2020年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試卷 全國(guó)Ⅲ卷（含答案）

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.52.若，則()A. B. C. D.i3.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0.01，則數(shù)據(jù)的方差為()A．0.01 B．0.1 C．1 D．104.Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù).當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）()A.60 B.63 C.66 D.695.已知，則()A. B. C. D.6.在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡為()A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A． B． C． D．8.點(diǎn)到直線距離的最大值為()A．1 B． C． D．29.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.10.設(shè)，，，則()A． B. C. D.11.在中，，，則()A. B.2 C.4 D.812.已知函數(shù)，則()A.的最小值為2 B.的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)____.14.設(shè)雙曲線的一條漸近線為,則的離心率為_(kāi)__.15.設(shè)函數(shù)，若，則____.16.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和.若，求.18.（12分）某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：[0,200]（200,400]（400,600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱(chēng)這天“空氣質(zhì)量不好”。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：，19.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，在分別在棱，上，且，，證明：（1）當(dāng)時(shí)，;（2）點(diǎn)在平面內(nèi).20.（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21.（12分）已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點(diǎn).（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn).（1）求；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程.23．[選修4-5：不等式選講](10分)設(shè).（1）證明：；（2）用中的最大值，證明：

參考答案1.答案：B解析：集合，集合，，中有3個(gè)元素，故選B.2.答案：D解析：，，，故選D.3.答案：C解析：樣本數(shù)據(jù)的方差為0.01，，樣本數(shù)據(jù)的方差為，故選C.4.答案：C解析：由題意可得，當(dāng)時(shí)，，，，，，故選C.5.答案：B解析：，，故選B.6.答案：A解析：以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，點(diǎn)的軌跡為圓，故選A.7.答案：B解析：通解聯(lián)立拋物線方程與直線方程，可得點(diǎn)，或，.，，即，，拋物線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B.秒解根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知或，代入拋物線方程，得，拋物線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選B.8.答案：B解析：解法一由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要使最大，需且最小，當(dāng)時(shí)，，故選B.解法二記點(diǎn)，直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)垂直于直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，且最大值為，故選B.9.答案：C解析：由三視圖可知該幾何體為三棱錐，記為三棱錐，將其放入正方體中，如圖，易知，，故其表面積為，故選C.10.答案：A解析：，，，.，，，，，故選A.11.答案：C解析：解法一在中，，則，所以.由余弦定理知，所以.由正弦定理，得，易知，所以，.故選C.解法二在中，，，，所以由余弦定理知，所以，所以是等腰三角形.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，所以.故選C.12.答案：D解析：由題意得.對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，，則，的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，，所以，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以D正確.故選D.13.答案：7解析：解法一作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，畫(huà)出直線，平移該直線，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，.解法二易知的最大值在可行域的頂點(diǎn)處取得，只需求出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，分別將各頂點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得最大值.聯(lián)立得解得代入中可得；聯(lián)立得解得代入中可得；聯(lián)立得解得代入中可得.通過(guò)比較可知，的最大值為7.14.答案：解析：由雙曲線的一條漸近線為可知，，即.在雙曲線中，，所以，所以.15.答案：1解析：由于，故，解得.16.答案：解析：解法一如圖，在圓錐的軸截面中，，，，圓內(nèi)切于，為切點(diǎn)，連接，則.在中，.易知，則.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，則，在中，，即，所以，圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.解法二如圖，記圓錐的軸截面為，其中，，，在中，，則.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.17.答案：(1)(2)解析：(1)設(shè)的公比為，則.由已知得解得，.所以的通項(xiàng)公式為.(2)由（1）知.故.由得，即.解得（舍去），.18.答案：（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、0.09（2）350（3）有，理由見(jiàn)解析.解析：（1）由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率的估計(jì)值如下表：空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09（2）一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為.（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：人次人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得.由于，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).19.答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析解析：（1）如圖，連結(jié)，.因?yàn)?，所以四邊形為正方形，?又因?yàn)槠矫?，于?所以平面.由于平面，所以.（2）如圖，在棱上取點(diǎn)，使得，連結(jié)，，.因?yàn)?，，，所以，于是四邊形為平行四邊形，?因?yàn)?，，，所以，，四邊形為平行四邊形，?于是.所以四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi).20.答案：（1）詳見(jiàn)解析(2).解析：(1).當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不可能有三個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，此時(shí)，且，.根據(jù)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，解得，因此的取值范圍為.21.答案：（1）；（2）解析：（1）由題設(shè)可得，得，所以的方程為.（2）設(shè)，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可設(shè)，由題意知.由已知可得，直線的方程為，所以，.因?yàn)?，所以，將代入的方程，解得?由直線的方程得或8.所以點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，；，.，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，故的