2020年人教版數(shù)學(xué)中考基礎(chǔ)沖刺訓(xùn)練：二次函數(shù)綜合練習(xí)（解析版）

基礎(chǔ)沖刺訓(xùn)練：二次函數(shù)綜合練習(xí)

1.如圖，函數(shù)y=-x+-yx+c(-2020WxW1)的圖象記為4,最大值為幽；函數(shù)y=-X2+2CA+1

(1WxW2020)的圖象記為右，最大值為強(qiáng).4的右端點(diǎn)為44的左端點(diǎn)為8,4,L2

合起來(lái)的圖形記為L(zhǎng).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求附，四的值；

(2)若把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為“美點(diǎn)”，當(dāng)點(diǎn)48重合時(shí)，求Z■上“美點(diǎn)”

的個(gè)數(shù)；

又-2020WxW1,

y=-?+2CA+1=-必+2/1=-(x-1)2+2.

又1Wx《2020,

.?.四=2；

(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+-^-x+c=c-y=-X2+2CA+1—2C.

若點(diǎn)48重合,則C-￡=2C,C=--y,

：y=-x+—x-—(-2020^x^1)；

22

L2：y=-F-A+1(1W后2020).

在。上，x為奇數(shù)的點(diǎn)是“美點(diǎn)”，則。上有1011個(gè)“美點(diǎn)”；

在&上，X為整數(shù)的點(diǎn)是“美點(diǎn)”，則4上有2020個(gè)“美點(diǎn)”.

又點(diǎn)4,8重合，

則Z■上“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是1011+2020-1=3030.

(3)y=-x2+—A+C(-2020^x^1)上時(shí)，當(dāng)寸，

2416

X=-F+2CA+1(1WxW2020),對(duì)稱(chēng)軸為x=c,

當(dāng)c》1時(shí)，底=d+1,

-'.c=0(舍去)或c=2；

當(dāng)c〈1時(shí)，%=2c,

c—3(舍去)或c=-三3；

8

."=-號(hào)■或2.

2.若拋物線(xiàn)上必=a》+6於c,它與y軸交于C(0,4),與x軸交于4(-1,0)、B(A,

0),戶(hù)是拋物線(xiàn)上&C之間的一點(diǎn).

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求拋物線(xiàn)的方程，并求出當(dāng)△8%面積最大時(shí)的。的橫坐標(biāo)；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求拋物線(xiàn)的方程及8的坐標(biāo)，并求當(dāng)△8QC面積最大時(shí)戶(hù)的橫坐標(biāo)；

(3)根據(jù)(1)、(2)推斷戶(hù)的橫坐標(biāo)與8的橫坐標(biāo)有何關(guān)系？

解：(1)〃=4時(shí),

由交點(diǎn)式得y=a(A+1)(X-4),(0,4)代入得a=-1,

：.y=-x+3>+4,

則B(4,0),連OP,

2

設(shè)P(.m,-■+3研4),S&B行S△痣S&OPB-S△把,=綱+4(-111+3m+4)?(小

222

-2)2+8尸2時(shí)，最大值為8,

???P的橫坐標(biāo)為2時(shí)有最大值.

(2)a—\時(shí)，c=4,

設(shè)"=?+6/4,力(-1,0)代入得6=5,

.'.y=x+5x+4.

令/=0求得8(-4,0),

則直線(xiàn)8c方程為y=x+4,

過(guò)戶(hù)作7W平行于y軸交直線(xiàn)力于H,

設(shè)。(〃，d+5"4)、H(n,d4),S△PBQ^-PH*0B=_^(n+4-n2-5n-4)*4=_2("2)

?+8〃=-2面積最大值為8,

（3）由（1）知，當(dāng)面積最大時(shí)，。的橫坐標(biāo)等于8的橫坐標(biāo)的一半,

由（2）知，面積最大時(shí)，戶(hù)的橫坐標(biāo)等于8的橫坐標(biāo)的一半，

故：可以推斷，當(dāng)面積最大時(shí)，。的橫坐標(biāo)等于8的橫坐標(biāo)的一半.

3.已知：如圖，在RtZMbC中，N4笫=90°,&=3,CA=4,將N48C對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)，恰好落在直線(xiàn)上，折痕交4C于點(diǎn)0,以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，4C所在直線(xiàn)為x軸

建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求過(guò)4B,。三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；

(2)若在線(xiàn)段48上有一動(dòng)點(diǎn)兒過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于M,連接他，MA,求

△物18的面積的最大值；

(3)若點(diǎn)￡在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)尸在對(duì)稱(chēng)軸上，且以0,A,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四

邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

由翻折知，4BCO94BHO、

."〃=&?=3,

：.AH=AB-BH=2,

,:NHAgNCAB,NOHA=NBCA=9Q°,

：./\AHO^/\ACB,

.AH=AO

''AC-AB'

