畢業(yè)論文-剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算方法

生畢業(yè)設(shè)計（論文）PAGEPAGE1剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算方法摘要：本文從轉(zhuǎn)動定律入手引出轉(zhuǎn)動慣量，然后介紹了轉(zhuǎn)動慣量的物理意義幾種計算方法。分別用定義法、疊加法、平行軸定理、垂直軸定理計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量,利用慣量張量計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量。關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動慣量；定義法；平行軸定理；垂直軸定理；慣量張量TheCalculationofRigidBodyMomentofInertiaAbstract:Thispaperdescribedtherotationlawofinertia,andthenintroducedthemomentofinertiaofthephysicalmeaningofsomecalculation.Therigidbodymomentofinertiawascalculatedrespectivelyusingdefinedmethod,superpositionmethod,theparallelaxistheoremandtheverticalaxistheorem.Thisarticlealsocalculatedtherigidbodymomentofinertiausingtheinertiatensor.Keywords:momentofinertia；definitionoflaw；parallelaxistheorem；verticalaxistheorem;inertiatensor引言：隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，轉(zhuǎn)動慣量作為一個重要的工程參數(shù)，在越來越多的領(lǐng)域受到重視，如何更方便，快捷，準(zhǔn)確的計算轉(zhuǎn)動慣量成為了一個迫切需要解決的問題。轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個質(zhì)元的質(zhì)量與這一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的和，而與質(zhì)元的運(yùn)動速度無關(guān)。與質(zhì)點(diǎn)的平動動能比較而言，轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時的質(zhì)量。物體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量是表示物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量的研究由來已久，現(xiàn)在所取得的成果就是前人一點(diǎn)一滴積累來的。本文將在此基礎(chǔ)上，本著循序漸進(jìn)的原則，對轉(zhuǎn)動慣量及多種計算方法進(jìn)行探討。近年來伴隨著高新技術(shù)的日新月異，對物體轉(zhuǎn)動慣量，尤其是對非均質(zhì)不規(guī)則物體早點(diǎn)過來的深入性研究，已經(jīng)對未來的航空、航天、軍事及精密儀器制造等高精尖行業(yè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。1轉(zhuǎn)動慣量的引入為引入轉(zhuǎn)動慣量，我們討論轉(zhuǎn)動定律。圖1如圖1所示，剛體可看成是由個質(zhì)點(diǎn)組成，此剛體可繞固定軸轉(zhuǎn)動

，于是剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都繞圖1如圖1所示，剛體可看成是由個質(zhì)點(diǎn)組成，此剛體可繞固定軸轉(zhuǎn)動

，于是剛體上每一質(zhì)點(diǎn)都繞軸作圓周運(yùn)動。在剛體上取質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，

繞軸作半徑為的圓周運(yùn)動。設(shè)質(zhì)點(diǎn)受兩個力作用，一個是外力，另一個是剛體中其它質(zhì)點(diǎn)作用的內(nèi)力，并設(shè)外力和內(nèi)力均在與軸相垂直的同一平面內(nèi)。由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為（1）如以和分別表示外力和內(nèi)力在切向的分力，那么質(zhì)點(diǎn)的切向運(yùn)動方程為（2）為質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。切向加速度與角加速度之間的關(guān)系。所以上式為（3）上式兩邊各乘以得（4）式中和分別是外力和內(nèi)力切向分力的力矩。考慮到外力和內(nèi)力在法向的分力和均通過轉(zhuǎn)軸，所以其力矩為零。故上式左邊也可理解為作用在質(zhì)點(diǎn)上的外力矩與內(nèi)力矩之和。若遍及所有質(zhì)點(diǎn)，可得（5）由于剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩為零，即。故上式為（6)而則為剛體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)所受的外力對轉(zhuǎn)軸的力矩的代數(shù)和，即合外力矩，用表示，有。這樣上式為（7）式中的與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，叫轉(zhuǎn)動慣量。對于繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體，它為一恒量，以表示，即（8)這樣，就有（9)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比，這個關(guān)系叫做定軸轉(zhuǎn)動時剛體的轉(zhuǎn)動定律，簡稱轉(zhuǎn)動定律。把式（9）與描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式相對比可以看出，它們的形式很相似：外力矩和外力相對應(yīng)，角加速度與加速度相對應(yīng)，轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量相對應(yīng)。轉(zhuǎn)動慣量的物理意義也可以這樣理解：當(dāng)以相同的力矩分別作用于兩個繞定軸轉(zhuǎn)動的不同剛體時，它們所獲得的角加速度一般是不一樣的。轉(zhuǎn)動慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉(zhuǎn)動狀態(tài)的慣性大；反之，轉(zhuǎn)動慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有的轉(zhuǎn)動狀態(tài)的慣性小。因此我們說，轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中的慣性大小的物理量。2轉(zhuǎn)動慣量的計算方法2.1定義法由可以看出，轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。如果剛體上的質(zhì)點(diǎn)是連續(xù)分布的，則其轉(zhuǎn)動慣量可以用積分進(jìn)行計算，即

