《共線向量與共面向量》復(fù)習(xí)講義(教師版)

#/11第1章1.1.1第2課時(shí)共線向量與共面向量復(fù)習(xí)講義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解向量共線、向量共面的定義..掌握共線向量定理和共面向量定理，會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面．知iR梳理 橇理敷材芬實(shí)基融知識(shí)點(diǎn)一共線向量1．空間兩個(gè)向量共線的充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(bW0),a〃b的充要條件是存在實(shí)數(shù)入，使a=、b.2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.思考1對(duì)于空間向量a,b,c,若&〃匕且匕〃C是否可以得到a〃c?答案不能.若b=0,則對(duì)任意向量a,c都有&〃匕且匕〃。.思考2怎樣利用向量共線證明A,B,C三點(diǎn)共線？答案只需證明向量AB,BC(不唯一)共線即可.知識(shí)點(diǎn)二共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段0A所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面a或在平面a內(nèi)，那么稱向量a平行于平面a.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量.0 4a2．向量共面的充要條件如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量P與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使P=xa+yb.思考已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)慶，B,C,存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),滿足關(guān)系OP=OA+xAB+yAC,則點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C是否共面？答案共面.由OP=OA+xAB+yAC,可得AP=xAB+yAC,所以向量而與向量AB,AC共面，故點(diǎn)P與點(diǎn)A,b,C共面．■思考辨析判斷正誤- .向量AB與向量CD是共線向量，則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線上.(X).若向量a,b,c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面.(X)3．空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量．(X)

4.若P,M,A,B共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使曲=xMA+yMB.(X)題型探究 探虎重點(diǎn)養(yǎng)提升一、向量共線的判定及應(yīng)用【例1】如圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn)，F(xiàn),G分別是邊CB,CD上的點(diǎn)，且CF=2CB,CG=2CD.求證：四邊形EFGH是梯形.33證明VE,H分別是AB,AD的中點(diǎn)，.\ae=1ab,ah=1ad,則由=AH則由=AH—AE=1AD—1AB=1前222=4(CG—Cf)=3fG,.\Eh#FG<|eh|=3|fG|^|fG|.又F不在直線eh上，???四邊形EFGH是梯形.反思感悟向量共線的判定及應(yīng)用(1)本題利用向量的共線證明了線線平行,解題時(shí)應(yīng)注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別．⑵判斷或證明兩向量a,b(bW0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)入，使a=、b成立，為此常結(jié)合題目圖形，運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡(jiǎn)或用同一組向量表達(dá)．⑶判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)共線的方法：是否存在實(shí)數(shù)入，使西=入兩；跟蹤訓(xùn)練1(1)已知慶，B,C三點(diǎn)共線，。為直線外空間任意一點(diǎn)，若又=皿g+9施，則m+n=.答案1解析由于A,B,C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)入，使得AC=、AB,即OC—OA=a(Ob—OA),所以O(shè)C=(1—入)OA+入OB,所以m=1—入，n=入，所以m+n=1.2⑵如圖所示，在正方體ABCD—A1B1cpi中，E在A1D1上，且AA=2ED1,F在對(duì)角線A1c上，且々F=§FC.求證：E,F,8三點(diǎn)共線.證明設(shè)AB=a,AD=b,AA=c,因?yàn)楦?2下干，￥=2/，22所以AiE=§AR，aF=5AC，所以—百=2前=壬，1 3 3AA=7(AC—AA)=二(疝+砧-AA*)=7a^b—7c,i5 1 5 15 5 5所以EF=—[F——F=5a-tb-|c=|(a-3b-c).又麗=EA：+A,+AB=—|b—c+a=a—|b—c,2所以EF=”B,所以E,F,8三點(diǎn)共線.5二、向量共面的判定【例2】已知慶，B,C三點(diǎn)不共線，平面ABC外一點(diǎn)M滿足皿=；：A+1AB+".| | |⑴判斷MA,Mb,前三個(gè)向量是否共面；⑵判斷m是否在平面ABC內(nèi).解(1)???前+施+賢=|血，.?.OA—OM=(oM—ob)+(oM—OC),.?.MA=BM+CM=—AB—MC,???向量MA,MB,MC共面.(2)由(1)知，向量MA,MB,MC共面，而它們有共同的起點(diǎn)M,且A,B,Cm點(diǎn)不共線，.M,A,B,C共面，即M在平面ABC內(nèi).反思感悟解決向量共面的策略⑴若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有AP=xAB+yAC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).⑵證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示.跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別在對(duì)角線BD,AE上，且BM=1BD,AN=；AE.求證：向量血CD,DE共面.3 3證明因?yàn)閬V在BD上，且BM=；BD,3所以MB=；施^靠+:甌333同理ANm(AD+^DE.33所以mn=mb+ba+an=(區(qū)+<T+演+0+3詵又CD與DE不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知MN,cd,血共面.(2)已知￡,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，求證:①E,F,G,H四點(diǎn)共面.②BD〃平面EFGH.證明如圖，連接EG,BG.c①因?yàn)榍岸?比二麗+:而+前)：曲+曲+麗=曲+曲，由向量共面的充要條件知向量的，EF,而共面，即E,乙F,G,H四點(diǎn)共面.②因?yàn)镋H=AH—AE=(麗一(麗::前，所以eh〃bd.乙 乙 乙又EHu平面EFGH,B兇平面EFGH,所以BD〃平面EFGH核心索養(yǎng)之翅柑推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算 空間共線向量定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，已知四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形，且它們所在的平面不共面，M,N分別是AC,BF的中點(diǎn)，求證：ce〃mn.證明二小，N分別是AC,BF的中點(diǎn)，又四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形，??.MN=MA+AF+FN=1cA+AF+1fB,2 2又?「MN=MC+CE+EB+BN=-1cA+Ce-aF-1fb,22,\2CA+AF+lFB=-1cA+CE-AF-lFB,,\CE=Ca+2AF+FB=2（mA+Af+FN）,.\Ce=2mN,aCe#mN.???點(diǎn)C不在MN上，???CE〃MN.［素養(yǎng)提升］證明空間圖形中的兩直線平行，可以轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量共線問(wèn)題.這里關(guān)鍵是利用向量的線性運(yùn)算，從而確定CE=入MN中的人的值.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固、學(xué)以致用.滿足下列條件，能說(shuō)明空間不重合的A,B,C三點(diǎn)共線的是（）a.ab+BC=AC b.AB-BC=ACc.ab=BC d.|AB|=|BC|答案C.若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P滿足笳=mOA+nOB,其中0+9=1,則（ ）P￡直線ABP建直線ABC.點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D.以上都不對(duì)答案A解析因?yàn)閙+n=1,所以m=1—n,所以?=（1—n）-OA+nOB,即昨一通=M笳一施），即AP=nAB,所以AP與硝共線.又麗，AB有公共起點(diǎn)A,所以P,A,8三點(diǎn)在同一直線上，即P￡直線AB.3.下列條件中，使M與A,B,C一定共面的是（）? _>?>?>a.OM=2OA—OB—OC

