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一.求下列一階微分方程的解:

測(cè)驗(yàn)解答解:為變量分離方程.分離變量,得兩邊積分,得通解即

為齊次微分方程.作變換方程變?yōu)閮蛇叿e分,化簡(jiǎn)得方程通解為解:原方程即此外方程還有特解：作變換方程變?yōu)榻?原方程即令

得再作變換上式變?yōu)榉蛛x變量,得兩邊積分,得最后,代回得通解注意即包含在通解中.

為伯努利方程.作變換方程變?yōu)橛沙?shù)變易公式,得解:原方程即方程通解為方程有特解解:記由于方程有僅與y有關(guān)的積分因子用乘原方程兩邊,得方程有特解方程通解為

令方程變?yōu)閮蛇厡?duì)求導(dǎo),得于是或解:為已解出y的一階隱式微分方程因此或?qū)⒋?6.1),得通解將代入(6.1),得特解

令方程變?yōu)榻?為不顯含y的一階隱式微分方程

令則故方程通解為或的解的最大存在區(qū)間.過(guò)點(diǎn)解:先求方程的通解.通解為分離變量,得兩邊積分的解為由于通過(guò)點(diǎn)且在上有定義,因此方程的解的最大存在區(qū)間為代入得于是方程通過(guò)點(diǎn)證明：為由常數(shù)變易公式，可得的任一解，設(shè)二.設(shè)在的任一解上連續(xù),且

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