（10）在國際單位制中，轉(zhuǎn)動慣量的單位是。下面計算兩種簡單形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量。例1

一質(zhì)量為、長為的均勻細(xì)長棒，如圖2所示，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

解

設(shè)細(xì)棒的線密度為。如圖所示，取一距離轉(zhuǎn)軸為處的質(zhì)量元，可得

圖2由于轉(zhuǎn)軸通過棒的中心，有圖2

如以通過棒的端點(diǎn)且平行于的軸為轉(zhuǎn)軸，用同樣的方法?？捎嬎愠霭魧Υ宿D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為。它比轉(zhuǎn)軸為時的轉(zhuǎn)動慣量要大。例2

一質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。

解

設(shè)盤的質(zhì)量面密度為。如圖3所示，在圓盤上取一半徑為、寬度為的圓環(huán)。圓環(huán)的面積為。此圓環(huán)質(zhì)量元。那么可以求得通過盤面中心垂直盤面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為

由于圓盤的半徑為，有圖3圖3必須指出，實(shí)際上只有對于幾何形狀簡單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體才能用積分的方法算出它們的轉(zhuǎn)動慣量。對于任意剛體的轉(zhuǎn)動慣量，通常是用實(shí)驗(yàn)的方法測定出來的。

如以代表剛體的體密度，為質(zhì)量元的體積元，于是轉(zhuǎn)動慣量可寫成。可以看出，剛體的轉(zhuǎn)動慣量與以下三個因素有關(guān)。

（1）與剛體的密度有關(guān)（幾何形狀簡單的剛體，則與質(zhì)量有關(guān)）。如半徑相同、厚薄相同的兩個圓盤，鐵質(zhì)的轉(zhuǎn)動慣量比木質(zhì)的大。

（2）與剛體的幾何形狀（及體密度的分布）有關(guān)，不同形狀的剛體，即使質(zhì)量相同，它們的轉(zhuǎn)動慣量也是不同的。質(zhì)量分布得離軸越遠(yuǎn)，物體的轉(zhuǎn)動慣量越大。

（3）剛體的轉(zhuǎn)動慣量還與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。如表中細(xì)棒對通過它中心點(diǎn)的軸和通過它一端的軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的。2.2疊加法利用轉(zhuǎn)動慣量的代數(shù)可加性計算。如物體由1，2兩部分組成，以表示1加2對軸的轉(zhuǎn)動慣量，以表示1部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量，以表示2部分對軸的轉(zhuǎn)動慣量。那么可得物體的轉(zhuǎn)動慣量為（11）如果及均很容易計算就可以通過上式計算，不必對2區(qū)域作積分，以避免復(fù)雜的計算。2.3平行軸定理如圖4所示，設(shè)通過剛體質(zhì)心的軸線為軸，剛體相對這個軸線的轉(zhuǎn)動慣量為。如果有另一軸線與通過質(zhì)心的軸線相平行，可以證明，剛體對通過軸的轉(zhuǎn)動慣量為

