1-8空間向量與立體幾何

學習數學領悟數學秒殺數學第一章立體幾何專題8空間向量與立體幾何秒殺秘籍：第一講求平面法向量坐標的特殊方法1．空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量．向量一般用有向線段表示，同向等長的有向線段表示同一或相等的向量．2．空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在有序實數組，使得．若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，都叫做基向量，空間任何三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．3．向量的數量積：已知向量，則叫做的數量積，記作，即．向量的夾角公式．4．平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：（1）法向量一定是非零向量；（2）一個平面的所有法向量都互相平行；（3）向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內，則有．?第一步：寫出平面內兩個不平行的向量=(x1，y1，z1)，=(x2，y2，z2)，?第二步：那么平面法向量5．判定直線、平面間的位置關系（1）直線與直線的位置關系：不重合的兩條直線a，b的方向向量分別為，．①若∥，即=λ，則a∥b．②若⊥，即·=0，則a⊥b（2）直線與平面的位置關系：直線L的方向向量為，平面α的法向量為，且L⊥α．①若∥，即=λ，則L⊥α②若⊥，即·=0，則a∥α．（3）平面與平面的位置關系：平面α的法向量為，平面β的法向量為．①若∥，即=λ，則α∥β②若⊥，即·=0，則α⊥β【例1】正方體中，E、F分別是、CD的中點，求證:平面AED⊥平面．【證明】以A為原點建立如圖所示的的直角坐標系，設：正方體的棱長為2，那么，，，，于是，設平面AED的法向量為得解得：取得同理可得平面的法向量為平面平面．6．空間角的計算（1）兩條異面直線所成角的求法：設直線a，b的方向向量為，，其夾角為θ，則cosφ＝|cosθ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)．（2）直線和平面所成角的求法如圖所示，設直線l的方向向量為，平面α的法向量為，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量與的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝，或者sinφ＝cosθ．（3）二面角的求法①利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，〈，〉即為所求二面角的平面角．②對于易于建立空間直角坐標系的幾何體，求二面角的大小時，可以利用這兩個平面的法向量的夾角來求．如圖所示，二面角α－l－β，平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，則二面角α－l－β的大小為θ或π－θ．【例2】如圖所示，已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA=60°．（1）求DP與CC′所成角的大小；（2）求DP與平面AA′D′D所成角的大小．【解析】如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標系D—xyz．則，．連接BD，．在平面中，延長DP交于H．設，由已知，由，可得，解得，所以．因為所以，即與所成的角為．（2）平面的一個法向量．因為所以，可得DP與平面所成的角為．【例3】如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分別為CD，PB的中點．（1）求證：EF⊥平面PAB；（2）設AB=BC，求AC與平面AEF所成角的大小．【證明】（1）以D為原點，DC，DA，DP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系．設，，則，，，，，．，，．，．，平面PAB．【解析】（2），，從而，，．設平面AEF的法向量為，則即；即令，則，，平面AEF的一個法向量為．設AC與平面AEF所成角為，則．【例4】如圖，在正四棱柱中，，點E，M分別圖為，的中點，過，B，M三點的平面交于點N．（1）求證:EM∥平面；（2）求二面角的正切值．【證明】（1）建立圖所示空間直角坐標系，設AB=2a，AA1=a(a＞0)，則A1(2a，0，a)，B(2a，2a，0)，C(0，2a，0)，C1(0，2a，a)．∵E為A1B的中點，M為CC1的中點，∴E（2a，a，），M（0，2a，）．∴=(-2a，a，0)．∴EM∥平面A1B1C1D1．【解析】（2）設平面A1BM的法向量為．∵=(0，2a，-a)，=（-2a，0，），∴由，，2ay-az=0，x=，-2ax+=0．y=，∴令z=a，則=（，，a）而平面A1B1C1D1的法向量為，設二面角為θ，則cosθ=又∵二面角為銳二面角，∴cosθ=從而tanθ=即二面角B—A1N—B1的正切值為．7．求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質直接計算．如圖，設兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為，這時分別在a、b上任取A、B兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離．∴即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．【例5】在棱長為1的正方體中，求異面直線AC1與BD間的距離．【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，(1，1，1)，設異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量，則由，得得：∴異面直線與BD間的距離．（2）點到平面的距離A為平面α外一點(如圖)，為平面α的法向量，過A作平面α的斜線AB及垂線AH．【小結】點到平面的距離等于平面內外兩點的向量和平面的法向量的數量積的絕對值與平面的法向量模的比值．【例6】在直三棱柱中，，，∠ACB=90°，求B1到面的距離．【解析】以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz，則C(0，0，0)，(1，0，)，B(0，1，0)，(0，1，)．設面的法向量，由得．或．【例7】在三棱錐中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，M，N分別為AB，SB的中點，如圖所示．求點B到平面CMN的距離．【解析】取AC的中點O，連接OS，OB．∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO．如圖所示，建立空間直角坐標系O-xyz，則B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）∴=(3，，0)，=(-1，0，)，=(-1，，0)．設為平面CMN的一個法向量，·n=3x+y=0，==0，取，則x=，y=，∴∴點B到平面CMN的距離．【例8】如圖示，在三棱錐中，，，AP=BP=AB，PC⊥AC．求證：PC⊥AB；求二面角B-AP-C的余弦值；（3）求點C到平面APB的距離．【證明】（1）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．∵AC∩BC=C，∴PC⊥平面ABC．∵AB平面ABC，∴PC⊥AB．【解析】（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C—xyz．則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．設P（0，0，t），∵|PB|=|AB|=2，∴t=2，P（0，0，2）取AP中點E，連接BE，CE．∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，∴CE⊥AP，BE⊥AP．∴∠BEC是二面角B—AP—C的平面角．∵E（0