3二面角求法（學(xué)生版）

第-1-頁(yè)共4頁(yè)二面角求法一、知識(shí)準(zhǔn)備1．二面角的概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

2．二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就叫做該二面角的平面角。3．二面角的大小范圍：[0°，180°]4．三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它就和這條斜線垂直5．二面角做法：做二面角的平面角主要有3種方法：

（1）定義法：在棱上取一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的2條射線，這2條所夾的角；

（2）垂面法：做垂直于棱的一個(gè)平面，這個(gè)平面與2個(gè)半平面分別有一條交線，這2條交線所成的角；

（3）三垂線法：過一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)（記為A）做另一個(gè)半平面的一條垂線，過這個(gè)垂足（記為B）再做棱的垂線，記垂足為C，連接AC，則∠ACB即為該二面角的平面角。二、二面角的基本求法及練習(xí)1、定義法：ABCABCDA1B1C1D1例1在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求：（1）二面角的大?。唬?）平面與平面所成角的正切值。例2如圖1，設(shè)正方體ABCD—A1B1C1D1中，E為CC1中點(diǎn)，求截面A1BD和EBD所成二面角的度數(shù)。2、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。ABCDFEG例3平面平面，是正方形，是矩形且AF=AD=，G是EF的中點(diǎn)，ABCDFEG（1）求證：平面平面；（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小。例4點(diǎn)P在平面ABC外，是等腰直角三角形，，是正三角形，。（1）求證：；（2）求二面角的大小。3、垂面法:由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角。例如：過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。

例5，（1）求證：；（2）求二面角的大?。唬?）求異面直線SC與AB所成角的余弦值。例6如圖，已知PA與正方形ABCD所在平面垂直，且AB＝PA，求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小。4．無(wú)棱二面角的處理方法（1）補(bǔ)棱法本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例7如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.ABCA1B1C1D例8如圖，設(shè)正三棱柱各棱長(zhǎng)均為，為ABCA1B1C1D（2）射影面積法（）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos）求出二面角的大小。ABCDA1B1C1D1E例9正方體ABCD-AABCDA1B1C1D1E例10如圖，在三棱錐中，，，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的大?。焕?1如圖3-5，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD＝BE＝eq\r(2)，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐A′-BCDE，其中A′O＝eq\r(3).(1)(2)(1)證明：A′O⊥平面BCDE(1)(2)(2)求二面角A′-CD-B