2AO

即BnLk，

45

5

■-A0=^,

-,-A0),B(-■3),

??.拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,

???可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a》+bx,

將點(diǎn)/0),8(-合3)代入，

.W,&。三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式為廣景-5

(2)設(shè)直線(xiàn)48的解析式為y=%/6,

將點(diǎn)力(y,0),B(-專(zhuān)3)代入,

5

yk+b=0

得1

3

下k+b=3

k='

k4

解得J

15

▽u

；?直線(xiàn)的解析式為y=-與計(jì)學(xué)，

48

二可設(shè)戶(hù)(x,「裝孚,則"(X,匕-1)，

4824

?DM-315/125、

?,PM=------x+-------(-x---------X)

4824228

:后/PM(xA-Xg)

=—(-—x2+—r*--)X4

2228

=-X2+A+—

4

(x-2+4

.?.當(dāng)x=夕寸，△例8的面積取最大值4；

(3)在〃=《必一三中,

24

對(duì)稱(chēng)軸為x=~r>

4

①如圖3-1,當(dāng)以為平行四邊形的一邊時(shí)，勿平行且等于防

?：0A=—,

2

-=L

"EF2,

4

.5.515十5

4244

當(dāng)?shù)?」互或-5，時(shí)拄=匹，

4432

點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（半，會(huì)）或（-今冬；

②如圖3-2,當(dāng)外為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，力與中互相平分,

則點(diǎn)￡在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處,

???點(diǎn)￡的坐標(biāo)為島-空），

432

綜上所述，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為（冬令或（。，余或號(hào)-3）.

圖3-2

圖1

4.如圖，矩形408c放置在平面直角坐標(biāo)系x%中，邊"在y軸的正半軸上，邊必在x

軸的正半軸上，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為尸，對(duì)稱(chēng)軸交4C于點(diǎn)E且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)/(0,2)，點(diǎn)

C,點(diǎn)。(3,0).N4比的平分線(xiàn)是如，交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)于點(diǎn)“，連接必：

(2)在x軸上有動(dòng)點(diǎn)K線(xiàn)段8c上有動(dòng)點(diǎn)乂求四邊形)網(wǎng)的周長(zhǎng)的最小值；

(3)該拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形的為平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)-：AE//x^,在平分N478,

NAEgNEOB=NAOE,

：.AO^AE,

■：A(0,2),

：.E(2,2),

；?點(diǎn)C(4,2),

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a》+b/2,

,.'C(4,2)和。(3,0)在該函數(shù)圖象上，

'&

.(16a+4b+2=2但a=7

,,]9得,

9a+3b+2=0l,b=T8

該拋物線(xiàn)的解析式為y=^x-92；

OO

(2)作點(diǎn)力關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4,作點(diǎn)￡關(guān)于直線(xiàn)8c的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,連接4E,交X軸

于點(diǎn)必交線(xiàn)段8c于點(diǎn)乂

根據(jù)對(duì)稱(chēng)與最短路徑原理，

此時(shí)，四邊形力仞生周長(zhǎng)最小.

易知4(0,-2),E(6,2).

設(shè)直線(xiàn)的解析式為y=k/b,

(9

f=-2，得卜節(jié)，

16k+b=2|b=_2

.??直線(xiàn)4E的解析式為y-1x-2.

o

當(dāng)V=o時(shí)，x=3,

???點(diǎn)"的坐標(biāo)為(3,0).

..?由勾股定理得XAf=^22+32=V13>ME、=V22+(6-3)2=\GL3'

?，.四邊形日融周長(zhǎng)的最小值為A業(yè)M附帕AE=AM^ME\+AE=2^13+2；

(3)不存在.

理由：過(guò)點(diǎn)尸作日/的平行線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)尺

易得直線(xiàn)好的解析式為y=x,

???拋物線(xiàn)的解析式為y=%-%2=|<x-2產(chǎn)4

OOOO

???拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,--1),

設(shè)直線(xiàn)所的解析式為

將點(diǎn)尸代入，得b=~4，

???直線(xiàn)所的解析式為y=x4.

(8

y=x-T

228'

|y^3x亍+2

解得?或2，

=A度石

[y6Is_

???點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)為(J/)，F(xiàn)P=42X0-2)=條0,

乙U乙乙

'y=x

'_228c'

yjxfx+2

???點(diǎn)〃是直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)左側(cè)的交點(diǎn)，

n

???點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（-恒1i匝,

44

所=11-標(biāo)X行

44

易得，OE=2y[2,

EH=0E-0H=242-任晝也L*近政

44

■：EH^FP,

點(diǎn)戶(hù)不符合要求，

，不存在點(diǎn)。，使得四邊形的為平行四邊形.

