-新教材高中數(shù)學(xué)第六章統(tǒng)計(jì)3用樣本估計(jì)總體分布學(xué)案北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE13從頻數(shù)到頻率頻率分布直方圖新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性數(shù)據(jù)分析、直觀想象與傳統(tǒng)相機(jī)比較，在數(shù)碼相機(jī)中，有一種十分實(shí)用的功能，這就是直方圖顯示功能．直方圖就是通過(guò)在LCD上顯示出來(lái)的曝光量柱形圖來(lái)確定照片曝光量大小的工具，通過(guò)直方圖的橫軸和縱軸我們可以直觀地看出拍攝的照片的曝光情況，在拍攝時(shí)能給攝影者帶來(lái)很大的方便．[問(wèn)題]你會(huì)畫這樣的柱形圖嗎？知識(shí)點(diǎn)一從頻數(shù)到頻率1．頻率表示頻數(shù)與總數(shù)的比值．2．頻率反映了相對(duì)總數(shù)而言的相對(duì)強(qiáng)度，其所攜帶的總體信息遠(yuǎn)超過(guò)頻數(shù)．在實(shí)際問(wèn)題中，如果總體容量比較小，頻數(shù)也可以較客觀地反映總體分布；當(dāng)總體容量較大時(shí)，頻率就更能客觀地反映總體分布．容量為100的樣本數(shù)據(jù)被分為6組，如表：組號(hào)123456頻數(shù)14171820x15第5組的頻率是()A．0.15 B．0.16C．0.18 D．0.20答案：B知識(shí)點(diǎn)二頻率分布直方圖1．定義：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的底邊長(zhǎng)是該組的組距，每個(gè)小矩形的高是該組的頻率與組距的比，從而每個(gè)小矩形的面積等于該組的頻率，即每個(gè)小矩形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率．我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖．2．頻率分布直方圖與頻率的關(guān)系頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大?。?．頻率分布直方圖的好處(1)能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別；(2)當(dāng)考慮數(shù)據(jù)落在若干個(gè)組內(nèi)的頻率之和時(shí)，可以用相應(yīng)矩形面積之和來(lái)表示．4．畫頻率分布直方圖的步驟(1)計(jì)算極差；(2)確定組距與組數(shù)；(3)分組；(4)列表；(5)畫頻率分布直方圖．5．頻率折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．eq\a\vs4\al()頻率分布直方圖應(yīng)關(guān)注的問(wèn)題(1)一般地，樣本容量越大，所分組數(shù)越多，為方便起見(jiàn)，組距的選擇力求“取整”，當(dāng)樣本容量不超過(guò)120時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，通常分成5～12組；(2)畫頻率分布直方圖時(shí)，同一組數(shù)據(jù)，分組時(shí)組距要相等，每個(gè)矩形的高與頻率成正比，這點(diǎn)應(yīng)特別注意．頻數(shù)分布直方圖與頻率分布直方圖有什么不同？提示：頻數(shù)分布直方圖能使我們清楚地知道數(shù)據(jù)分布在各個(gè)小組的個(gè)數(shù)，而頻率分布直方圖則是從各小組數(shù)據(jù)在所有數(shù)據(jù)中所占的比例大小的角度來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律．對(duì)某活動(dòng)中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組[25，30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，依據(jù)此圖回答以下問(wèn)題：(1)年齡組[25，30)對(duì)應(yīng)小矩形的高度為_(kāi)_______；(2)據(jù)此估計(jì)本次活動(dòng)中志愿者年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)為_(kāi)_______．解析：(1)設(shè)年齡組[25，30)對(duì)應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)由(1)得志愿者年齡在[25，35)內(nèi)的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25，35)內(nèi)的人數(shù)約為0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)440知識(shí)點(diǎn)三其他統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例條形圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率eq\a\vs4\al()幾種表示樣本分布的方法的比較表示樣本分布的方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切不夠直觀、形象，損失了樣本的一些信息，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢(shì)不夠方便頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表示數(shù)據(jù)分布的情況，能看到在頻率分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式從直方圖本身不能得出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的數(shù)據(jù)信息被抹掉了折線圖反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉了條形圖能夠使人們一眼看出各個(gè)數(shù)量的多少，易于比較數(shù)據(jù)之間的差別不能直觀地看出各部分占總體的百分比扇形圖能反映部分與整體的關(guān)系，可以清楚地看出各部分所占的百分比不能看出各部分的數(shù)量要反映某市一周內(nèi)每天的最高氣溫的變化情況，宜采用()A．條形統(tǒng)計(jì)圖 B．扇形統(tǒng)計(jì)圖C．折線統(tǒng)計(jì)圖 D．頻率分布直方圖解析：選C描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)宜采用折線統(tǒng)計(jì)圖．頻數(shù)與頻率的有關(guān)計(jì)算[例1]已知一個(gè)容量是40的樣本，把它分成六組，第一組到第四組的頻數(shù)分別是5，6，7，10，第五組的頻率是0.2，那么第六組的頻數(shù)是________，頻率是________．