B.oM=1OA+1OB+1oC532c.誦+MB+MC=od.oM+OA+Ob+OC=0答案c解析c選項(xiàng)中，mA=-MB-MC,??.點(diǎn)M,A,B,C共面.4.已知點(diǎn)m在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任意一點(diǎn)。，有OM=xOA+1OB+1OC,則X的值為()331A.1B.0C.3D-3答案D解析vOm=xOA+1Ob+1mC,33且M,A,B,C四點(diǎn)共面，.,.x+3+3=1,.，.x=3,故選D.5?已知非零向量e『e2不共線，則使kq+e2與R+ke2共線的k的值是 答案±1解析若ke1+e2與e1+ke2共線，則ke1+e2=入（e1+ke2）,所以々=入，

入所以々=入，

入k=1.所以k=±1.■課堂小結(jié)- 1.知識(shí)清單：(1)空間向量共線的充要條件,直線的方向向量．(2)空間向量共面的充要條件．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸．3．常見(jiàn)誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點(diǎn)共線．課時(shí)對(duì)點(diǎn)練 注重雙基,強(qiáng)化落實(shí)寸基礎(chǔ)鞏固.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a—2b,則一定共線的三點(diǎn)是( )

A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D答案A解析因?yàn)榍?AB+SC+CD=3a+6b=3（a+2b）=3硝，故前〃硝，又前與AB有公共點(diǎn)A,所以A,B,0三點(diǎn)共線..對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a,b,2a—b,它們一定是（）A.共面向量 B.共線向量C.不共面向量 D.既不共線也不共面的向量答案A.在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，向量可，—了，—‘是（ ）A.有相同起點(diǎn)的向量 B.等長(zhǎng)向量C.共面向量 D.不共面向量答案C解析因?yàn)?9一可=次，且AC=-c，所以—?——X=—C1，即—?=-1+-1.又-c與-c不共線，所以-c，-A,-。三個(gè)向量共面..已知P為空間中任意一點(diǎn)，A,B,C,D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且時(shí)=4PB—xPC+1DB,則實(shí)36數(shù)x的值為（）A.IB.—!A.IB.—!33C.1D.