5.如圖，已知拋物線(xiàn)與x軸交于4(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C、8不重合)，過(guò)點(diǎn)。作分二x軸

于點(diǎn)尸，交直線(xiàn)8c于點(diǎn)￡,連接CD.設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為"，△仇盟的面積為S.求5

關(guān)于〃的函數(shù)解析式及自變量〃的取值范圍，并求出S的最大值；

(3)已知〃為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△磔C是以8c為直角邊的直角三角形，請(qǐng)直接

寫(xiě)出點(diǎn)"的坐標(biāo).

解：(1)拋物線(xiàn)解析式為y=a(/1)(x-3)=a(-V+2戶(hù)3),

即3a=3,解得：a—1,

拋物線(xiàn)解析式為y=-?+2戶(hù)3；

(2)設(shè)直線(xiàn)8c的函數(shù)解析式為尸匕+6,

?,直線(xiàn)8c過(guò)點(diǎn)8(3,0),C(0,3),

(0=3k+bk=-l

解得

l3=bb=3

../=-A+3,

設(shè)。(.m,-///+2/3),E(.m,-/3),

DE=(—/+2?3)-(-/3)=-m+3/n,

S=4oB*DE=^-(-m2+3m)=—|-m22+^-(0<Cra<C3),

-4<0'

?.當(dāng)in管寸,S有最大值，最大值S得;

(3)設(shè)點(diǎn)〃(1,而、

則施=射+4,〃=1+(OT-3)1仇?=18；

①當(dāng)?shù)氖切边厱r(shí),

1+(m-3)2=OT+4+18；

解得：m=-2；

②當(dāng)他是斜邊時(shí),

同理可得：m=4,

故點(diǎn)”的坐標(biāo)為：(1,-2),(1,4).

6.如圖拋物線(xiàn)的圖象過(guò)點(diǎn)力(-1,0),8(3,0),C(0,3).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式，并指出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)只使得的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)戶(hù)

的坐標(biāo)及△外。的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)在(2)的條件下，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)附(不與C點(diǎn)重合)，使得Sv=Sv，

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)..?拋物線(xiàn)/=2^+6/c的圖象過(guò)點(diǎn)4(-1,0),B(3,0),C(0,3),

a-b+c=0a=-l

,?(9a+3b+c=0>得，b=2,

c=3c=3

.'.y=-V+2A+3=-(x-1)2+4,

??.該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

即該拋物線(xiàn)的解析式為y=-丁+2/3,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)；

(2)點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B,連接第與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為P,此時(shí)點(diǎn)戶(hù)即為所求,

設(shè)過(guò)點(diǎn)6(3,0),點(diǎn)C(0,3)的直線(xiàn)解析式為

3ktm=0,k=-l

,得B

m=3m=3

直線(xiàn)8c的解析式為y=-/3,

當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2,

點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)為(1,2),

?.?點(diǎn)力（-1,0）,點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)8（3,0）,

-'-AC=ylIQ,BC=3yp2f

r.△川C的周長(zhǎng)是：AC+CP^-PA^AC+CB^775+3V2，

即點(diǎn)"的坐標(biāo)為（1,2）,△外C的周長(zhǎng)是氏+入歷;

（3）存在點(diǎn)"（不與C點(diǎn)重合），使得品皈=5"心

,S8PAlt-S^pAC,

???當(dāng)以〃為底邊時(shí)，只要兩個(gè)三角形等高即可,

即點(diǎn)〃和點(diǎn)c到PA的距離相等，

當(dāng)點(diǎn)"在點(diǎn)C的上方時(shí)，

則CM"PA肘、點(diǎn)、"和點(diǎn)C到PA的距離相等，

設(shè)過(guò)點(diǎn)4（-1,0）,點(diǎn)P（1,2）的直線(xiàn)人解析式為：y=kx^m,

-k+m=0,Bk=l

k+m=2'"m=r

..?直線(xiàn)4戶(hù)的解析式為"=戶(hù)1,

..?直線(xiàn)"的解析式為y=x+3,

y=x+3X[:0

2得,.X2=l

由，

y=-x'+2x+311=3'[丫2=4'

，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（1,4）；

當(dāng)點(diǎn)〃在點(diǎn)C的下方時(shí),

則點(diǎn)"所在的直線(xiàn)。與4P平行，且直線(xiàn)/,與直線(xiàn)4戶(hù)之間的距離與直線(xiàn)4與直線(xiàn)之

間的距離相等,

???直線(xiàn)/2的的解析式為y=x-\,

y=x-lx3=~2—x4=~2~

由，得一

2d'-1-V17'

y=-x'+2x+3y=

丫3――(42

”的坐標(biāo)為（喑，碧」或

(i-Vn-I-VT7).