[解析]因?yàn)轭l率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)，所以頻數(shù)＝頻率×樣本容量，因?yàn)榈谖褰M的頻率是0.2，所以頻數(shù)是0.2×40＝8，第六組的頻數(shù)是40－(5＋6＋7＋10＋8)＝4，所以第六組的頻率是eq\f(4,40)＝0.1.[答案]40.1eq\a\vs4\al()頻數(shù)與頻率的求解策略對(duì)于頻數(shù)與頻率的問(wèn)題，首先要明確幾個(gè)等量關(guān)系，即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組的頻率之和為1，頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量).在解題過(guò)程中，要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系，弄清已知、未知，選擇合適的公式進(jìn)行解題．[跟蹤訓(xùn)練]一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下表：組距[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[10，50)上的頻率為_(kāi)_______．解析：區(qū)間[10，50)包括四部分的數(shù)據(jù)，在這四部分上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)和是2＋3＋4＋5＝14，樣本容量為20，所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[10，50)上的頻率為eq\f(14,20)＝0.7.答案：0.7頻率分布直方圖、頻率折線圖的畫法[例2](鏈接教科書第161頁(yè)例3)為了了解某片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量其中的100棵樹的底部周長(zhǎng)，得到如下數(shù)據(jù)(單位：cm)：135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖；(3)估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100cm的樹占多少，底部周長(zhǎng)不小于120cm的樹占多少．[解](1)這組數(shù)據(jù)的最大的數(shù)為135，最小的數(shù)為80，最大的數(shù)與最小的數(shù)的差為55，可將該組數(shù)據(jù)分為11組，組距為5.頻率分布表如下：底部周長(zhǎng)分組頻數(shù)頻率eq\f(頻率,組距)[80，85)10.010.002[85，90)20.020.004[90，95)40.040.008[95，100)140.140.028[100，105)240.240.048[105，110)150.150.030[110，115)120.120.024[115，120)90.090.018[120，125)110.110.022[125，130)60.060.012[130，135]20.020.004(2)頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示．(3)從頻率分布表得，樣本中底部周長(zhǎng)小于100cm的頻率為0.01＋0.02＋0.04＋0.14＝0.21，樣本中底部周長(zhǎng)不小于120cm的頻率為0.11＋0.06＋0.02＝0.19.所以估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100cm的樹占21%，底部周長(zhǎng)不小于120cm的樹占19%.eq\a\vs4\al()繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的2個(gè)問(wèn)題(1)在繪制出頻率分布表后，畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的，合理的定高方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度”(沒(méi)有統(tǒng)一規(guī)定)，然后以各組的“頻率/組距”所占的比例來(lái)定高．如我們預(yù)先設(shè)定以“”為一個(gè)單位長(zhǎng)度，代表“0.1”，則若一個(gè)組的eq\f(頻率,組距)為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個(gè)單位長(zhǎng)度)，如此類推；(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～120個(gè)左右時(shí)，應(yīng)分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于各組的頻率，小長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.[跟蹤訓(xùn)練]有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：[10，15)，4；[15，20)，5；[20，25)，10；[25，30)，11；[30，35)，9；[35，40)，8；[40，45]，3.(1)求出樣本中各組的頻率；(2)畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖．解：(1)由所給的數(shù)據(jù)，可得下表：分組頻數(shù)頻率[10，15)40.08[15，20)50.10[20，25)100.20[25，30)110.22[30，35)90.18[35，40)80.16[40，45]30.06(2)頻率分布直方圖如圖①所示，頻率折線圖如圖②所示．頻率分布直方圖的應(yīng)用[例3](鏈接教科書第163頁(yè)思考交流)為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？[解](1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因?yàn)榈诙〗M頻率＝eq\f(第二小組頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組頻數(shù),第二小組頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由題圖可估計(jì)該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.[母題探究]1．(變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變，試求樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)．解：由達(dá)標(biāo)率為88%，樣本容量為150，不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12.