2答案A解析PA=4PB—xPC+1DB=4PB—xPC+1(PB—PD)=|pB—xPC—1PD.解析TOC\o"1-5"\h\z3 63 6 2 6又??中是空間任意一點(diǎn)，A,B,C,D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，??J—x—1：1,解得x=；.26 35．（多選）下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）A.若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn)，則有AB+BC+CD+DA=0B.|a|—|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件C若AB,CD共線，則AB〃CDD.對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若?=xOA+yOB+zOC（其中x,y,z￡R）,則P,A,B,C四點(diǎn)共

答案BCD解析顯然A正確；若a,b共線，則|a|十|b|=|a+b|或|a+b|=||a|—|b||,故B錯(cuò)誤；若施，說(shuō)共線，則直線AB,CD可能重合，故C錯(cuò)誤；只有當(dāng)x+y+z=1時(shí)，P,A,B,C四點(diǎn)才共面，故D錯(cuò)誤.6.在4ABC中，已知0是AB邊上一點(diǎn)，若砧=2麗，雷=1a+入宙，則入=.32答案鼻3解析cd=Cb-db=Cb-|ab=Cb-i1（Cb-Ca）=|cb+|ca,又說(shuō)=；隗+入CB,所以入=2.337.設(shè)e1e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知硝=61+卜4，BC=5ei+4e2,Dt=-ei-2e|，且A,B,0三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=.答案1解析VAD=AB+BC+CD=7ei+(k+6),且AB與AD共線，故AD=xAB,即7ei+(k+6)e|=xei+xke|,故(7—x"]+(k+6—xk)e2=0,又,?￡,氣不共線，7—x=0, fx=7,故k的值為i.“k+6-kx=0,解得故k的值為i.8.已知0為空間任一點(diǎn)，A8.已知0為空間任一點(diǎn)，A,B,C,D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且0A=2xB0+3yC0+4zD0,則2x+3y+4z=.答案一i解析由題意知A,B,C,D共面的充要條件是：對(duì)空間任意一點(diǎn)0,存在實(shí)數(shù)1,y『z/使得靠=1施+丫10t+Z]0D,且xLydz^i,因此，2x+3y+4z=-1.9.如圖，在平行六面體ABCD—Ap1cpi中，M,N分別是CR,AB的中點(diǎn)，E在AA]上且AE=2EAjF在CQ上且CF=1FC「判斷疏與邪是否共線.解由題意，得疏=―干+R工+-口=1ba+cb+1Ta=bn+cb+1-c-c2 3i 3i=CN+Ft=FN=-NF.即疏=—NF,??.疏與而共線.10.在長(zhǎng)方體ABCD—^B1cpi中，M為DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN：NC=2：1,求證：—N與—口—底共面.證明v—B=AB—aT,—而=—彳+—而=而一1-V,An=|ac=|（Ab+Ad）,i iiiii 2i 3 3...-B=噩—可=|（AB+AD）——AT=3（AB——Ar）+30—|西）=|AB+2AM,3i3i二-B與-百，串共面.v綜合運(yùn)用.若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有時(shí)=&麗+8近，則a+B=i是A,B,Cm點(diǎn)共線的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件答案C解析若a+B=i,則時(shí)一麗=8（武一麗），即薊=8近，顯然，A,B,C三點(diǎn)共線；若A,B,Cm點(diǎn)共線，則有AB=、Bt,故而一PA=A（Pt—曲），整理得PA=（i+入）兩一入PC,令a=i+入，8=—入，則a+B=i,故選C..平面a內(nèi)有五點(diǎn)A,B,C,D,E,其中無(wú)三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足OA=（而+xOC+y而，OB=2xOE+1OD23+yOE,則x+3y等于（）b,6c,3D.3答案B解析由點(diǎn)A,B,C,D共面得x+y=；,乙2又由點(diǎn)B,C,D,E共面得2*+丫=3,3聯(lián)立方程組解得x=，，y=37所以x+3y=6.⑶已知正方體ABCD—AJ1cpi中，P,M為空間任意兩點(diǎn)，如果有兩=-干+7曲+6-1一4-，，那么乂必（）A.在平面BAD1內(nèi) B.在平面BA1D內(nèi)C.在平面BA1D1內(nèi) D.在平面AB1C1內(nèi)答案C解析麗=西+7苗+6西—4晅=7B^+BA+6M—4則=西+陰+6可—4曬=可+6（可一麗）一4（叫一可）=11可—64—4河，于是M,B,A1，9四點(diǎn)共面.14.有下列命題：①若AB〃CD,則A,B,C,D四點(diǎn)共線；②若AB〃AC,則A,B,C三點(diǎn)共線；③若e,e為不共線的非零向量，a=4e—2e,b=