-2--2-'

由上可得，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（1,4）,（上U互，叵二）或（1-VI7,-l-Vrz^

2222

7.如圖，拋物線(xiàn)y=a》+(4a-1)x-4與*軸交于點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)C,且%=2困

點(diǎn)。為線(xiàn)段08上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合)，過(guò)點(diǎn)。作矩形困，點(diǎn)M尸在拋物線(xiàn)上,

點(diǎn)￡在x軸上.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)當(dāng)矩形網(wǎng)的周長(zhǎng)最大時(shí)，求矩形網(wǎng)的面積;

(3)在(2)的條件下，矩形的不動(dòng)，將拋物線(xiàn)沿著x軸向左平移m個(gè)單位，拋物線(xiàn)

與矩形曲/的邊交于點(diǎn)隊(duì)N,連接欣N.若帆恰好平分矩形如7/的面積，求m的值.

解：(1)在拋物線(xiàn)"=2必+(4a-1)x-4中,

當(dāng)*=0時(shí)，y=-4,

：.C(0,-4),

：.OC=4,

?：OC^2OB,

：.OB=2,

：.B(2,0),

將8(2,0)代入y=af+(4a-1)x-4,

得，a="^，

，拋物線(xiàn)的解析式為y=lx2+x-4；

(2)設(shè)點(diǎn)〃坐標(biāo)為(x,0),

???四邊形。日歸為矩形，

.'.H(,x,—x+x-4),

2

y——^+x-4=—(A+1)2--,

222

???拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為X=-1,

...點(diǎn)〃到對(duì)稱(chēng)軸的距離為戶(hù)1,

由對(duì)稱(chēng)性可知DE=FH=2/2,

，矩形田7/的周長(zhǎng)片2(2/2)+2(--A+4)=-X2+2A+12=-(x-1)2+13,

...當(dāng)x=1時(shí)，矩形屬"周長(zhǎng)取最大值13,

此時(shí)〃(1,-y),

5

:.HF=2K2=4,D43,

2

5

，S矩…=必'?加4X會(huì)=10；

(3)如圖，連接仍，EH,DF,設(shè)3/與相交于點(diǎn)G,

過(guò)點(diǎn)G作班的平行線(xiàn)，交ED于M,交際于點(diǎn)乂則直線(xiàn)削將矩形網(wǎng)的面積分成相

等的兩半，

由⑵知，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x=-1,〃(1,-搟)，

■"-G(-1,--y),

4

設(shè)直線(xiàn)班的解析式為y=k/b,

將點(diǎn)8(2,0),〃(1,-?)代入，

'2k+b=0

得，，5?

]k+b“萬(wàn)

2

解得，2,

b=-5

直線(xiàn)班的解析式為y=-|x-5,

???可設(shè)直線(xiàn)觸的解析式為y=^n,

將點(diǎn)(-1,一當(dāng)代入,得〃

二直線(xiàn)椒的解析式為y=4^-r>

24

當(dāng)y=0時(shí)，X--義，

-M(—0),

'：B(2,0),

???將拋物線(xiàn)沿著x軸向左平移!?個(gè)單位，拋物線(xiàn)與矩形兩的邊交于點(diǎn)強(qiáng)N,連接"、

N,則例恰好平分矩形田H的面積，

8.如圖，頂點(diǎn)為。(2,-4)的二次函數(shù)y=a》+6/c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)4(m,n)在該

函數(shù)圖象上，連接4戶(hù)、OP.

(備用圖)

(1)求二次函數(shù)y=a》+6"c的表達(dá)式；

(2)若N40(7=90°,求點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)4關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,點(diǎn)/關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,設(shè)拋物線(xiàn)

與x軸的另一交點(diǎn)為8,請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

①當(dāng)仍手4時(shí)，試判斷四邊形繆的形狀并說(shuō)明理由；

②當(dāng)〃<0時(shí)，若四邊形必必的面積為12,求點(diǎn)力的坐標(biāo).

解：(1):圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

c=0,

.?.頂點(diǎn)為。(2,-4)

???拋物線(xiàn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)(4,0),

將(2,-4)和(4,0)代入y=af+6x,

.?.a=1,b=-4,

???二次函數(shù)的解析式為y=^-4x；

(2)/APO=90°,

：.AP±PO,

'?A(/77,ni-4/77),

,_一一”

■>m-----,

2

：.A(5,-馬；

24

(3)①由已知可得C(4-0,〃)，。(-m,〃)，8(4,0),

CD//OB,

,:CAA、08=4,

...四邊形53是平行四邊形；

②：四邊形。成3是平行四邊形，〃<0,

S平行四邊形板08X|yD\,

.,.12=4X(-〃)，

:?n=-3,

???力(1,-3)或4(3,-3).