所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18.2．(變?cè)O(shè)問(wèn))若本例條件不變，試求第三小組的頻數(shù)．解：第三小組的頻率為eq\f(17,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.34.又因?yàn)闃颖救萘繛?50.所以第三小組的頻數(shù)為150×0.34＝51.eq\a\vs4\al()由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí)，需掌握下列關(guān)系式：(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率；(2)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，此關(guān)系式的變形為：eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．[跟蹤訓(xùn)練]某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2020年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)_______．解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)區(qū)間[0.3，0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5，0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6.因此，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.答案：(1)3(2)6000統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用[例4]如圖是根據(jù)某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖，試根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖反映的信息，繪制該市3月1日到10日最低氣溫(單位：℃)的扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖．[解]該城市3月1日至10日的最低氣溫(單位：℃)情況如下表：日期/日12345678910最低氣溫/℃－3－20－1120－122其中最低氣溫為－3℃的有1天，占10%；最低氣溫為－2℃的有1天，占10%；最低氣溫為－1℃的有2天，占20%；最低氣溫為0℃的有2天，占20%；最低氣溫為1℃的有1天，占10%；最低氣溫為2℃的有3天，占30%，扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．eq\a\vs4\al()1．條形圖是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量或頻率，根據(jù)數(shù)量的多少或頻率的大小畫成長(zhǎng)短不同的矩形條，條形圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目或頻率．2．扇形圖是用整個(gè)圓面積表示總數(shù)(100%)，用圓內(nèi)的扇形面積表示各個(gè)部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)．3．在畫折線圖時(shí)，要注意明確橫軸、縱軸的實(shí)際含義．[跟蹤訓(xùn)練]1．如圖是根據(jù)某中學(xué)為地震災(zāi)區(qū)捐款的情況而制作的統(tǒng)計(jì)圖．已知該校在校學(xué)生3000人，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算該校共捐款________元．解析：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，得高一人數(shù)為3000×32%＝960，捐款960×15＝14400(元)；高二人數(shù)為3000×33%＝990，捐款990×13＝12870(元)；高三人數(shù)為3000×35%＝1050，捐款1050×10＝10500(元)．所以該校學(xué)生共捐款14400＋12870＋10500＝37770(元)．答案：377702．甲、乙兩個(gè)城市2021年4月中旬，每天的最高氣溫統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，這9天里，氣溫比較穩(wěn)定的城市是________．解析：從折線統(tǒng)計(jì)圖中可以很清楚的看到乙城市的氣溫變化較大，而甲城市氣溫相對(duì)來(lái)說(shuō)較穩(wěn)定，變化基本不大．答案：甲1．從一堆蘋果中任取了20個(gè)，并得到它們的質(zhì)量(單位：克)數(shù)據(jù)分布表如下：分組[100，110](110，120](120，130](130，140](140，150](150，160]頻數(shù)134642根據(jù)頻數(shù)分布表，可以估計(jì)在這堆蘋果中，質(zhì)量大于130克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的()A．10% B．30%C．60% D．80%解析：選C根據(jù)頻數(shù)分布表可知，eq\f(6＋4＋2,1＋3＋4＋6＋4＋2)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)＝0.6，所以質(zhì)量大于130克的蘋果數(shù)約占蘋果總數(shù)的60%.故選C.2．有一個(gè)容量為200的樣本，樣本數(shù)據(jù)分組為[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]，其頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[90，110)內(nèi)的頻數(shù)為()A．48 B．60C．64 D．72解析：選B由(0.0050＋0.0075＋0.0100＋0.0125＋a)×20＝1，解得a＝0.015，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[90，110)內(nèi)的頻率為0.015×20＝0.3，所以樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[90，110)內(nèi)的頻數(shù)為200×0.3＝60，故選B.3．某班全體學(xué)生英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)(單位：分)的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為[20，