（12）圖4式中為剛體的質(zhì)量，為兩平行軸之間的距離。上述關(guān)系叫做轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。平行軸定理有助于計算轉(zhuǎn)動慣量，對研究剛體的滾動是很有幫助的?，F(xiàn)證明如下圖4上圖中，與軸與紙面垂直，帶撇坐標(biāo)系表示質(zhì)心坐標(biāo)系剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為（13）用表示剛體總質(zhì)量。根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)式，有，，和分別在質(zhì)心坐標(biāo)中的坐標(biāo)，因這一坐標(biāo)原點(diǎn)正在質(zhì)心，故，上式中兩項(xiàng)消失，即剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量，而，于是得（11）式，由定理知，在剛體對各平行軸的不同轉(zhuǎn)動慣量中，對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量最小。2.4垂直軸定理設(shè)剛體為厚度無窮小的薄板，建立坐標(biāo)系，軸與薄板垂直，坐標(biāo)面在薄板平面內(nèi)，剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量為（14）等號右方兩部分順次表示剛體對y和x軸的轉(zhuǎn)動慣量，即（15）因此，無窮小厚度的薄板對一與它垂直的坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于薄板對板面內(nèi)另二直角坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，稱垂直軸定理，注意：本定理對與有限厚度的板不成立。2.5慣量張量法2.5.1慣量張量由理論力學(xué)知識知道物體在一般情況下的慣量張量為（17）并且把它叫做對O點(diǎn)而言的慣量張量，而這一慣量矩陣的每一個元素（軸轉(zhuǎn)動慣量和慣量積）則叫做慣量張量，也叫慣量系數(shù)。其中（18）（19）（20）及（21）（22）（23）對質(zhì)量均勻分布，且形狀規(guī)則的剛體，我們可把上兩式改寫成積分形式，即（24）（24）（25）（26）及（27）（27）（28）（29）故，，就叫做剛體對x軸，y軸，z軸的軸轉(zhuǎn)動慣量，至于，，則因含有兩個坐標(biāo)的相乘項(xiàng)，所以叫做慣量積。2.5.2轉(zhuǎn)動慣量容易得到一般剛體的轉(zhuǎn)動慣量,由慣量張量計算轉(zhuǎn)動慣量的計算公式（30）式中為任一轉(zhuǎn)動瞬軸相對于坐標(biāo)軸的方向余弦，三個轉(zhuǎn)動慣量和六個慣量積（由于對稱關(guān)系，實(shí)際上也只有三個是相互獨(dú)立的）作為統(tǒng)一的一個物理量，來代表剛體轉(zhuǎn)動時慣性的量度。2.5.3應(yīng)用例3均勻長方形的邊長為與，質(zhì)量為，求此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量？用公式（16）來計算（取長方形的兩邊為坐標(biāo)軸，如圖5所用公式（16）來計算（取長方形的兩邊為坐標(biāo)軸，如圖5所示）。繞軸轉(zhuǎn)動的方向角為，，圖5圖53轉(zhuǎn)動慣量的討論在剛體對定軸的角動量的定義中出現(xiàn)一個新的物理量：轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量定義為。它取決于剛體對軸的質(zhì)量分布。對通常質(zhì)量密度均勻的剛體，它取決于剛體的質(zhì)量、形狀和轉(zhuǎn)軸位置三個因素。轉(zhuǎn)動慣量的定義表明，一個質(zhì)點(diǎn)對定軸的轉(zhuǎn)動慣量是，而剛體的轉(zhuǎn)動慣量就是剛體中的所有質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量之和。這也意味著一個剛體整體的轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)等于其各部分的轉(zhuǎn)動慣量之和。4結(jié)論通過對剛體轉(zhuǎn)動慣量的概念、平行軸定理、垂直軸定理及慣性張量的綜合應(yīng)用，本文對比了幾種計算轉(zhuǎn)動慣量的方法。顯然，適當(dāng)選取質(zhì)量元，使用均質(zhì)直桿，均質(zhì)圓環(huán)，球殼等特殊形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的已知結(jié)論，再合理的轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系，運(yùn)用平行軸定理或垂直軸定理可以大大簡化計算難度，使物理意義更明確，讓質(zhì)量分布規(guī)律性較強(qiáng)的剛體的轉(zhuǎn)動慣量計算過程更清晰，步驟更簡潔。參考文獻(xiàn)：[1]馬文蔚.物理學(xué)