9.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-方/+6/。與x軸交于48兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,已知8cl=2，己，tanZ.OBC=-^-.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖2,若點(diǎn)戶(hù)是直線(xiàn)8c上方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)戶(hù)作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)

8C于點(diǎn)。，作PEL8C于煎E,當(dāng)點(diǎn)戶(hù)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求△吟的面積；

(3)若點(diǎn)〃為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)"為圓心，依為半徑作。當(dāng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)

.-.08=4,00=2、

..?點(diǎn)8為(4,0),點(diǎn)C為(0,2)代入盧c中,

/.c—2,b——,

2

,—1人3

?.y---x+—x+20；

22

(2)當(dāng)x=2時(shí)，y=3,

:,P(2,3),

,:B(4,0),C(0,2),

?.?直線(xiàn)8c的解析式為y=-#2,

.?.必平行于V軸，

:,D(2,1),

:.PD=2,

?“〃平行于P軸，

/.4PDE=NOCB,

YPEIBC,

：.4PED=/COB=9C,

：./\PDE^/\BCO,

，莊與△8C0的面積之比是對(duì)應(yīng)邊PD與外的平方,

???△8C0的面積為4,

△他的面積是4X味V得

(3)過(guò)點(diǎn)"作欣?_L8c于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)"作MH"AB于點(diǎn)、H,

:.△MGMXCOB、

???亞人武

MG0C

:。"與直線(xiàn)8c相切，

：,MG=\

:?MH=5,

設(shè)點(diǎn)M（x,--^■V+■^+2）,

如圖1,設(shè)，（/5,-得必+矛+2）代入尸-小+2,

-1或x=5,

???"（-1,0）或"（5,-3）；

如圖2,點(diǎn)H（x-5,,/+多+2）代入y=--^A+2,

二?方程無(wú)解，

綜上所述："（-1,0）或"（5,-3）.

10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)小y=-對(duì)6與直線(xiàn)/2相交于點(diǎn)4與X軸相

交于點(diǎn)8,與y軸相交于點(diǎn)C,拋物線(xiàn)y=a》+6對(duì)c(aKO)經(jīng)過(guò)點(diǎn)0、點(diǎn)力和點(diǎn)民已知

點(diǎn)4到x軸的距離等于2.

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)，為直線(xiàn)右上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)，到4的距離最大時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；

(3)如圖2,。為射線(xiàn))的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿著"方向以每秒?個(gè)單位

長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，以。為邊在"的上方作正方形”物V,設(shè)正方形戶(hù)刎與重疊的

面積為S,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為1秒，直接寫(xiě)出S與力之間的函數(shù)關(guān)系式.

解：(1).??點(diǎn)/到x軸的距離等于2,

二點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為2,

「.2=-A+6,

.'.x=4,

?>(4,2),

當(dāng)y=0時(shí)，-/6=0,

x=6,

:、B(6,0),

16a+4b+c=2

把4(4,2),B(6,0),0(0,0)代入y=a》+6/c得436a+6b+c=0,

c=0

解得：＜

b=f

拋物線(xiàn)的解析式為y=-二/+三七

42

（2）設(shè)直線(xiàn)/?的解析式為y=4x,

/.2=4Zr,

二直線(xiàn)。的解析式為y=/x,

設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（％-4

4

如圖1,過(guò)，作HG〃"軸交直線(xiàn)（于G,

G(,tn,,

HG=——-/w+—>77——/77=——+m=——(,/n-2)+1,

42244

當(dāng)〃=2時(shí)，HG有最大值，

二點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（2,2）；

(3)當(dāng)0V七,如圖2,過(guò)4作力〃。8于￡

OA—,《2+、2=tanNA0E=g,

'：ZNOP=ZBOC=90°,

，匕HON=4AOE、

.X.anZ.NOH=tanZ.AOE=^^-=—,

ON2

OP^勿UNQP4遙務(wù)

：,NH=NM=

5=微?義吟十后t)V5t=-yt2；

當(dāng)長(zhǎng)2時(shí)，過(guò)點(diǎn)戶(hù)作和X軸,

?:/POH=ZQON,OP=y[^t,

：.OP=ON=NM=PM=-/^t,

：.NQ=

可求P（2t,t）,

直線(xiàn)腑的解析式為y=-2/5t

：.G（5t-6,-5i+12）,

:?GP=3后（2-t）,AP=2后-近t,

:.MG=6辰-3A,

?：NMGK=NAGP,

:.XGPAsXGKM、

:.MK=^^t-2炳,

，S=（粕t）2-卷X^tX第?3X（窖SX（6舟3后t）=-

乙乙乙J

11c

±±F+401-30；

12

當(dāng)2<tW營(yíng)時(shí)，可求力（-［，2t）,

則直線(xiàn)例的解析式為

：.K（4--t,-1-Z+2）,

33

JR

、：NQ=0t、

2

R

:.Q（o,/，

:.MK:皆-t-20

-'-s=（V5t）2--yxV5tx-V^f_ix（后-2口+羋一2遍）x炳t=-

乙乙乙O

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=/x-2的圖象分別交x、y軸于點(diǎn)AB,拋

物線(xiàn)y=x+b^c經(jīng)過(guò)點(diǎn)48,點(diǎn)。為第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求此拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1所示，過(guò)點(diǎn)戶(hù)作掰〃y軸，分別交直線(xiàn)力&x軸于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)P、B、C

為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)4C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2所示，過(guò)點(diǎn)戶(hù)作。0，熊于點(diǎn)0,連接陽(yáng)，當(dāng)△陽(yáng)。中有某個(gè)角的度數(shù)等于N

"8度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)夕的橫坐標(biāo).

