減弱其影響；偶然誤差——改善外業(yè)測(cè)量環(huán)境,進(jìn)行多余觀測(cè)，并根據(jù)其統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行數(shù)學(xué)處理（平差）。第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、測(cè)量誤差的定義真誤差：觀測(cè)值與真值之差，即：

真誤差（?）=觀測(cè)值-真值例：觀測(cè)三角形三個(gè)內(nèi)角，分別為：則三角形的內(nèi)角和真誤差為：第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5-2偶然誤差的特性βαγ[例2]：對(duì)358個(gè)三角形在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了全部?jī)?nèi)角（圖5-1），三角形內(nèi)角和的誤差i為：i=i+i+i-180（5-1）其結(jié)果按誤差區(qū)間0.2秒間隔、數(shù)值大小及符號(hào)進(jìn)行排列（見(jiàn)表）。試:分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表2-1偶然誤差的統(tǒng)計(jì)

第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由上表，可總結(jié)偶然誤差的四個(gè)統(tǒng)計(jì)特性：1、一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定限值；（說(shuō)明偶然誤差出現(xiàn)的范圍）2、絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大；（說(shuō)明偶然誤差絕對(duì)值大小的規(guī)律）3、絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)個(gè)數(shù)大致相等；（誤差符號(hào)出現(xiàn)的規(guī)律）4、在相同條件下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，偶然誤差算數(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零。（說(shuō)明偶然誤差的抵償性）第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=f（）按表數(shù)據(jù)，繪制頻率直方圖：第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=f（）將區(qū)間縮小，繪制誤差分布曲線：可以看出:曲線越陡，小誤差越密集。第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五實(shí)踐證明：偶然誤差不能用計(jì)算來(lái)改正、或用一定的觀測(cè)方法簡(jiǎn)單的加以消除，只能根據(jù)其特性來(lái)合理地處理觀測(cè)數(shù)據(jù)，以提高觀測(cè)成果質(zhì)量。第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5-3衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)

研究誤差的目的之一就是對(duì)觀測(cè)值的精度做出科學(xué)評(píng)價(jià)，在我國(guó)，評(píng)定精度額標(biāo)準(zhǔn)，常用的有中誤差、極限誤差和相對(duì)誤差三種。一、觀測(cè)條件將儀器、人以及外界條件稱為“觀測(cè)條件”。觀測(cè)條件相同，則認(rèn)為觀測(cè)精度一樣，也稱為“等精度觀測(cè)”，反之，觀測(cè)條件不同，則稱為”不等精度觀測(cè)“。第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、衡量觀測(cè)精度的指標(biāo)衡量觀測(cè)精度：可通過(guò)統(tǒng)計(jì)表、直方圖或分布曲線來(lái)比較。不難看出，誤差曲線越陡，說(shuō)明小誤差出現(xiàn)的概率越大，精度也越高；反之，則低。衡量觀測(cè)精度的數(shù)字指標(biāo)：中誤差極限誤差相對(duì)中誤差第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1）中誤差中誤差的定義式：（5-1）實(shí)際中，觀測(cè)次數(shù)總是有限的，故常用M的估值:（5-2）不難看出：中誤差越大，表示觀測(cè)值的精度越低；反之，精度越高。第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例3：對(duì)同量分組各進(jìn)行了10次觀測(cè)，其真誤差為：第一組：第二組：試計(jì)算兩組觀測(cè)列中誤差。解：第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例4：某作業(yè)組對(duì)7個(gè)三角形進(jìn)行了內(nèi)角觀測(cè)，其三角形閉合差為：試計(jì)算這組閉合差的中誤差。解：第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2）極限誤差偶然誤差第一特性表明，一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定限值。若超過(guò)了，則認(rèn)為有錯(cuò)，應(yīng)舍去重測(cè)。這個(gè)限值稱為極限誤差。實(shí)踐證明：大于一倍的中誤差出現(xiàn)概率約占30%，大于兩倍占5%，大于三倍約站0.3%。定義：取兩倍或三倍的中誤差作為偶然誤差的極限誤差，即：

?容=2m（3m）（5-3）即：超過(guò)極限誤差的認(rèn)為是粗差，應(yīng)舍去重測(cè)。第18頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3）相對(duì)誤差中誤差和真誤差又稱絕對(duì)誤差。某些情況下單用中誤差表達(dá)觀測(cè)值精度是不能完全表達(dá)精度的優(yōu)劣。相對(duì)誤差定義：誤差與觀測(cè)值之比，用形式表示。即：分為：相對(duì)中誤差、相對(duì)容許誤差、相對(duì)閉合差。注意：相對(duì)誤差一般是用來(lái)衡量距離的精度的！是一無(wú)名數(shù)。第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五[例4]：用鋼卷尺丈量200m和40m兩段距離，量距的中誤差都是±2cm，問(wèn)兩者的精度是否相同？解：按定義，得：前者的相對(duì)中誤差為：

0．02／200＝1／10000后者相對(duì)中誤差則為：

0．02／40＝l／2000故前者的量距精度高于后者。第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五本知識(shí)點(diǎn)小節(jié)：1、誤差來(lái)源、分類以及性質(zhì)；2、衡量精度三個(gè)指標(biāo)。第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五知識(shí)點(diǎn)二：誤差傳播律第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5-4誤差傳播律在測(cè)量工作中，有一些需要知道的量并非直接觀測(cè)得到，而是通過(guò)觀測(cè)值以一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算而得，因此稱這些量為觀測(cè)值的函數(shù)。由于觀測(cè)值中含有誤差，使函數(shù)受其影響也含有誤差，此種誤差關(guān)系，稱之為誤差傳播。第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五誤差傳播律：表述觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。用途：當(dāng)已知一些量的中誤差，來(lái)求由這些量構(gòu)成的函數(shù)的中誤差（精度）。（中誤差的定義是求直接觀測(cè)量的精度的）例如：已知觀測(cè)高差的中誤差（精度），問(wèn)由其計(jì)算所得高程的精度？第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五1）線性函數(shù)的中誤差X是已知中誤差的獨(dú)立觀測(cè)值，K是常系數(shù)。當(dāng)觀測(cè)值的中誤差分別為：m1,m2…mn時(shí)，按傳播律得函數(shù)Z的中誤差為：[例5]

