北師大版選擇性必修第一冊(cè)6-1-3全概率公式作業(yè)

課時(shí)作業(yè)(三十三)全概率公式1．盒中有a個(gè)紅球，b個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并加上同色球c個(gè)，再?gòu)暮兄谐槿∫磺?，則第二次抽出的是黑球的概率是()A.eq\f(b,a＋b＋c) B．eq\f(b,a＋c)C.eq\f(b,a＋b) D．eq\f(b＋c,a＋b＋c)答案：C解析：設(shè)事件A＝{第一次抽出的是黑球}，事件B＝{第二次抽出的是黑球}，則B＝AB＋eq\x\to(A)B，由全概率公式得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．由題意知P(A)＝eq\f(b,a＋b)，P(B|A)＝eq\f(b＋c,a＋b＋c)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(a,a＋b)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(b,a＋b＋c)，所以P(B)＝eq\f(b?b＋c?,?a＋b??a＋b＋c?)＋eq\f(ab,?a＋b??a＋b＋c?)＝eq\f(b,a＋b).2．(2022福建龍巖武平縣一中月考)(多選題)甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事件B與事件A1相互獨(dú)立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件答案：BD解析：因?yàn)槊看稳∫磺颍訟1，A2，A3是兩兩互斥的事件，D正確；因?yàn)镻(A1)＝eq\f(5,10)，P(A2)＝eq\f(2,10)，P(A3)＝eq\f(3,10)，所以P(B|A1)＝eq\f(P?BA1?,P?A1?)＝eq\f(\f(5,10)×\f(5,11),\f(5,10))＝eq\f(5,11)，B正確；同理得P(B|A2)＝eq\f(P?BA2?,P?A2?)＝eq\f(\f(2,10)×\f(4,11),\f(2,10))＝eq\f(4,11)，P(B|A3)＝eq\f(P?BA3?,P?A3?)＝eq\f(\f(3,10)×\f(4,11),\f(3,10))＝eq\f(4,11).所以P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＋P(BA3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，AC錯(cuò)誤．故選BD.3．從數(shù)字1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X，再?gòu)?至X中任取一個(gè)整數(shù)，記為Y，則P(Y＝2)＝________.答案：eq\f(13,48)解析：由題意，知P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝eq\f(1,4)，易得P(Y＝2|X＝1)＝0，P(Y＝2|X＝2)＝eq\f(1,2)，P(Y＝2|X＝3)＝eq\f(1,3)，P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4).由全概率公式，可得P(Y＝2)＝P(X＝1)P(Y＝2|X＝1)＋P(X＝2)P(Y＝2|X＝2)＋P(X＝3)P(Y＝2|X＝3)＋P(X＝4)P(Y＝2|X＝4)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)))＝eq\f(13,48).4．(2022江蘇南通檢測(cè))近年來(lái)，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道道亮麗的風(fēng)景線．他們根據(jù)外賣平臺(tái)提供的信息到外賣店取單．某外賣小哥每天來(lái)往于r個(gè)外賣店(外賣店的編號(hào)分別為1,2，…，r，其中r≥3)，約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余r－1個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單，叫做第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的r－1個(gè)外賣店取單．設(shè)事件Ak＝{第k次取單恰好是從1號(hào)店取單}，P(Ak)是事件Ak發(fā)生的概率，顯然P(A1)＝1，P(A2)＝0，則P(A3)＝________，P(Ak＋1)與P(Ak)的關(guān)系式為_(kāi)_______(k∈N＋)．答案：eq\f(1,r－1)P(Ak＋1)＝[1－P(Ak)]eq\f(1,r－1)解析：因?yàn)锳2＝{第2次取單恰好是從1號(hào)店取單}，由于每天第1次取單都是從1號(hào)店開(kāi)始，根據(jù)題意，第2次不可能從1號(hào)店取單，所以P(A2)＝0.又因?yàn)锳3＝{第3次取單恰好是從1號(hào)店取單}，所以P(A3)＝P(eq\x\to(A)2A3)＝P(eq\x\to(A)2)P(A3|eq\x\to(A)2)＝[1－P(A2)]eq\f(1,r－1)＝eq\f(1,r－1).由題意，可知P(Ak＋1)＝P(eq\x\to(A)kAk＋1)＝P(eq\x\to(A)k)P(Ak＋1|eq\x\to(A)k)＝[1－P(Ak)]P(Ak＋1|eq\x\to(A)k)＝[1－P(Ak)]eq\f(1,r－1).5．某廠的產(chǎn)品中96%是合格品．現(xiàn)有一驗(yàn)收方法，把合格品判為“合格品”的概率為0.98，把非合格品判為“合格品”的概率為0.05.當(dāng)驗(yàn)收方法判一產(chǎn)品為“合格品”時(shí)，求此產(chǎn)品為合格品的概率．解：設(shè)“一產(chǎn)品經(jīng)驗(yàn)收判為合格品”為事件A，“一產(chǎn)品為合格品”為事件B，由題知P(B)＝0.96，P(A|B)＝0.98，P(eq\x\to(B))＝0.04，P(A|eq\x\to(B))＝0.05.由貝葉斯公式得P(B|A)＝eq\f(P?B?P?A|B?,P?B?P?A|B?＋P?\x\to(B)?P?A|\x\to(B)?)＝eq\f(0.96×0.98,0.96×0.98＋0.04×0.05)≈0.9979.故此產(chǎn)品為合格品的概率約為0.9979.6．1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱中隨機(jī)取出一球，問(wèn)：(1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？解：(1)設(shè)“從2號(hào)箱中取出的是紅球”為事件A，“從1號(hào)箱中取出的是紅球”為事件B.P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)，P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴由(1)及題意知，P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).7．一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè)，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字．求：(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)密碼的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位數(shù)字是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)密碼的概率．解：(1)設(shè)“第i次按對(duì)密碼”為事件Ai(i＝1,2)，則事件A＝A1＋eq\x\to(A)1A2表示不超過(guò)2次就按對(duì)密碼．因?yàn)槭录嗀1與eq\x\to(A)1A2互斥，所以由概率加法公式，得P(A)＝P(A1)＋P(eq\x\to(A)1A2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9×1,10×9)＝eq\f(1,5).(2)用B表示“最后一位數(shù)字是偶數(shù)”這個(gè)事件，則A|B＝A1|B＋(eq\x\to(A)1A2)|B.所以P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq\x\to(A)1A2)|B)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4×1,5×4)＝eq\f(2,5).8．有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1,2,3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1,2,3)臺(tái)車床加工的概率．解：設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”，Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1,2,3)，則Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3兩兩互斥．根據(jù)題意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.(1)由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525