解：(1)令x=0,得y=/x-2=-2,則8(0,-2),

令y=0,得0=4-2,解得x=4,則力(4,0),

把4(4,0),B(0,-2)代入y=F+b/c(a/0)中，得：J16+4

lc=-2

解得：，b=T,

c=-2

???拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2-lx-2；

(2),??丹/〃y軸，

：.AADC=9Q°,

NACD=4BCP,

???以點(diǎn)RB、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)4C、。為頂點(diǎn)的三角形相似，存在兩種情況:

①當(dāng)NCBP=90。時(shí)，如圖1,過(guò)戶(hù)作p/kv軸于小

?：NABMNPBN=/AB8/OAB=W,

：.Z.PBN=/OAB、

■:/AOB=/BNP=9N,

???△/08s△9

4

...迫即27~=^

BNPN-2-（x7x-2）x

解得：X[=0（舍），%2=-^-?

（參-5）；

②當(dāng)NC夕8=90°時(shí)，如圖2,則8和0是對(duì)稱(chēng)點(diǎn),

：.P弓,-2）；

綜上，點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)是（1-5）或（［，-2）；

（3）0=4,08=2,NAOB=90°,

；.NB0A*45°,

/.BOP*!/.BOA,

分兩種情況：

①當(dāng)N尸蝌2/勿8時(shí)，如圖3,取48的中點(diǎn)￡,連接如，過(guò)"作"GLx軸于G,交直線(xiàn)

.\OE=AE,

，/OAB=NAOE,

???N0EB=2/OAB=NPBQ,

'：OB//PG.

OBE=/PHB,

:.△BOESRHPB,

.OBBE

,?二一■

PHBH

由勾股定理得：48=府。^=2代，

■：GH//OB,

.OGBHHnx_BH

.前國(guó)■'即WW，

;.BH=叵X,

2

設(shè)。(x,,則〃(x,-^-x-2),

PH^—x-2-(x2-—x-2)—-x+4x,

22

2二娓

-x2+4x疾,，

2

解得：不=0,々=3,

點(diǎn)戶(hù)的橫坐標(biāo)是3；

②當(dāng)N6W=2N〃8時(shí)，如圖4,取的中點(diǎn)￡連接宏，過(guò)夕作用，x軸于G,交直線(xiàn)

4B于H,過(guò)。作0F±AB于尸，連接AP,則ZBPgNOEF,

圖4!

I

設(shè)點(diǎn)戶(hù)(t,t2-yt-2),5!IJH(t,-1t-2),

：.PH=—t-2-(t2-—1-2)=-t2+4t,

22

■：0B^2,勿=4,

OA，OB

；.OE=BE=AE={W，Of==22SJ.=W5.

BC年5

E2_0F2=J小)2_喑7=喑

W=yAB-PQ=yPH'OA,

，2后。=4(-t2+4t),

9

Pg⑶二%

V5

'：NOFE=/PQB=qy,

:.XPBQ^XEOF、

-2t2+8t375

.PQEFBn~75~~5~3

■-BQ-OF'―BQ-=WT=T

"V

:.Bg-8t2乎t,

3V5

,:B@+PG=P?、

22

f-8t+32ts2+/-2t+8ts2=+2+f.27)2

(訴)+f—)t+(t亍-2+2)'

化簡(jiǎn)得，44F-388>803=0,

即：(2t-11)(22t-73)=0,

解得：t,=5.5(舍)，芍=圣；

綜上，存在點(diǎn)兒使得△尸8。中有某個(gè)角的度數(shù)等于度數(shù)的2倍時(shí)，其。點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為3或1最

22

12.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于8(-1,0)、

2

C(3,0)兩點(diǎn)，點(diǎn)4為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，尸為線(xiàn)段4c中點(diǎn).

(1)求a,6的值；

(2)求證：BFLAC.