已知函數(shù)式：HA=H0+h1+h2，m1=m2=±3毫米，求A點(diǎn)高程的中誤差？第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五應(yīng)用誤差傳播律時(shí)，要注意一下特例：（1）當(dāng)k1=k2=…kn=0時(shí)，則函數(shù)（5-4）式為倍數(shù)函數(shù)：（2）當(dāng)k1=k2=….=kn=1時(shí)，則函數(shù)（5-4）式為和差函數(shù)：第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五可見(jiàn)，在應(yīng)用誤差傳播律解題時(shí)：（1）要正確列出函數(shù)式；（2）根據(jù)函數(shù)式找出所用的誤差傳播律公式，并將各數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)地帶入公式計(jì)算。第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：在1：500地形圖上量的某兩點(diǎn)的距離d=234.5mm,其中誤差md=±0.2mm,求該兩點(diǎn)間的地面水平距離D及其中誤差mD.解：第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例：設(shè)對(duì)某一個(gè)三角形觀測(cè)了其中α、β角，測(cè)角中誤差為試求第三個(gè)角γ的中誤差。解：第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2）非線性函數(shù)（一般函數(shù)）設(shè)有非線性函數(shù)Z=f(x１，x２…xn）

x１，x２…xn為獨(dú)立觀測(cè)值，其相應(yīng)的中誤差分別為m１、m２…mn，求函數(shù)Z的中誤差。

第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五不難看出，線性函數(shù)是非線性函數(shù)特例；綜合上述，應(yīng)用誤差傳播律求觀測(cè)值函數(shù)中誤差，一般按以下三個(gè)步驟計(jì)算：1、列出獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)式2、對(duì)函數(shù)全微分,計(jì)算各觀測(cè)值的偏導(dǎo)數(shù)值；3、根據(jù)各觀測(cè)值的和中誤差mxi,按公式計(jì)算函數(shù)值的中誤差mz.第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例【6】:已知x的中誤差為±8mm,y的中誤差為±5mm,求解z的中誤差。解：第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五本知識(shí)點(diǎn)小節(jié)：1、誤差傳播律應(yīng)用前提（求函數(shù)的中誤差）；2、誤差傳播律公式（線性、非線性）；3、應(yīng)用誤差傳播律注意事項(xiàng)（合并同類項(xiàng)、單位統(tǒng)一）。第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五知識(shí)點(diǎn)三：同精度直接觀測(cè)平差；不等精度直接觀測(cè)平差。第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5-5同精度直接觀測(cè)平差除了標(biāo)準(zhǔn)實(shí)體，自然界中的任何單個(gè)未知量的真值都是無(wú)法確定的；只有通過(guò)重復(fù)測(cè)量，才能對(duì)其真值做出可靠的估計(jì)。重復(fù)測(cè)量又會(huì)導(dǎo)致觀測(cè)值間產(chǎn)生矛盾；于是，就需對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，這過(guò)程稱為“測(cè)量平差”。測(cè)量平差目的就是對(duì)帶有誤差的觀測(cè)值給予適當(dāng)?shù)奶幚恚郧笃渥羁煽恐?，并評(píng)定其精度。第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、求或是值（平差值）在等精度直接觀測(cè)平差中，觀測(cè)值的算術(shù)平均值就是未知量的最或是值，即：改正數(shù)（殘差）：最或是值與觀測(cè)值之差，即改正數(shù)性質(zhì)（用來(lái)做計(jì)算檢核）：第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、評(píng)定精度1）觀測(cè)值中誤差上式為等精度觀測(cè)值中用改正數(shù)計(jì)算中誤差的公式，又叫“白塞爾”公式。第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五[例7]：對(duì)某角進(jìn)行了5次等精度觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果列于表。求其觀測(cè)值的中誤差。解：（1）計(jì)算改正數(shù)；（2）按公式求最或是值(算術(shù)平均值)、以及觀測(cè)值中誤差：第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2）算術(shù)平均值的中誤差函數(shù)式：利用誤差傳播律，可得：或：第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五[例8]：上題求最或是值的中誤差。解：由公式可直接求得可見(jiàn)：1）算術(shù)平均值的中誤差與觀測(cè)次數(shù)的平方根成反比。

2）但也不能單純以增加觀測(cè)次數(shù)來(lái)提高成果質(zhì)量！第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五下圖可以說(shuō)明之。第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五5-6不同精度直接觀測(cè)平差一、權(quán)與單位權(quán)“權(quán)”的原意為秤錘，此處用作權(quán)衡輕重之意?！皺?quán)”定義：權(quán)的性質(zhì)：是相對(duì)的，即可以衡量相對(duì)精度。“單位權(quán)”的定義：等于1的權(quán)為單位權(quán)，對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值為單位權(quán)觀測(cè)值，中誤差稱為單位權(quán)中誤差。第42頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、測(cè)量中常用定權(quán)方法1、同精度觀測(cè)的算數(shù)平均值的權(quán)即：權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比。2、權(quán)在水準(zhǔn)測(cè)量中的應(yīng)用即：當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差為同精度時(shí)，各水準(zhǔn)路線的