(3)以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)4為圓心，/尸為半徑作。力點(diǎn)￡是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為EC的中點(diǎn)

(如圖2)

①當(dāng)△為版面積最大時(shí)，求陽(yáng)的長(zhǎng)度；

②若點(diǎn)M為加的中點(diǎn)，求點(diǎn)"運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

解：(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=a(/1)(x-3)=a(V-2x-3),

即-3a=^巨，解得：a=-返，

22

拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y=-多+杼￥

故6=依；

(2)點(diǎn)/的坐標(biāo)為：(1,2我)，

則

??.點(diǎn)廠(chǎng)是4C的中點(diǎn)，

：.AF=—AC=2,

2

；.BF\AC；

（3）①當(dāng)時(shí)，△/綏面積最大,

過(guò)點(diǎn)力作V軸的平行線(xiàn)交X軸于點(diǎn)N,交E”于點(diǎn)M、

則/胡仁/曲，則△力位”/\日見(jiàn)相似比為：AC：AE=4：2=2：1,

則於'=%/=、巧，AM=^NG=\,故點(diǎn)￡（1+如，2后1）,

則點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)為：（生巨，2^—.）;

22

則陽(yáng)=2心1；

（II）當(dāng)點(diǎn)￡（尸）在y軸左側(cè)時(shí)，

則點(diǎn)仄E'關(guān)于點(diǎn)4對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)尸（1-73.2、6-1）,

則點(diǎn)P（生返，261）

22

貝|］陽(yáng)=2%-1；

故用=2料±1；

②點(diǎn)C(3,0),點(diǎn)8(-1,0),

設(shè)點(diǎn)E(ot,n),

由然=2,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得：（m-1）2+（〃-2次）2=4…①,

則點(diǎn)P（等，3，點(diǎn)的（牛，半，

設(shè)：*=卑工7=今，則m=4x-1,"=4y,即點(diǎn)〃（*,y）,

44

將小〃的值代入①式得：(4x-2),+(4y-2次)2=4,

整理得：(x-工)，(y-返)2=-,

224

即點(diǎn)〃到定點(diǎn)(!，返)的距離等于定值5，

222

故點(diǎn)"運(yùn)動(dòng)的軌跡為半徑為］的圓，

則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2X2Xn=n.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線(xiàn)"=-/+—+3與x軸交于點(diǎn)4(-1,0)和

點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

(2)如圖2,連接4C、8a點(diǎn)。是線(xiàn)段8c上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)&靦=/$“附

時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)月使得NC%=N8Q0?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)，若不

解：(1)將點(diǎn)4(~1,0)代入得：-1-加3=0,解得：6=2,

???拋物線(xiàn)解析式為：y=-f+2戶(hù)3；

(2)當(dāng)-?+2/3=0時(shí)

解得：Xj=-1,J(2=3,.'.A(-1,0)、B(3,0),：.AB=4,

圖1

'：G(0,3),

：.0C=3

SAABC^*^^4X3=6

,S1^BCD下S/kABC，

?'?"BCD4*6=3

■■B(3,0)、C(0,3),

?'-yBc=~/3

如圖1,設(shè)。(a,-a2+2a+3),

過(guò)點(diǎn)。作x軸垂線(xiàn)，交8c于點(diǎn)“，則〃(a,->3)

:.DH=-a?+2a+3-(->3)="a?+3a

2

SABCD:-1x3(-a+3a)=3,整理得才-3升2=0

=

解得：a,=1,a22,

當(dāng)a—\時(shí)，y—4；

當(dāng)a=2時(shí)，y=3

：.D(1,4)或。(2,3)；

(3)存在

①如圖2,作8c的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)弓、P2,此時(shí)

???△80C是等腰直角三角形，8垂直平分仇7

=

■'-yOpx,由19得必-X-3=0,

.y=-x"+2x+3

②如圖3,作△30C的外接圓，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)鳥(niǎo)、PA

■：BO^CO,

/.ABP3O=^CP3O

8c為直徑,

???N8RC*=90°

過(guò)點(diǎn)4作x軸平行線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)8作多”的垂線(xiàn)交相的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M

???/%%=/P3MB=ZCP3B=90°

???/帆3Ng8=90°,N蛆研N續(xù)=90°

???^NP3C=^MBP3,

設(shè)「3向，-m2+2m+3),

則P3M=3-m,BM=~m^+2in+3,NPfm,NC=-m^+2ir

.-m2+2m3-m

o,,整理得：m~m-1=0

m-m+2m+3

1W51-V5

解得：

m[=2-1m2=-2

當(dāng)m上正時(shí)，點(diǎn)夕在第二象限，此時(shí)NC戶(hù)。＞/8戶(hù)0,故舍去

2

芻1nL^時(shí)，V-一廠(chǎng)，

，/（W5,5W5）;

22____

綜上所述平（耍，甲）匕邛，甲）R（工普，挈）.

14.拋物線(xiàn)y=af+6/c（a豐0）與x軸交于4,8兩點(diǎn)（點(diǎn)為在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)C（0,-4）.已知力（-2,0）,拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸/交”軸于點(diǎn)。（1,0）.

(2)如圖1,連接宓，點(diǎn)戶(hù)是線(xiàn)段8c下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，連接如，PC.點(diǎn)、M,〃分別

在V軸，對(duì)稱(chēng)軸/上，且解心y軸.連接4/,PN.當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)戶(hù)

的坐標(biāo)及此時(shí)力肺施肥的最小值；

(3)如圖2,連接4C,把△加C按照直線(xiàn)尸x對(duì)折，對(duì)折后的三角形記為△/0C,

把0C'沿著直線(xiàn)8c的方向平行移動(dòng)，移動(dòng)后三角形的記為△/'O'C,連接

DA'DC',在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在'C'為等腰三角形的情形？若存在,

直接寫(xiě)出點(diǎn)夕’的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知8(4,0),

4a-2b+c=0

把4(-2,0),B(4,0),C(0,-4)代入解析式y(tǒng)=af+bA+c,得，16a+4b+c=0?

c=-4

c=-4

.?拋物線(xiàn)的解析式為y-1x2-x-4?

(2)直線(xiàn)此的解析式為y=x-4.

作用〃y軸交8c于點(diǎn)Q,

設(shè)。(x,x-4),

則P(x,-^-X2-X-4)?

191o

PQ=(x-4)x-x-4)=彳x+2x

Io

4X(-—x+2x)

^△PBC=^ACPQ+^ABPQ=o="x2+4x=-(x-2)2+4

當(dāng)x=2時(shí)，S△吶取得最大值，此時(shí)，P(2,-4).

把4向左移動(dòng)1個(gè)單位得4(-3,0),

連接A、N.

AM+MN+NP=AiN+MN+NP=A1N+NP+MN>A1P+MN=V41+1.

(3)△妝?按照直線(xiàn)y=x對(duì)折，對(duì)折后的三角形記為OC,OC=0C=4,

故點(diǎn)C坐標(biāo)(-4,0),

同理點(diǎn)*的坐標(biāo)為(0,-2),

設(shè)圖形向右平移了〃個(gè)單位，則此時(shí)點(diǎn)〃、#'的坐標(biāo)為(〃-4,而、(m,m-2),

則：CA"2=42+22=20,C爐=(m-5)W,A"C=(m-1)2+(OT-2)2,

當(dāng)CZ=C'。時(shí)，即：20=(仍-5)，詭解得：加三史￡,

2_

2

當(dāng)C4'=4。時(shí)，即：20=(勿-1)+(/77-2)2,解得：小二3±2^1,

2

當(dāng)CD=Z。時(shí)，即：(勿-5)2+m=(加-1)2+(m-2)2,解得：m=5.

353..7155

即點(diǎn)C'的坐標(biāo)為:_任_任)亂叵)

2~2~'2~2~2~2~'2~2~2

⑸如圖，已知拋物線(xiàn)尸入？+匠,經(jīng)過(guò)△胸的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)八。，3)，點(diǎn)8(-

12,15),4。〃*軸，點(diǎn)。是直線(xiàn)4C下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式;

(2)過(guò)點(diǎn)戶(hù)且與y軸平行的直線(xiàn)/與直線(xiàn)48、4c分別交于點(diǎn)旦F,當(dāng)四邊形4&W的面

積最大時(shí)，求點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，在直線(xiàn)4C上是否存在點(diǎn)0,使得以C、P、。為頂點(diǎn)的三

角形與△力仇?相似，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

->

X

解：(1)將4(0,3),點(diǎn)8(-12,15)代入14~X2+6”C,

4

得卜=3

,136-12b+c=15'

解得，b—2,c=3,

???拋物線(xiàn)的解析式為y==x2+2/3；

(2)在拋物線(xiàn)y=±x2+2/3中，

4

當(dāng)y=3時(shí)，毛=0,x2—-8,

：.C(-8,3),

設(shè)直線(xiàn)的解析式為y=k^3,

將點(diǎn)8(-12,15)代入y=Mr+3,

得，/<=-],

..?直線(xiàn)的解析式為y=-/3,

2

設(shè)戶(hù)(x,—X+2^3),則￡(x,-對(duì)3),

4

PE--A+3-(―X2+2A+3)———x-3x,

44

二?S四邊形(-_3x)X8=-(A+6)2+36,

224

當(dāng)x=-6時(shí)，四邊形48W有最大值36,

2

?.?當(dāng)x=-6時(shí)，—X+2A+3=0,

4

：.P(-6,0)；

(3)存在，理由如下：

V2+2A+3=—(A+4)2-1,

44

???頂點(diǎn)。坐標(biāo)為(-4,-1),

/.：.PF=FC=A,

:./PCF=45°,

同理可證，NBAC=45°,

..?存在兩種相似，

①當(dāng)△尸曲時(shí)，

PC=CQ

AB-AC)

設(shè)Q(〃，3),

AB^7122+(15-3)2==12V2-pc^742+42=45/2)

.W2_n+8

'-12A/2--S-)

解得，n=-

□

②當(dāng)△0CQ△仍C時(shí)，

QC=CP

AB-AC）

Pnn+8_W2

12kk

解得，〃=4,

:Q（4,3）,

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-學(xué)，3）或（4,3）.